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1、第七章 简单性与复杂性的奇遇 非线性物理简介,7.1 非线性系统及其普遍性 7.2 从一个简单的例子看混沌的本质 7.3 自然界的几何分形 7.4 特殊的非线性系统可积系统,复杂的世界如何从简单性 演化而来？,千变万化，丰富多彩的宇宙如何能从简单的基本粒子，基本相互作用演化而来的呢？ 如果人们对基本粒子的性质，基本的物理规律完全掌握后，是否有可能对我们所生活的世界作各种长期的精确预言呢？ 人们能精确地预言哈雷慧星每76年回归地球一次。但长期的天气预报进展甚微，这是为什么？ 水果产量的大年小年现象事实上相当普遍，这是为什么？,7.1 非线性系统及其普遍性,所谓线性系统是指输出与输入成正比的系统,
2、非线性系统,所谓非线性系统是指除线性系统以外的所有系统。即输出与输入不成正比的系统。,非线性与线性的差别,非线性与线性存在着本质的差别: 对于线性系统输入有小的变化必定引起输出小的变化，大的输出变化对应于大的输入变化。而非线性系统则不然。小的输入变化可引起大的输出变化，大的输入变化倒不一定引起大的输出变化。 例如某人作长途旅行：先乘公共汽车到火车站， 然后乘高速火车到机场，最后乘飞机到达目的地。整个系统是非线性的，几分钟的初始误差逐渐放大，最后到达目的地相差一天，小的输入变化会引出大的输出变化。,外语学习,.2 从一个简单的例子看混沌的本质,混沌是决定论系统所表现出来的随机行为的总称。它的根源
3、在于非线性的相互作用。 所谓“决定论系统”指描述该系统的数学模型不包含任何随机因素的完全确定的系统。 随机运动的典型实例是植物学家布朗 1827年在显微镜下看到的液体中花粉颗粒的无规运动，现称为布朗运动。 自然界中最常见的运动状态，往往既不是完全确定，也不是完全随机的，而是介于二者之间。,7.2.1 虫口模型,马尔萨斯（T.R.Malthas）在其论人口原理一书中，根据19世纪欧洲、美洲一些地区的人口发展状况，得出了人口增长的如下结论：“在不加控制的条件下，人口每年增长一倍，即按几何级数增长。”,目前世界人口约60亿，按上式，25年后为120亿，50年后为240亿，100年后为960亿，200
4、年后为15360亿,虫口模型,设虫口的繁殖率为。只考虑两两咬斗或接触传染，而不考虑三个以上同时咬斗等状况，则咬斗组合数，设每一咬斗或接触传染导致死亡的几率为，那么显然下一代虫口数为：,选取合适的虫口数作为单位,7.2.2 倍周期分岔,决定论系统,给定，X0已知，可由（7.3）式利用计算器或如图7.5的作图法得出，X1，X2，X3，也就是说各代的昆虫数完全确定，不存在任何随机因素，因此系统是决定论的。 显然当时，由于(1-Xn)1, 所以，逐次迭代后Xn趋向于零，即繁殖率太低的昆虫最后总是趋于绝种。,倍周期分岔,那么当增大以后，情形如何呢？如=2，则可得,利用计算器你就可得到不同的参量值，不同的
5、初始值的各种轨道。（你也可编写一个简单的 QBASIC程序来实现）。你将发现，当继续增大到一定值时，会出现周期现象，即代为一周期，例如3.5, 你将发现，最后在0.8750, 0.3828, 0.8269, 0.5009, 四个数据间振荡。虽然也出现大年小年，但每四代为一周期，你可设想并验证继续增大会出现8周期，16周期，32周期等等直到无穷周期，这就是所谓的倍周期现象。出现无穷周期，也就是说无周期，此时系统进入了混沌状态。,倍周期分岔,QBASIC 程序,10 SCREEN 2: DIM X(100) 20 PRINT “INPUT M AND X0“ 30 INPUT M, X0 40 P
6、RINT “M=“; M, “X0=“; X0 50 X = X0 60 FOR N = 1 TO 100 70 X = M * X * (1 - X) 80 X(N) = X 90 NEXT N: K = 1 100 FOR J = 1 TO 10 110 FOR I = 1 TO 4 120 PRINT “ X(“; K; “)=“; USING “#.#“; X(K); 130 K = K + 1: NEXT I 140 PRINT 150 NEXT J: 160 PRINT “CONTINUE?“: INPUT A$ 170 IF A$ = “Y“ OR A$ = “y“ THEN G
7、OTO 20: STOP:： END,分岔图,7.2.3 混沌的基本性质,系统对初始状态极其敏感：,“蝴蝶效应”,1963年美国气象学家路伦兹（E.N.Lovenz）曾得到现称为洛伦兹方程组的关于温度、气压、湿度等的微分方程，他将初始的温度、气压、湿度等量代入，可很精确地预言23天后的天气状况，然而这个非线性方程的解对初始状态的变化极其敏感，而人们对当天的温度、气压、湿度等的测量又不可能没有误差，非常微小的误差，经过十天、半个月的演化，误差会达到测量值相同的量级，以致失去了天气预报的意义。洛伦兹形象地用“蝴蝶效应”来描述之。,“吸引子”,“奇怪吸引子”,普适性,费根鲍姆数 4.66920160
8、91,产生混沌的根源是非线性，但必须注意并不是所有的非线性系统一定能产生混沌现象。,7.2.4 混沌的应用,英国物理学家J.Ford曾认为：混沌是20世纪物理学的第三次革命，混沌与相对论、量子力学一样也冲破了牛顿力学的教规。他说：“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻象；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想。”,混沌的应用,首先是理解自然，例如自然界存在着大量的流体湍流现象。 混沌理论在生命科学中的应用特别重要。已经发现各种心律不齐、房室传导阻滞等均与混沌运动有联系，癫痫患者发病时的脑电波呈现明显的周期性，而正常人的脑电波呈现显著的混沌状
9、态。 人们利用混沌可实现保密通讯，解释经济领域的股票、期货的价格波动，探索厄尔尼诺（El Nino）现象，与神经网络相结合创造出所谓的混沌神经网络等等。,长期精确预报的可能性,前面提到混沌动力学的发展排除了对天气作长期精确预报的可能性。 其实人们对短期预报和长期预报的要求是不同的。对于短期预报我们关心的是细节问题，对于长期预报人们更关注的是各种平均量的发展趋势。 根据混沌动力学人们可以作短期的精确预报，长期的概率预报，正好能满足人们对各方面的不同枨蟆,7.3 自然界的几何分形,分形（Fractal)：局部与整体具有相似性，或者说在标度变换下具有相似性的几何形体。 例如中国的海岸线在中国地图上看
10、是弯弯曲曲的，其局部例如浙江的海岸线，放大后从浙江地图上看也是弯弯曲曲的，两者间具有相似性，这样我们就说海岸线是分形的。,分形维数,线段的拓扑维数为，面的拓扑维数为2，体的拓扑维数为3。一根线段其长度是一定的，与你用什么尺来量是无关的（只是精确度有所差异）。,Koch曲线,ln4/ln3ln16/ln91.26,Sierpinski 地毯,ln8/ln31.89,海岸线的分形维数,对于象海岸线这样的具有统计自相似的分形，不能用上述方法求其分形维数。一般用所谓的合子计数法，即用不同孔径a 的网格去覆盖地图，计算含有海岸线段的网格数N来，作关于ln（N）和ln(a)的图来确定其分形维数。显然海岸线
11、的分形维数大于1，小于2。,来自简单规律的复杂系统,现在人们已经能够利用计算机模拟出各种复杂的分形图象，如细菌群落的生长、各种固体团簇的分形生长、星系的形成等等。也就是说纷繁复杂的世界是有可能用简单的规则来描述的，并产生各种应用。例如通过分形研究来模拟传染病的传播，改进传染病的防治。Sierpinski海绵具有有限体积无限表面积的特性，可研制出高容量的储能电池，或者具有强吸附性的过滤器件和设备等，在能源、环保领域有广阔的应用前景,7.4 特殊的非线性系统可积系统,在传播过程中保持形状和速度不变，并且两列波非线性相互作用后能相互贯穿，但互不破坏，就象粒子弹性碰撞一样，碰后各自保持原来的形状和速度不变的波被称为孤立波，有时也叫孤立子。,孤立子系统,目前人们在各种领域都发现了具有这种孤立子解的物理体系（称为非线性可积系统），例如在核聚变的等离子中，在大脑的神经脉冲传播过程中，在非线性光学中，在超导隧道结中等。 目前特别引人注目的应用是光孤子通讯。 实验室内已成功实现数万公里无中继放大器的光孤子通讯，一根这样的光孤子非线性通讯光缆相当于十万根传统的线性通讯光缆。,思考题： 什么叫混沌？混沌与混乱有何区别？ 产生混沌的根源是什么？是否所有的非线性,