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1、第二章 电磁场一般问题,电磁场的源,本构关系,场对源的作用,麦克斯韦方程,边值关系,坡印廷定理,2.1 电磁场的源,电荷与电流在空间的分布往往是不均匀的，因而引入,Io = Ic+ Iu = dq/dt,P96,2.1、电磁场的源,电荷密度 :指电量q 对包含该电量的空间的变化率，是一标量 空间可以是体积、面积、线段、点，所以分别有：,电荷密度反映了电荷在空间的分布,电流密度J: 指垂直通过某面、线的电流对该面、线的变化率 垂直通过即有方向性J是一矢量，方向为正电荷运动的方向,体电流密度Jv ：正电荷在一定体积空间内以速度v沿某方向运动形成 体电流。Jv的大小等于体电流对垂直于ev的平面的变化
2、率，方向为ev 。,面电流密度Js：电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。Js的大小等于面电流对垂直于ev的线段的变化率，方向为ev 。,线电流当电荷只在一条线上内流动时，形成的电流 为线电流 ,也就是通常所说的电流(I)。 I= lv,电流密度J反映了电流在空间的分布,dS,结论：电中性的材料中也可能有电流存在,结论：反映电荷与电流相互依存的关系,电流问题较为复杂,前面讨论了分类和密度,下面进一步讨论:,例题：,一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以均匀角速度 绕一直径旋转。 求：球内的电流密度 。,解：,建立球面坐标系。,2.2 场对源的作用力,电场：电场E对点电荷
3、的作用力F： F = qE 电场E对体电荷的作用力F ： dF = dq E 电场力密度f : f = dF/dV= E,磁场B对电流元的作用力F,线：dF = I dlB 面：dF = JsdSB 体：dF = JvdVB,磁场：磁场B对点电荷的作用力F：F= q vB 磁场B对体电荷的作用力F：dF= dq vB,磁场力密度f : f = dF/dV= JB,洛仑兹力F：F=电场力+磁场力,对点电荷的作用力F： F = qE + q vB 洛仑兹力密度f : f = dF/dV= E+JB,J,电场：在电荷周围形成的一种物质。,重要特性：电荷在电场中会受到力(称电场力)的作用。,用符号E
4、(称电场强度) 表示电场的大小和方向。,电场,实验证明：电场力大小与电荷所在位置电场强度大小 成正比，即：F= qE q 为试验电荷电量,知识回顾,E 取决于源(带电体)的电量、形状及分布情况,点电荷产生的场及所受的力是计算其它复杂情况的基础,1、两点电荷间的电场力,库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。,点电荷,2、点电荷产生的场强：,磁场：在电流周围形成的一种物质。,重要特性：在磁场中运动的电荷(电流)会受到 力(称磁场力)的作用。,磁感应强度矢量B:描述空间磁场的分布(大小和方向)。,在磁场B空间中，若点电荷q以速度 v 运动则受到的力：,磁场,F= q vB dF = I
5、dl B,B 取决于源(带电体)的电量、形状及运动分布情况,知识回顾,1、两电流元间产生的磁场力dF,安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律,安培力：设真空中两电流回路C1,C2，载流分别为I1,I2，,则: C1上电流元dI1 对C2上电流元 dI2 磁场力为：,电流元,2、电流元产生的dB(毕奥萨伐尔定律),非真空时两电流元间产生的磁场力dF ：,2.3 麦克斯韦方程,积分 微分,H= J+D/ t,E = - B/ t,B= 0， H= 0,D= v,一、形式,J = - /t,2.3 麦克斯韦方程,H= J+D/ t 说明电流和时变电场都能产生H这个有旋场, D= v ，
6、E = - B/ t 说明E是一个合成场 即： E= E梯+ E旋 ，其中， E梯由v 产生， E旋由时变的磁场产生, B= 0， H= 0 说明H是一个纯有旋无源场,二、意义,时变电场生磁场、时变磁场生电场(即场生场)必为有旋场,结论：E是一个合成场、 H是一个纯旋度场 场生场必为有旋场可形成电磁波, 将麦克斯韦方程进行运算，得以下波动方程：,该方程意味着信息可离开源以波动的形式在媒质中传播,2.4 本构关系及材料分类,B=H 磁导率(=or )：是对物质受磁化的量度。,D=E 电容率(= or )：是对电介质材料受外电场极化的量度。,Jc=E 导电率：是对物质导电能力的量度。,一般来说，,
7、为常数都是在一定的条件下得到的且 即便是常数，不同的材料，,的值也是不同的,一、本构关系,一般情况下,是空间、时间、频率、温度、场的函数,不同的材料，, 的表现是不同的： 有的对以上的各因素敏感、或部分敏感甚至不敏感,根据材料的这些特点，将材料分类讨论可使问题简化,二、材料分类,对于导磁材料则可根据导磁率进行相似的分类(在此不重复)， 除此之外，另还可分为：,材料的导电性能则由导电率来区分:,非线性: 不仅是空间的函数，还是场的函数。 线性: 只是空间的函数。若(r)则 非均匀：各 ij , ji , ii 都随r变化。 均匀： 各 ij ，ji 都为常数，但ij不一定等于 ji 各向同性:
8、ij =ji =0; xx=yy=zz= (r) 各向异性: 各ij 0,非铁磁体 r 1 铁磁体 r =(几百几百万),对于电介质材料可根据电容率的以下特性分类：,有耗 低损耗媒质 无耗媒质 媒质 电介质 良导体 理想介质 理想导体 1 10-4 (/ 0.01) 106 (/ 100) = 0 = ,当材料为线性均匀各向同性时,为常数,例题：计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。 设：铜中的电场为Eosint， 铜的电导率 =5.8107s/m , o,2.5 边值关系,电场：D1n D2n = s en (D1 D2 ) = s E1t E2t = 0 en (E1 E2 ) =
9、0,磁场：H1t H2t = Js en (H1 H2 ) = Js B1n B2n = 0 en (B1 B2 ) = 0,en,1,2,标量 矢量,en,1,2,z,z,s2,2,1,D1,D2,将此式与式比较，可见只需将 上述结果中的D用B替代，s用0替代即可得证。,在交界面处作一小圆柱且设界面上有自由电荷Q，如图示。,s1,z0穿过小圆柱侧面的电通量可不计。因而有：,推导：根据麦克斯韦方程的积分形式,证：D1n D2n = s en (D1 D2 ) = s,D1n D2n = s en (D1 D2 ) = s,证：B1n B2n = 0 en (B1 B2 ) = 0,BdS =
10、0,en (E1 E2 ) = 0 E1tE2t = 0,Edl =E1dl1+E2dl2=E1cos(90o-1)dl+E2 cos(90o+2 )dl =(E1sin1E2sin2)dl =(E1tE2t)dl =0,在交界面处作一小环且设界面上有电流Io向里流入，如图示。,对上两等式作比较：且将矢量式展开：,（对于界面z=0）,证, en (E1 E2 ) = 0 E1tE2t = 0,证, en (H1 H2 ) = Js H1t H2t = Js,en (H1 H2 ) = Js H1t H2t = Js,例题： 设：z = 0 的平面为空气与理想导体的分界面， z0 一侧为理想导体
11、，分界面的磁场强度为: H=Hosinaxcon(t-ay) ex ， 求：理想导体面上的电流分布和电荷分布。,2.6 坡印廷定理,体积V中总能量的下降率 =穿出封闭面S的电磁功率+体积V中的焦耳热耗功率,瞬时功率,坡印廷定理实质就是功率守恒,一、定义：,二、推导,we=E2/2 ; wm=H2/2 令： p = EH,由麦克斯韦方程：J = HD/ t ； E = - B/ t 由焦耳定理： pJ = JEdv,JEdv =(HD/t)Edv =(H ) ED/t Edv,=(EH)dsH2/t +E2/t/2dv,=(EH)HH/tEE/tdv,=(HE) + H(E)EE/tdv,由旋度
12、公式及 D=E,由：B=H,将上式移项整理，坡印廷定理即可得证：,梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法,微分元 矢量场的微分 矢量场的积分,初等运算,高等运算,常用坐标系（正交系） 标量场和矢量场 坐标单位矢量、常矢、变矢 源点、场点、矢径、距离矢量 加、减、乘 坐标变换,场论,第一章 小结,本构关系 材料分类 边值关系,场对源的作用力,麦克斯韦方程,坡印廷定理,电荷密度、电流密度,源,电场：库仑力,磁场：安培力,+ 洛仑兹力,第二章 小结,形式 意义 辅助量,微分 积分,坡印廷矢量,瞬时值 平均值 复数, p,p,- p,Ar A A 2Ar ctgA r r rsin r r,球：
13、divA = + + + + ,=A, (u A)= uA+Au,A=Axex +Ay ey +Az ez =A e+Ae+Az ez=Ar er+Ae+Ae,=u,散度定理：,直: ds=dydzexdxdzeydxdyez,柱: ds=ddzeddzejddez 球: ds=r2sindderrsindrderdrdej,斯托克斯定理:,Adl,= AdS,s,l,(uA)= uAAu,A(BC)=B(CA)=C(AB),(uA)= uAAu,f (u)= f (u)u,(AB)=B(A)A(B),ez=cosersine,H= Jo+D/ t 若略去Ic则, H=D/ t =Jd,由m
14、=HdS = 0,s,解：,Jd=D/ t，而D=E，则Jd=(E)/t，,因而：E=720sin106t ez,设：eE =ez, Jd= 720106 cos106t ez =0.02rcos106t ez,解：,H为涡旋场 选柱坐标 H=He+He,又HH Hz =0,(柱: ds=ddzeddzejddez ),由题意,若在两极板间以Z轴为轴心作一封闭的柱面(如图示)，因此有：,s,s,ds=ddzeddez,则有： HdS =(He+He )dS = Hddz=0,s侧,S侧：ddz0 H=0 ，因此有： H=He,题2.19,H= 0.01rcos106t ez,柱： H = =
15、,e ej ez z H H Hz,1 ,e ej ez z 0 H 0,1 ,=0.02rcos106t ez, H ,=0.02rcos106t,d(H )= 0.02rcos106td, 0,H =20.01rcos106t,E,ez,证：p =pds =ui,p = EH=eze i u /2ad =e i u /2ad,u= E dl = E d E = ez u/d,i =H dl =2aH H =e i /2a,i,d,u,a,ez,0 d,而：p = EH=,p =pds = e i u /2ad ds= e i u /2ad ds = (i u /2ad ) 2ad = i u,