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1、1,第六章 单变量微分学,郇中丹 2006-2007学年第一学期,2,基本内容,0 微积分的创立 1 导数和微分的定义 2 求导规则 3 区间上的可导函数(中值定理) 4 不定式 5 Taylor公式 6 用导数研究函数 7 割线法和切线法(Newton方法),3,0 微积分的创立,Isaac Newton (1642-1727) Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),4,Isaac Newton (1642-1727),1661.6 (顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱缴交学费的)学生), 数学指导教师Isaac Barrow (1630-167
2、7),1664.1(康熙3年)获学士学位. 1664-1666英国流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成. 1665年11月发明“正流数法”(微分法)，1666年5月发明“反流数法”(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。,5,Isaac Newton (II),1669接替Barrow的教授职位; 1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy. New
3、ton有关流数的著作到他身后才发表(1736).,6,Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他拒绝了后者). 作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。,7,Leibniz (II),1666其称作“中学生随笔”的组合艺术中立志要创造出“一般
4、方法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成, 发明了能做四则运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。 1672-1673请求Huygens教授了他现代数学; 在英国了解到了无穷级数方法。 1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。,8,Leibniz (III),Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数), 微分(原意是差的, Different
5、ial),微分,求导和积分的符号. 建立了四则运算的求导规则. 1673年引入函数的术语。 提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。,9,1.导数和微分的定义,微分和导数概念的意义 函数增量与微分和导数 连续与导数和导数的解释,10,微分和导数概念的意义 (I),微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。 导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。 微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限
6、维到无穷维。由近似到线性映射。,11,微分和导数概念的意义 (II),导数的物理背景: 随时间或空间的变化率(rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓度或强度等等。 导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。 引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。 由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。,12,函数增量与微分和导数,设在a的一个邻域上有定义. 增量定义: 称Dx=x-a为自变量x在a处的增量, D(x)=(x)-(a)为在a处的增量. 微分定义: 若cR使得D(x)cDx (Dx0),就称线性函数g(Dx
7、)=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d. Dx也记做dx.此时称在a处可微. 导数定义: 若cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a). 小结: 若在a处可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.,13,连续与导数和导数的解释,可微与连续: 若在a处可微,则在a处连续. 左导数和右导数: 右导数(a+),左导数(a-). 导数与左右导数: 在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等. 切线定义: 曲线y=(x)在(a,(a)的切
8、线定义为直线: y=(a)+(a)(x-a). 导数(a)的几何解释: 曲线y=(x)在(a,(a)的切线的斜率. 导数(a)的物理解释: 若(x)为物体在时间间隔t0,a内运动的路程, (a)为在时刻a的瞬时速度.,14,习题十八 (I),1. 用定义计算下列函数在x=0点的导数: (1) (0)=0, 若x0, (x)=x2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若x0, (x)=exp(-1/x2); (3) Dirichlet函数D(x); (4) xD(x); (5) x2D(x). 2. 证明: 若(0)存在, 则n(1/n)- (0)(0) (n). 反过来成立吗？ 3. 设(
9、0)=0且(0)存在.计算数列: xn=(1/n2)+ (2/n2)+(n/n2)的极限.计算数列极限: (1) xn=sin(1/n2) + sin(2/n2)+sin(n/n2); (2) yn=(1+1/n2)(1+2/n2) (1+n/n2).,15,习题十八 (II),4. 设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足: xI, (x)(0). 证明: 如果 (0)存在, 则(0)=0. 5. 证明：函数在x=0点可微的充分必要条件是(x)=(0)+g(x)x, 其中g在x=0点连续. 6. 求下列曲线在给定点的切线方程: (1) y=x2-x+3, P(2,5); (2) y=1/x,
10、 P(1,1); (3) y=ex+x+1, P(0,3); (4) y=sin x, P(p/6,1/2). 若 ,16,2 求导规则,复合函数求导的链式法则 反函数求导公式 一阶微分形式的不变性 求导运算的算术性质 初等函数求导公式 双曲函数 双曲函数求导公式 高阶导数和高阶微分,17,复合函数求导的链式法则,定理: 设在a点可微,g在(a)点可微,则h=g在a点可微, 并且h(a)= g(a)(a). 证明: 记a=(a), b= g(a). 则 (1) D(x)=a Dx + a1(Dx) Dx (a1(0)=0), (2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy) Dy (b1(0)=
11、0). 因此, Dh(x)= bD(x)+b1(D(x)D(x)=baDx + ba1(Dx)Dx + b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx) Dx)= baDx + g(Dx)Dx, 其中g(Dx)=ba1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)满足g(0)=0. 所以, h(a)= ba = g(a)(a). #,18,反函数求导公式,定理: 设C(I), g是在(I)上的反函数,这里I是区间. 若在a点可微且(a)0, 则g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b). 证明: 由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此, gC(I
12、). 只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b)/(y-b)= (g(y)-g(b)/(g(y)-(g(b)和复合函数的极限性质就得到结论.#,19,一阶微分形式的不变性,这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法: 设的微分是d(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 则d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x). 这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.,20,求导运算的算术性质,设何g在a点可微, cR. 则+g, c, g在a点可微, 若g(a)0, /g在a点也可微. 并且 (+g)(a)= (a)+g(a); (c)
13、(a)= c (a); (g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a); (/g)(a)= (a)g(a)-(a)g(a)/g(a)2. 证明: 极限性质和导数定义的应用.#,21,初等函数求导公式,基本初等函数求导公式: (c)=0; (x)=1; 由归纳法： (xn)=nxn-1; (exp x)=exp x;由链式法则,(ax)= ax ln a;反函数求导规则:(ln x)=1/x;(loga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv (vln u +vu/u). (sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到: (cos x)= -sin x; (ta
14、n x)=sec2 x; (cot x)=-csc2 x; (sec x)=tan x sec x; (csc x)=-cot x csc x. 由反函数求导规则: (arcsin x)=1/sqrt1- x2; (arccos x)=-1/sqrt1- x2; (arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x) =1/(|x|sqrtx2-1); (arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).,22,双曲函数,双曲函数定义: sh x=sinh x, ch x=cosh x, th x= tanh x, cth x=coth x,
15、 sech x, csch x. 反双曲函数: arsh x=ln(x+sqrt(1+x2); arch x = ln(x+sqrt(x2-1); arth x=1/2 ln(1+x)/1-x); arcth x=1/2 ln(1-x)/1+x); arsec x=ln(1+sqrt(1-x2)/x), 0x1; arcsch x= ln(1+sqrt(1+x2)/|x|).,23,双曲函数求导公式,双曲函数求导公式: (sh x)=ch x; (ch x)= sh x; (th x)=sech2 x; (cth x)=-csch2 x; (sec x)=-th x sech x; (csch
16、 x)=-cth x csch x. 反双曲函数求导公式: (arsh x)=1/sqrt1+x2; (arch x)=1/sqrtx2-1; (arth x)=1/(1-x2); (arcth x)=1/(1-x2); (arsech x) =-1/(xsqrt1-x2) (0x1); (arcsch x)= -1/(|x|sqrtx2+1).,24,习题十九 (I),1. 计算下列函数的导数： (1) y=3x+7sqrt(x)+7/x3; (2) y=1/(1+x+x2); (3) y=(2-sqrt(x)+3x-5x2)/x2; (4) y=(1-x2)/(1+x2); (5) y=x
17、(1/3)+x(-1/3); (6) y=(1-x)(2-x)(3-x); (7) y=(1+x+x2)/(1-x+x2); (8) y=x/(x-1)(x-2); (9) y=1/(1+sqrt(x)-1/(1-sqrt(x); (10) y=(ax+b)/(cx+d); (11) y=(1+sqrt(x)/(1-sqrt(x); (12) y=x2sin x; (13) y=(2-x)/(1-x)(1+x2); (14) y=x3ln x+xn/n; (15) y=(ln x)(cos x);(16) y=ex sin x; (17) y=ex sec x;,25,习题十九 (II),(1
18、8) y=(cos x+sin x)/(cos x-sin x); (19) y=(cot x)/x4; (20) y=(x+1/x)ln x; (21) y=(cos x)(ln 1/x)/x5; (22) y=(sin x)/x; (23) y= x sin x ln x; (24) y=x3tan x. 2. 利用等比数列求和公式，计算下列和式： (1) Sn=1+2x+3x2+nx(n-1); (2) Sn=1+22x+32x2+n2x(n-1). 3. 证明下列和式： (1) C_n1+2C_n2+nC_nn=n2(n-1); (2) C_n1+22C_n2+n2C_nn=n(n+1
19、)2(n-2).,26,习题十九 (III),4. 计算下列函数的导数： (1) y=(x3-4)4; (2) y=x(a2-x2)sqrt(a2-x2); (2) y=x/sqrt(n2-x2); (4) y=(1+x2)/(1-x2)(1/3); (5) y=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x); (6) y=ln(ln x); (7) y=(1+x(1/3)1/3; (8) y=ln|(a+x)/(a-x)|; (9) y=ln(x+sqrt(a2+x2); (10) y=ln(tan(x/2); (11) y=ln sqrt(1+cos x)/(1-cos x); (12) y=
20、ln3 x5; (13) y=ln(sqrt(1+x)-sqrt(1-x)/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x); (14) y=cos3 x-cos(3x); (15) y=sinn x cos(nx); (16) y=tan x-tan3 x+tan5 x; (17) y=cos(cos(sqrt(x); (18) y=sin2 x/sin(x2); (19) y=x(sin x); (20) y=xx;,27,习题十九 (IV),(21) y=x(tan x); (22) y=x(ln x); (23) y=exp(sqrt(x); (24) y=exp(-1/x2); (25) y
21、=a(sin x); (26) y=x(xx); (27) y=(1+x)(1/x); (28) y=sh(ln x); (29) y=sh(x)sin x; (30) y=arcsin(sqrt(1-x2); (31) y=arcsin(cos x); (32) y=e(ax)(cos bx+sin bx); (33) y=arctan(ch x); (34) y=arctan(tan2x); (35) y=(a/b)x(b/x)a(x/a)b; (36) y=arctan(sqrt(a-b)/(a+b)tan(x/2), (ab0); (37) y=a2arcsin(x/a)+xsqrt(
22、a2-x2); (38) y=a2ln|x+sqrt(a2+x2)|+xsqrt(a2+x2); (39) y=e(x2)(x2+2x+2); (40) y=ln(arccos(1/sqrt(x).,28,高阶导数,定义: 设在(a,b)上处处可微, 就定义了(a,b)上的一个函数, 这个函数叫做的导函数; 若也有导数,其导函数叫做的二阶导函数, 记做; (x)叫做在点x的二阶导数; 依此类推. 的n阶导数记做(n), Dn或dn/dxn.约定: (0)=. Leibniz公式: 设u,v有n阶导数, 则有公式: 证明: 对n做归纳法: n=0时成立. 然后由n=k成立推出n=k+1, 与二项
23、式定理的证明类似。#,29,高阶微分,定义: 设在(a,b)上处处可微,d2(x)=(d(x)dx叫做的二阶微分.一般 d(n+1)(x)=d(dn(x)=(d(n)(x)dx=(n)(x)dxn 注: 高阶微分没有形势不变性, 有关讨论参看教材90-92页.记号 F. D. Bruno公式: 设和g都有n阶导数. 则h=g的n阶导数满足下面的公式:,30,习题二十 (I),1. 证明Leibniz公式. 2. 证明Bruno公式。 3. 计算下列函数的n阶导数: (1) y=1/(1-x2); (2)y=(1+x)/(1-x)(1/3); (3)y=sin2 x; (4) y=xn/(1-x
24、); (5) y=sin3 x; (6) y=ex sin x; (7) y=xn/(x2-1); (8) y=ex(cos x+sin x); (9) y=xn/(x+1)2(x+2)2); (10) y=1/sqrt(1+x2). 4. 证明y=arcsin x和y=arccosx满足(1-x2)y- xy=0. 5. 证明 y=(x+sqrt(1+x2)m满足(1+x2)y+xy = m2 y.,31,习题二十 (II),6. 证明. 切比雪夫多项式Tn(x)=1/2(n-1)cos(n arccos x)满足(1-x2)y-xy+n2 y=0. 7. 设y=(x)有反函数并且满足y+(
25、y)3=0. 证明的反函数g满足g=1, 并由此给出的一个例子. 8. 求下列函数的指定阶数的微分,其中u,v都有用到的各阶导数: (1) y=u2, 求d10y; (2) y=arctan(u/v), 求d2y; (3) y=eu,求d4y; (4) y=ln u,求d3y. 9. 设在x=0点连续且(2x)-(x)/xl (x0). 证明在x=0点可微, 且(0)=l. 10. 证明: (f(x)-b)/(x-a)A(xa)当且仅当(e(f(x)-eb)/(x-a)Aeb(xa).,32,3区间上的可导函数(中值定理),有关函数一点行为的定义 导数对函数一点行为的刻划 中值定理的意义及其逻
26、辑 中值定理证明及其简单推论 例子 Lagrange中值定理的一些推论 三个不等式 参变量函数求导定理,33,导数对函数一点行为的刻划,定义: 设a是定义的内点. U是a的邻域 在a点增: xU, xa, 则(x)-(a)(x-a)0; 在a点减: xU, xa, 则(x)-(a)(x-a)(a); a点是的局部最大值点: xU, (x)(a); a点是的局部最小值点: xU, (x)(a).,34,导数对函数一点行为的刻划,(a)充分条件: 若(a)0, 则在a点增; (Darboux引理) 若(a)0, 则a局部严格最小值点; 必要条件: 设(a)存在. 若在a点不减, 则 (a)0; 若
27、在a点不增, 则 (a)0; 若a是的极值点, 则(a)=0. (Fermat引理),35,中值定理的意义及其逻辑,中值定理要讨论的问题: 用导数得到函数值差的表达式, 利用导数的性质研究值差以得到有关函数的信息。 中值(Lagrange)定理: 若Ca,b, 且在(a,b)上点点可微, 则c(a,b),使得(b)-(a)=(c)(b-a). # 其证明是基于Fermat引理. 逻辑顺序: Rolle定理(b)=(a), c(a,b),使得(c)=0)Cauchy中值定理(,gCa,b都在(a,b)上点点可微,且x (a,b),g(x)0,则c(a,b),使得(b)-(a)/(g(b)-g(a
28、)=(c)/g(c) Lagrange中值定理. 附带地得到导函数的介值性质和间断点的特点.,36,中值定理的证明及其简单推论,Rolle定理的证明: 在(a,b)上必有极值.# Cauchy定理的证明: h(x)=(g(b)-g(a)(x)-(b)- (a)g(x), 则hCa,b 在(a,b)上点点可微,且h(a)=h(b)=g(b)(a)-(b)g(a).# Lagrange定理的证明: 在Cauchy定理中取g(x)=x就可以了.# Darboux定理: 设在(a,b)上可微. 则(a,b)是区间. 因此在(a,b)上的间断点只能是第二类间断点. 证明: (1) 证明零点定理; (2)
29、 由Lagrange定理第一类间断点必为连续点. #,37,例子,例1. 设(0)=0,而当x0时, (x)=x2 cos(1/x). 因此(0)=0,而当x0时, (x)=2xcos(1/x)+sin(1/x). 在x=0点的左右极限都不存在. 例2. (x)=2sqrt(|x|). 若x0, (x)=sgn(x)/sqrt(|x|). (0+)=+, (0-)=- (实际上,也是在x=0点左右“导数”). 例3. (x)=3x(1/3). 若x0, (x)=x(-2/3). (0+)= (0-)= + (实际上,也是在x=0点的“导数”). 在例2-3的情形, 称在x=0点有 (左,右)导
30、数.,38,Lagrange中值定理的一些推论,1. 若x(a,b), (x)=0,则是(a,b)上的常值函数. 2. 设在(a,b)上可微. 则在(a,b)上不减的充分必要条件是x(a,b), (x)0. 3.若x(a,b),(x)0,则在(a,b)上是严格增的. 4.设在(a,b)上可微. 则在(a,b)上严格增的充分必要条件是x(a,b), (x)0, 并且在(a,b)的子区间上不为常数. 推论4的证明: 必要性: 由推论3得到(x)0, 严格增给出后一部分.充分性: (x)0给出不减,在(a,b)的子区间上不为常数给出严格.#,39,三个不等式,Young不等式:设a,b0, a+b=
31、1.则x0,xax+b. Young不等式的变形: aabb aa+bb. (x=a/b） Hlder不等式: 设ui, vi0, i=1,n. 则 Minkovski不等式: 设p1, ai, bi0, i=1,n. 则,40,参变量函数求导定理,定理:设j(t),y(t)在a,b上可微且ta,b, j(t) 0. 则由x=j(t)和y=y(t)可得j(a),j(b)上的函数y=(x). 即=yj-1. 特别(j(t)=y(t)/j(t). 这个定理为研究参数曲线和参变量函数求导提供了工具. 证明: 链式法则的推论.# 推论: 参变量函数二阶导数的公式. (j(t)=(y(t)j(t)-j(
32、t)y(t)/(j(t)3.,41,习题二十一 (I),1. 设(x)=xm(1-x)n,其中m, n为正整数. 证明: c(0,1)使得m/n=c/(1-c). 2. 证明: 4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一个根. 3. 证明: ex= ax2+bx+c的根不超过三个. 4. 设Ca,b在(a,b)上有n阶导数, 并且在a,b上有(按重数计)n+1个零点. 证明: (n)在a,b上至少有一个零点. 5. 证明: 一个有(按重数计)n+1个零点的次数不超过n的多项式必为零多项式.,42,习题二十一 (II),6.设在(a,b)上可微 (其中a可以是-,b可以是+).
33、证明:如果(a+)=(b-),则c(a,b)使得(c) =0. 7. 设在(a,b)上可微. 证明的两个零点之间必有+的零点. 8.证明:Legendre(勒让德)多项式Pn(x)=1/(2n n!)(x2-1)n(n)在-1,1内有n个零点. 9. 证明: Chebyshev-Laguerre(切比雪夫-拉盖尔)多项式Ln(x)=ex(xne(-x)(n)有n个不同的零点.,43,习题二十一 (III),10. 证明: Chebyshev-Hermite (切比雪夫-厄尔米特)多项式Ln(x)=(-1)n/n!e(x2/2)(e(-x2/2)(n)有n个不同的零点. 11. 证明: (1)
34、|sin x-sin y|x-y|; (2) |cos x-cos y|x-y|; (3) |arctan x-arctan y|x-y|; (4) |arccot x- arccot y|x-y|. 12. 设C(a,b)且在(a,c)(c,b)上可导. 证明: 如果, 则(c)=A. 13. 设在(a,b)上可导, 并且在(a,b)单调. 证明C(a,b). 14. 设在(a, b)上可导并且有界. 证明在(a, b )上一致连续.,44,习题二十一 (IV),15. 设在(a, +)上可导且(x) (x+). 证明在(a, +)上不一致连续. 16.证明(x)=xlnx在(0,+)上不一
35、致连续.而g(x)=sqrt(x) ln x在(0, +)上一致连续. 17. 设(x)-(0)= x(x(x), 其中00), (0)=0，对于a0, x(x)在(0,a)上不连续. 18. 定义(x)=arctan(1+x)/(1-x) (x1), (1)=0. 证明在x=1点有极限, 但是在x=1点的两个单侧导数都不存在. 请给出你的解释. 19.设Ca-h, a+h在(a-h, a+h)上可导(h0).证明:(1) $q(0,1)(a+h)-(a-h)=(a+q h)+(a-q h) h; (2)$q (0,1), (a+h)+(a-h)-2(a)=(a+ qh)-(a- qh) h2
36、.,45,习题二十一 (V),20. 设Ca, b在(a, b)上可导. 证明: 如果不是一次多项式, 则$c(a,b), 使得|(c)|(b)-(a)|/(b-a). 21. 设在a, b上有二阶导数且(b)=(a)=0. 证明: $c(a,b)使得|(c)|4|(b)-(a)|/(b-a)2. 22. 设Ca, b在(a, b)上可导. 证明: (1)$c(a,b)使得2c(b)-(a)=(b2-a2) (c); (2)若a 0, $c(a,b)使得(b)-(a)=c(c) ln(b/a). 23. 设Ca, b在(a, b)上可导(ab0). 证明: c(a,b),46,习题二十一 (V
37、I),24.证明恒等式:(1)|x|1,2arctan x+arcsin2x/(1 +x2)=psgn(x);(2)|x|1/2,3arccosx-arcos(3x-4x3) =p. 25. 设在(a, +)上可导并且f(x)0 (x+). 证明: f(x) /x0 (x+). . 26. 设x=acos3t, y=a sin3t. (1) 计算 y(x); (2) 证明: 切线为坐标轴所截线段有定常. 27. 对于曳物线: x=aln (tan t/2)+cos t, y=a sin t. (1) 计算 y(x); (2) 证明: 切点到切线与x轴的交点的距离为定值.,47,习题二十一 (V
38、II),28. 证明：双纽线r2=a2cos 2q的向径与切线间的夹角等于向径极角的两倍加p/2. 29. 证明下列不等式：(1) 当x0时, ex1+x; (2) 当x0时, x-x2/20时, x-x3/60时, (1+1/x)xe(1+1/x) x+1.,48,4不定式,不定式的含义 洛比塔法则(LHspital Rules),49,不定式的含义,不定式: 设当xa时, (x)l, g(x)l. 对于和: 若l与l中一个是+,一个是-, 则(x)+g(x)的极限是不能由极限运算的算术性质确定的; 对于乘积:若l与l中一个是,一个是0, 则(x)g(x)的极限是不能由极限运算的算术性质确定
39、的; 对于商:若l与l都是,或都是0,则(x)/g(x)的极限是不能由极限运算的算术性质确定的; 广而言之, 凡其极限不能由构成的两(多)个函数的极限值直接由规则确定的式子叫做不定式.一般按极限值及其构成方式分类. 常见的不定式: +-型, 0型, /型, 0/0型, 00型, 1型, 0型等. 上述这些常见不定式都可转化成/型, 0/0型的讨论.,50,洛比塔法则(LHspital Rules),这里只对xa- 讨论, 其他类型留做给学生自己完成. 洛比塔法则I. 设,g在(a,a)上可微,(a-)=g(a-)=0, 而g在a附近不为0. 若(/g)(a-)存在, 则(/g)(a-)= (/
40、g)(a-). 证明: 定义(a)=g(a)=0. 余下只要应用Cauchy中值定理就够了. # 洛比塔法则II. 设,g在(a,a)上可微,g(a-)= . 若(/g)(a-)存在, 则(/g)(a-)= (/g)(a-).,51,洛比塔法则II的证明,洛比塔法则II的证明: 这里只考虑(/g)(a-)=l有限的情形, 否则考虑g/. 任取e0, d0,使得当0a-xd时, |(x)/g(x)-l|e. 由恒等式, 其中a-dx0xa. 因此 这就得到了所要证明的结论. #,52,例题,1. xx1 (x0+ ); 2. (x-sin x)/x3 1/6, (x0); 3. (tan x-x
41、)/ (x-sin x) 2, (x0); 4. a0, (ln x)/ xa 0, (x+); 5. 1/x2-1/tan2 x 2/3, (x0); 6. xxx-1 1, (x0). 若 x2 x3,53,习题二十二 (I),1.推广上下极限的概念到函数的情形. 这里仅讨论xa-的情形其他情形留给学生自己去做.假设0, 在(a-,a)上有定义. 定义在a_的上极限为 ,下极限为 证明: (1) ; (2) 是 存在的充要条件; (3) 对于(a-d,a)中以a为极限的数列xn, 若数列(xn)有极限l, 则在l在在a-的上,下极限之间.,54,习题二十二 (II),2. 计算下列函数x0
42、时的极限: (1) x-ln(1+x)/ x2; (2) |x|ln|x|; (3) xke1/|x|; (4) 1/x1/ln(1+x); (5)1/x 1/sin x; (6) xa1/x-b1/x (a,b0); (7) (tan x)sin x; (8)(sin x/x)1/x2;(9)e(1+x)-1/x1/x; (10)(tan x/x)1/x2; (11) (cospx)1/x2; (12) (1+|x|a)/(1+|x|b)1/ln|x|; (13) x2sin(1/x)/sin x.,55,习题二十二 (III),3. 计算下列函数x+时的极限: (1) xk/ex; (2)
43、 x 1ln(1+x)1/x;(3) (p/2-arctan x)1/x; (4) lnkx/x; (5) e-2x(cos x+2sin x)+ex2sin2x/e-x(cos x+sin x) (6) tan(px/(2x+1)1/x; (7) (x-sin x)/(x+sin x); (8) (1+xa)/(1+xb)1/ln x (a,b为实数); (9) 1+x+sin x cos x/(x+sin x cos x)esin x . 4. 设在a,+)上有界且可微 证明: 若x时, (x) l, 则l=0.,56,习题二十二 (IV),5. 设在a,+)上有界且可微 证明: 若x时,
44、 (x)+(x) l. 证明: (x) l (x). 6. 由Lagrange中值定理, 证明下列结论: (1) 若ln(1+x)=x/(1+qx), 则q1/2 ( (x0); (2) 若ex-1= xeqx, 则q1/2 (x0); (3) 若arcsin x=x/sqrt(1-q2x2),0q1,则q1/sqrt(3) (x0). 7. 确定常数a, b使得当x0时, (1) (x)=(a+bcos x)sin x-x为x的5阶无穷小; (2) (x)=ex-(1+ax)/(1+bx) 为x的3阶无穷小.,57,5 Taylor公式,58, 若 ,59, 若 ,60,6 用导数研究函数,61, 若 ,62, 若 ,63,7割线法和切线法(Newton方法),64, 若 ,65, 若 ,66, 若 ,67, 若 ,68,69,习题十八,1. 计算下列极限 x2 x3 若