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1、第七章 平面向量,第四课时 平面向量的拓展与应用,知识梳理,向量的应用 1掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等问题 2理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养创新精神和应用能力 许多代数、几何中的问题都可以转化为用向量来处理它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点,1(2010年郴州模拟)在ABC中，AB3，AC2，BC ( ) A B C. D.,解析：由余弦定理得cos CAB ， 所以 ，选D. 答案：D,基础自测,2已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x
2、，y)满足 x2，则点P的轨迹是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线,解析： (2x，y)， (3x，y)， x2(2x)(3x)y2x2， 化简得y2x6. 答案：D,3(2010年南昌模拟)如右图所示，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：,A. B. C. D,其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号),解析： A对 取AD的中点O，则 ， B对 设 1，则 而 ，C错 又 ，D对 真命题的代号是A，B，D. 答案：ABD,4把一个函数的图象按向量a(3,2)平移后得到的图象的解析式为ylog2(x3)2，则原来的函数解析式为_,ylog2x,如右图所示，四边形ABCD的边AD和
3、BC的中点分别为E、F.,求证：,证明：证法一：E、F分别为DA、BC的中点,，得,证法二：如右图所示连结EC，EB,，得,=,变式探究,1已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：,证明：E是对角线AC与BD的交点， 在OAE中， 同理有 四式相加可得：,(2011年合肥模拟)已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2) .,(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形； (2)若mp，边长c2，C ，求ABC的面积 .,解析：(1)证明：mn，asin Absin B， 即 ，其中R是ABC外接
4、圆半径， ab，ABC为等腰三角形 (2)由题意可知，mp0，即a(b2)b(a2)0， abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab， 即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)， ,变式探究,2(2011年青岛模拟)已知向量 (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若x0,2)，当 1时，求x的取值范围,解析：(1)f(x) (2cos x1，cos 2xsin x1)(cos x，1) 2cos2xcos xcos 2x1sin x cos xsin x 所以，f(x)的最小正周期T (2) 1， x0,2)， 由三角函数图象知：, ，x的取值范围是,3(2010年武汉模
5、拟)函数ycos 2的图象F按向量a平移到F，F的函数解析式为yf(x)，当yf(x)为奇函数时，向量a可以等于( ) A. B. C. D.,解析：直接用代入法检验比较简单或者设a(x，y)，根据定义yycos 2，根据y是奇函数，对应求出x，y. 答案：B,一条河的两岸平行，河的宽度为d500 m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为|v1|10 km/h，水流速度为|v2|4 km/h.,(1)要使船到达正对岸，试求v1与v2的夹角(精确到1)，及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，v1与v2的夹角应为多少？,解析：(1)
6、依题意，要使船到达正对岸，就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于对岸(如下图甲)，所以|v| 9.2 km/h，v1与v的夹角满足sin 0.4，24，故v1与v2的夹角114；船垂直到达对岸所用的时间t 0.543 h3.3 min. (2)设v1与v2的夹角为(如图乙)，v1与v2在竖直方向上的分速度的和为|v1|sin ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路为d0.5 km，从而所用的时间为t ，显然，当90 时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t 0.05 h3 min.,变式探究,4已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使
7、物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4( ) A(1，2) B(1，2) C(1,2) D(1,2),提示：由物理知识知：f1f2f3f40. 答案：D,如右图，四边形MNPQ是C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量 的夹角为120， 2.,(1)求C的方程； (2)求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程,思路分析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可,解析：(1)以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy. 的夹角为120，故QMC60.于是QCM为正三角形，CQM60. 又 2
8、，即 cosCQM2， 于是r 2.故C的方程为x2y24. (2)依题意2c4,2a|QN|QM|， 而 于是 ，b2a2c2 . 所求椭圆的方程为 1.,点评：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视,变式探究,5已知两点M(1,0)，N(1,0)，且点P使 成公差小于0的等差数列 (1)点P的轨迹是什么曲线？ (2)若点P的坐标为(x0，y0)，记为 的夹角， 求tan .,解析：(1)设P(x，y)，则 (1x，y)， (1x，y)， =(2,0) 22x， x2y21， 22x，由题设得,x2y23(x0)，故点P的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆在y轴的右侧部分 (2)
9、 12，,|y0|.,已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且 (0)过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M. (1)证明 为定值； (2)设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值 解析：(1)证明：由已知条件，得F(0,1)，0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)由 即得(x1,1y1)(x2，y21)，,教师用书备选题,将式两边平方并把 代入得 y12y2 解、式得y1，y2 ， 且有x1x2 4y24， 抛物线方程为y x2，求导得y x. 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y x1(xx1)y1，y x2(xx2)y2，,所以 (x2
10、x1，y2y1) 所以 为定值，其值为0. (2)由(1)知，在ABM中，FMAB， 因而S |AB|FM|.,解出两条切线的交点M的坐标为,因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，,所以|AB|AF|BF|y1y22 2 . 于是S |AB|FM| ， 由 2知S4，且当1时，S取得最小值4.,变式探究,6已知点F(a,0)(a0)，点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，N点的轨迹为曲线E满足： 0， 0. (1)求点N的轨迹方程； (2)过点F且不与x轴垂直的直线l与曲线E交于A、B两点，设K(a,0)， 的夹角为，求证：0 . 解析：(1)设N(x，y)，由 0知，P为
11、MN的中点，,点N的轨迹方程为y24ax. (2)证明：设直线l的方程为yk(xa)， 由 消去x得，y2 y4a20， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24a2， (x1a，y1)， (x2a，y2)， (x1a，y1)(x2a，y2)x1x2a(x1x2)a2 4a2 3a2a2,1向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合应用向量可以解决平面几何、解析几何、三角中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛 2注意变换角度看问题，善于应用向量的有关性质解题 3特别注意： 向量性质的应用要准确无误，不能想当然,1(2009年广东卷)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1、F2成60角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( ) A6 B2 C D,解析： 2F1F2cos(18060)28，所以F3 . 答案：D,2(2010年辽宁卷)平面上O，A，B三点不共线，设 a， b，则OAB的面积等于( ) A. B. C. D.,解析：OAB的面积S |a|b|sina，b，而 |a|b|sina，b 答案：C,祝,您,学业有成,