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1、2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,1,第一章 Mathematica软件概貌,Mathematica能做什么？ 数值计算 形式演算 数学函数图形演示。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,2,第二章 Mathematica的界面,2.1 Mathematica的安装与启动 2.2 Mathematica界面 主菜单 Notebooks Notebooks的模板,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,3,Mathematica界面,主菜单,输入输出窗口,模板,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,4,2.3 Mathematica的运
2、行,Mathematica以 命令驱动 的方式进行运行,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,5,Mathematica的两种运行方式,命令行方式(交互执行方式)： 输入一个命令，就提交系统执行。 批处理方式(程序执行方式)： 将一组命令一次提交给系统顺序执行。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,6,Mathematica命令的基本格式,命令字对象 , 自变量及范围 , 选项 注意： 1）Mathematica系统对大小写字母是敏感的； 2） Mathematica保留字的首字母都是大写,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,7,Mathemati
3、ca命令的输入,Mathematica的命令可以超过256个字符； Mathematica的命令可以分行输入(按enter时不会执行只会认为是分行)。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,8,Mathematica命令的执行,Shift +Enter 也可以按小键盘上的enter,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,9,Mathematica帮助系统的界面,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,10,Mathematic帮助系统使用,分类查询 字母查询,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,11,第三章 数、变量、函数,3.1 数、数
4、的类型及其运算 整数与浮点数： -2、5与2.5、12*10.2； 精确数与近似数： 与1.414， 与 ； 算术运算优先顺序： 开方、乘方、/、*或空格、-、+。 从左至右。括号优先。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,12,三个括号的不同作用,( ) 改变运算顺序 命令、函数的自变量括号 集合（表）的表达式,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,13,表达式,在Mathmatica中，表达式与数学中的表达式相同，其书写与运算规则与数学中相同。 注意：乘号“*”或“”或“空格”不可省略。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,14,3.2 数学常
5、数,E： 自然对数的底 Pi： 圆周率 Degree：角度制的单位 Infinity：无穷大 I： 虚数单位,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,15,3.2 变量及其表示,变量的命名规则： 字母与数字组成的字符串 注意： 1）变量的命名要尽量能体现该变量的实际含义； 2）为了避免与的内部保留字相冲突，自命名变量的首字母不要大写。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,16,3.3 内部函数,Sqrt 平方根函数 Exp 以e为底的指数函数 Log 以e为底的对数函数 Log , 以第一哑元为底的对数 ！ 阶乘函数 Abs 绝对值函数,2003-3-9,中南财经政
6、法大学信息学院 周 若,17,内部函数三角函数,Sin 正弦函数 Cos 余弦函数 Tan 正切函数 Cot 余切函数 Sec 正割函数 Cse 余割函数,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,18,内部函数反三角函数,ArcSin 反正弦函数 ArcCos 反余弦函数 ArcTan 反正切函数 ArcCot 反余切函数 ArcSec 反正割函数 ArcCsc 反余割函数,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,19,内部函数双曲函数,Sinh 双曲正弦函数 Cosh 双曲余弦函数 Tanh 双曲正切函数 Coth 双曲余切函数 Sech 双曲正割函数 Cseh 双曲
7、余割函数,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,20,内部函数反双曲函数,ArcSinh 反双曲正弦函数 ArcCosh 反双曲余弦函数 ArcTanh 反双曲正切函数 ArcCoth 反双曲余切函数 ArcSech 反双曲正割函数 ArcCseh 反双曲余割函数,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,21,3.4 自定义函数,对于一些要反复使用的表达式，可以定义为自定义函数，以方便引用。 在Mathmatica中，有两种自定义函数的方式： f = 表达式（定义了一个变量） f x_: = 表达式 注意两者的差异。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若
8、,22,第四章 算术数值计算,4.1 算术计算 例：210 2+4-15/3-3*(3-1)+35 20！ 3 Sqrt2*Log7,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,23,函数值计算,f1=x2-3x+3x4，f2=2-4x3+2x f1+f2， f2/.x2*z+1，f1+f2/.x2， g1x_:=x2-3x+3x4， g2x_:=2-4x3+2x， g1x+g2x，g22*z+1， g12+g22,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,24,4.2 精确数转化为近似数,N命令的一般格式： N表达式，计算精度 例： NSqrt2 NLog7,10（一般默认
9、的精度是六位有效数字）,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,25,第五章 初等变形,5.1 乘积展开 命令： Expand f 例：Expand (x+2)3* (x2-2)5 （展开后是按照由低到高的次数排列）,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,26,5.2 因式分解,命令： Factor f 例：Factorx4-1,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,27,5.3 通分与分式化简,通分：Together f 。 例： f =(1+x)2/(1-x)+ 3 x2/(1+x)2+(2-x)2 简分式分解：Expand f 例：同上例。 分式约
10、简：Cancel f 例：Cancel(x+1)(x2-1)/(x-1),2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,28,5.4 合并同类项,Collect expr，x , y , 作用：将expr按x，y的幂顺序合并同类项。 例：Collectx4+(a+y) (x+y3) x2+(y3+3)x2,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,29,5.5 表达式化简,命令：Simplify f FullSimplify f ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,30,第六章 函数图形,Mathematica可以绘制二维、三维函数图形和描点作图；还可以绘制三
11、维图形的等高线图和密度图。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,31,6.1 二维函数作图,二维曲线作图： 命令： Plotf1x，x，a，b。 例：PlotSin1/x,x,-1,1,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,32,Plot命令的常用选项,AspectRatio 图形高宽比 默认1/GoidenRatio（默认比是高度与长度之比为黄金分割比例） Axes 是否绘制坐标轴 默认 True AxesLable 坐标轴标记 Frame 是否给图形加外框 默认False FrameLable 图形外框标记 默认False PlotLable 整个图形的标记
12、Ticks 坐标轴刻度 默认Automatic,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,33,6.2 三维函数作图,三维曲面作图： 命令： Plot3Df x , y , , x , a , b , y , c , d 例：Plot3DSinx*y, x,-Pi,Pi,y,-Pi,Pi,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,34,Plot3D命令的常用选项,Boxed 是否绘制外框 FaceGrids 表面网格 HiddenSurface 是否去掉隐蔽线 Mesh 曲面上是否加网格线 ViewPoint 观察点 PlotPoints 在x，y方向的取样点,2003-3
13、-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,35,6.3 参数方程作图,二维曲线参数作图： 命令：ParametricPlot x1t , y1t , , t , a , b 三维曲线参数作图： 命令： ParametricPlot3D,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,36,曲线参数方程作图例1,xa_,b_,t_=(a-b)Cost+b*Cost*(a-b)/b ya_,b_,t_=(a-b)Sint-b*Sint*(a-b)/b ParametricPlotx1,0.78,t, y1,0.78,t, t,0,60Pi, AspectRatio-Automatic,2003-
14、3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,37,曲线参数方程作图例2,ParametricPlot3D (8+3 Cosv) Cosu, (8+3 Cosv) Sinu,7 Sinv, u,0,3 Pi/2,v,Pi/2,2 Pi,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,38,三维曲面参数作图,命令： ParametricPlot3D ； 例：（莫比乌斯带） xs_,t_:=(a+b*t*Coss/2)*Coss ys_,t_:=(a+b*t*Coss/2)*Sins zs_,t_:=b*t*Sins/2 a=2.0 b=.5 ParametricPlot3Dxs,t,ys,t,
15、zs,t,s,0,2Pi,t,-1,1,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,39,6.4 散点作图,二维、三维描点作图： ListPlot ListPlot3D ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,40,散点作图的常用选项,PlotJointed 数据点间是否连线。 默认值： False（默认只是不连线）,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,41,散点作图的例,a=Tablei2,4 i2+i3,i,1,10 ListPlota ListPlota,PlotJoined-True,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,42,6.5
16、 等高线图和密度图,等高线图 命令：CountourPlot 密度图 命令：DensityPlot ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,43,等高线图的例,Plot3DSinx Cosy, x,0,2 Pi,y,0,2 Pi ContourPlot Sinx Cosy, x,0,2 Pi,y,0,2 Pi,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,44,密度图的例,zx_,y_:=(x2+2 y2)* Exp1-x2-y2 Plot3Dzx,y, x,-2,2,y,-2,2 DensityPlotzx,y, x,-2,2,y,-2,2,2003-3-9,中南财经政法
17、大学信息学院 周 若,45,第七章 微积分运算,7.1 极限运算 命令: Limitexpr,x-x0 例: LimitSinx/x,x-0,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,46,7.2 导数及高阶导数,一阶偏导数：D f , x 高阶偏导数： D f , x1 , n 高阶混合偏导数： D f , x1 , x2 ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,47,7.3 全导数,Dtexpr , x 全导数 Dtexpr , x , n n阶全导数 Dtexpr 全微分 Dtexpr,x1,x2, 对x1,x2, 等的全导数,2003-3-9,中南财经政法大学信
18、息学院 周 若,48,例:fun= Sinx y Dtfun,x,2,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,49,7.4 一元和多元不定积分,不定积分：Integrate f，x 多重不定积分： Integrate f，x1，x2， 例: IntegrateSqrtx+6 x , x,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,50,7.5 一元和多元定积分,定积分： Integrate f , x , a , b 多重定积分： Integrate f , x1 , a , b , ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,51,定积分的例,Integrate
19、x2 Log2 x,x,1,E N% Integratex2 y Siny, y,0,2 Pi,x,0,y2,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,52,7.6 数值积分,数值积分： NIntegrate f , x1 , a , b , 本命令也可以求多重数值积分。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,53,数值积分的例,NIntegrateSinSinx, x,0,Pi/3 NIntegrateSqrtx+y, x,0,2,y,0,Sqrtx+2,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,54,7.7 级数展开,命令: Series f , x ,
20、x0 , n 给出 f 在x0处直到n阶的泰勒级数 例： SeriesExpx Sinx, x,0,7 命令: SeriesCoefficient ser , n 给出 ser 的第n项的系数。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,55,第八章 表及矩阵运算,8.1 表及表的表示 在Mathematica中，向量和矩阵也称为表。 表的表示： a , b , a1 , a2, , b1 , b2 , , ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,56,关于表的几点说明,表的元素可以是数，也可以是符号。 对元素个数相同的表，可以做四则运算。 表还可以是函数的自变量。,2
21、003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,57,表的举例,list1= 1 , 2 , 4 list2= .2 , .5 , .4 list1+list2 list1*list2 list1/list2 list12 Sinlist2 观察: list3= 2 , 4 list1+list3；list1/list3（表要做运算的话，必须是元素个数相同才可以）,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,58,表的生成,Table f , i,n Table f , n , nmin , nmax , dn Table f , i , imin , imax , j , jmin
22、 , jmax , 例：Tablex2,x,5 Table x2 , x , 2 , 25 , 2 Tablexi , x , 1 , 5 , i , 1 , 3 ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,59,8.2 表的元素的引用,命令: Part list , i , j , k , 作用:提取表中的一部分元素做为变量或表来使用。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,60,8.3 矩阵初等运算,矩阵算术运算： 矩阵转置：Transpose F 矩阵的逆：Inverse F 矩阵的行列式：Det F ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,61,8
23、.4 矩阵特征值与特征向量,矩阵的特征值： Eigenvalues F 矩阵的特征向量： Eigenvectors F 矩阵的特征值与特征向量： Eigensystem F ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,62,8.5 矩阵的RQ分解,矩阵的QR分解： QRDecomposition F ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,63,第九章 方程求解,Mathematica可以解代数方程、微分方程等各类方程。 对代数方程提供了多种解法。 另外，还提供了各类方程的数值解法。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,64,9.1 代数方程(组),方程
24、求解： Solve f1=0， x1， 注意：本命令解线性方程组或4次以下的多项式方程比较有效；对某些简单类型的超越方程也可以进行一定的化简。但是，并不是能解所有的代数方程。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,65,9.2 一般方程数值解,方程数值求解： Nsolve 或 FindRoot 该命令可以对任意代数方程求解。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,66,方程求解的例,解方程 Solvex3+2 x2-5 x-6=0,x 在方程 中，解出y。 Solve6 x-3=11 y,y 在方程 中，解出sinx。 Solve(Sinx)2-Cosx=Sinx,
25、Sinx,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,67,方程求解的例,解方程 SolveSinx-Cosx=0,x 解方程 ， Solve2 x+y=4,x2+y2=4,x,y 解方程 ， Solve3 x-Siny=SqrtPi,y Cosx=0,x,y,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,68,方程求解的例,求方程 在x=0旁的近似解。 用Solve无法求出。用FindRoot求。 先画出该函数图形，找出根的大概位置。 Plotx-x5/256-Cosx5,x,-2,2 FindRootx-x5/256-Cosx5=0,x,0,2003-3-9,中南财经政法大学
26、信息学院 周 若,69,方程求解的例,求方程： 在x=5附近的解。 解：作图 PlotAbsx-3 Cosx,x,0,6 在5的附近有解，求之： FindRootAbsx-3 Cosx =0,x,5 FindRoot Absx-3 Cosx =0,x,0,6,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,70,方程求解的例,解方程 ， NSolvex5-7 x2-9 x+7=0,x,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,71,例：标准欧式期权定价公式的求解,设有方程,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,72,其中, 为标准正态分布函数,2003-3-9,中南
27、财经政法大学信息学院 周 若,73,E 的经济意义是公司股权市场价值；D 为公司债务面值；A为公司资产的市场价值；r为无风险利率； 为时间期限； 反映公司资产的波动性。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,74,已知E、 D 、r、 、 均为已知变量 为未知变量，如果给定E、 D、 r、 、 值，如何求得值。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,75,例如，设 E=60；D=40；r=0.06； =0.2； =1， 问A=?,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,76,求解的基本思路：,先作图，找出根的大概位置；再用FindRoot命令求解。,20
28、03-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,77,用Mathematica求解上述方程的程序：,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,78,nomalx_ := 1/Sqrt2 Pi* IntegrateExp-(t2)/2, t, -Infinity, x d1 = (Loga/d + (r + .5 xigma2) tao)/ (tao Sqrtxigma) d2 = d1 - tao Sqrtxigma f1a_ := a nomald1 e Exp-r tao nomald2 - e,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,79,e = 60 d = 40
29、 r = .06 xigma = .2 tao = 1,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,80,Plotf1a, a, a1,a2,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,81,FindRootf1a = 0, a, 116,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,82,其中，第一个语句定义了正态分布函数；第二、三个语句是定义和；第四个语句是将方程各项都移到一边，并定义为一个函数；第五九个语句是赋初值，其中，xigma表示 ，tao表示 ；第十个语句是作出该函数的图形，以便于找出方程的根的大概位置。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,
30、83,当初值不同时，需要改变作图区间；第十一个语句是解方程。其中的起始值要根据图形指示的位置做适当的调整。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,84,比较Solve、NSolve、FindRoot：,这三个命令都可以解（包括带参数的）方程或方程组。 Solve总是给出方程的精确解。但是，能解出的方程（组）数量相对较少； NSolve用近似算法求出多项式方程的全部实根和复根； FindRoot可以求任意方程（组）的一个近似解，需要起始点。所以，一般先绘制函数的图形，找出方程根的大概位置，再用这个命令去求根。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,85,9.3 线性方
31、程组,解线性方程组： LinearSolveA，b 本命令解下列线性方程组： Ax = b,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,86,9.4 微分方程（组）,微分方程通解： DSolve f = 0 , y , x 例： DSolveyx= a yx+1 , y,x,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,87,微分方程（组）,求微分方程特解： DSolve f =0 , y0=0 , y , x 例： DSolveyx=a yx+1, y0=0,yx,x,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,88,微分方程（组）,微分方程数值解： NDSolveeq
32、ns , y1 , y2 , ， x , a , b 例：NDSolveyx+Sinx2yx +yx=Cosx2, y0=1, y0=0,y,x,0,15 PlotEvaluateyx /. %,x,0,15,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,89,第十章 优化运算,10.1 无约束优化 无约束最小值： FindMinimum f , x , x0 本命令求 f 在 x0 附近的最小值。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,90,求无约束最小值的例,求cosx+x/2的极小值 先作图，观察极小值点。再求极小值。 PlotCosx+x/2,x,-10,10 Fi
33、ndMinimumCosx+x/2,x,-5 FindMinimumCosx+x/2,x,5,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,91,10.2 约束优化,约束最小、最大问题 Maximize f , inequalities,x,y, Minimize f , inequalities,x, y, ,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,92,约束优化的例,解下列约束优化问题： Max s.t. ； y0。 MaximizeSqrtx2+y2, x2+y3=1,y0,x,y,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,93,10.3 线性规划,LinearProgrammingc, A, b 该命令求解线性规划： 它返回最优值点。,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,94,线性规划的例,解下列线性规划问题 Min 2x-3y s.t.,2003-3-9,中南财经政法大学信息学院 周 若,95,c=2,-3 a=-1,-1,1,-1,1,0 b=-10,2,1 LinearProgrammingc, a, b,