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1、7.3 偏导数,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y 偏导数存在 ,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,(请自己写出),7.3.2 二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,函
2、数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,上节例,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,例1 . 求,解法1,解法2,在点(1 , 2) 处的偏导数.,先求后代,先代后求,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,7.3.3 高阶偏导数,7.3.3 高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏
3、导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,例5. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,例如,二者不等,则,定理.,说明:,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,而初等,(证明略),备用题,设,方程,确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,解:,7.3.4 偏导数在经济分析中的应用,在一元函数微分学中,我们引出了边际和弹性的概念,来分别表示经济函数在一点的变化率和相对变化率,这些概念也可以推广到多元函数微分学中去,并被赋予了丰富的经济含义.,实例,某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时,除关心本品牌电视机的价格取向外,更关心其他品牌同类型电视机的价格情况,以决定自己的营销策略.即该品牌电视机的销量 是它的价格 和其他品牌电视机价格 的函数.,通过分析其边际 及 可知道, 随着 及 变化的规律.,进一步分析其弹性,可知这种变化的灵敏度.,及,解:,解：,交叉弹性的经济意义,一般定义,即,