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1、1,1.3 概率的定义,一、几何概率,二、概率的公理化定义,2,我们考虑等可能的无限个样本点的 试验,例如, 射靶、飞镖中:,射一点,则射中阴影部分的概率:,一、几何概率,3,落在中任意子区域A的可能性大小与A的度量(长度、面积、体积等)成正比,而与A的位置与形状无关,这一类问题:,4,例1 两人约定0到T时在某地相见,先到者等t (tT)时后离去,试求两人能相见的概率,解:,以x, y分别表示两人到达约定地点的时刻,问题可以看作向平面区域: =(x,y)|0xT, 0yT 内投点,5,由于两人分别在0到T时之间任一时刻到达约定地点是等可能的,故可看作几何型随机试验,“两人能相见”这事件:,甲
2、先到:,乙先到:,则A=(x,y)|0xT, 0yT, |xy|t,xy, x+ty,yxt,xy, y+tx,xyt,6,故,A,7,几何概率的性质：,(1)非负性: 对任一事件A,有 0P(A)1,(2)规范性: 对必然事件,有 P()=1,(3)有限可加性: 若事件A1, A2, , An两两 互斥,则,(4)无限可加性: 若事件A1, A2, , An, .为 可列无限对个互不相容的事件,则,8,:设E是随机试验, 是它的样本空间,对每个事件A,定义一个实数P(A)与之对应,若函数 P( )满足条件：,定义,二、概率的公理化定义,(1)非负性: 对于每个事件,均有 0P(A)1,(2)
3、规范性:P()=1,(3)可列可加性:对于互不相容的事件Ak (k=1,2,.),有:,则 P(A)称为事件A的概率,9,公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；,公理2说明，必然事件的概率为1；,公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.,10,概率的性质:,(2),B,A,(3),(1) P( )=0,(4) 对任意的事件A和B, P(B-A)=P(B)-P(AB),11,(5)一般加法公式：,其中:,.,Sn=P(A1A2.An),12,特别, 当A与B互斥时, P(AB)=P(A)+P(B),有: P(AB)=P(A)+P(
4、B)P(AB),P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC) +P(ABC),13,例2 设事件A、B的概率分别为1/3和1/2, 求在下列三种情况下 的值:,(1) A与B互斥 (2) AB (3) P(AB)=1/8,14,解:,(1) A与B互斥,A,B,15,B,(2) AB,A,=P(B)P(A),16,B,(3) P(AB)=1/8,A,且,则,17,例3 在10到99的整数中随机地取一个数,求取到的整数既不能被2整除,又不能被3整除的概率,解:,设A:取到的整数能被2整除,B:取到的整数能被3整除,则所求概率为:,=1P(AB),=1P(A)P(B)+P(AB),18,一个数同时能被2和3整除,相当于该数能被6整除,10到99这90个数中:,能被2整除的有45个,能被3整除的有30个,能被6整除的有15个,故:,所求为:,