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1、舟山市普陀第二中学 张 杰,基于学生认知结构的初三数学 总复习教学策略,内容提要,二、研究认知起点，梳理和盘活学生的知识结构,一、前言：初中数学的知识点和具体要求,四运用认知结构，提高和促进学生的数学能力,三、重构知识结构，优化和发展学生的认知结构,中考是我国基础教育的一种选拔性考试，它与高考相比，其参加人数更多，涉及面更广，对基础教育的影响更大。可以这样说，中考在很大程度上影响着当地初高中教学质量和学生的素质发展。因此，各级教育行政部门和教研机构都非常重视中考试题的导向作用。我省2011年对新课程的标准进行了再次的修改，数学教材在内容的选取、体系的构建和处理的方法等方面都有很大的变化。,前言

2、,所以，复习前，教师首先要明确复习课要复习的内容，这部分内容在初中阶段是在哪几个学段学习的，要对三年的教材有一个总体的把握。,一、初中数学的知识点和具体要求,“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去教学。”,美国认知教育心理学家： 戴维保罗奥苏贝尔。 （David Pawl Ausubel, 1918-2008）,二、研究认知起点，梳理和盘活学生的知识结构,奥苏贝尔认为：“学生的认知结构是以教材的知识结构转化而来的”。 我们教科书的设计又是螺旋上升、分步到位。所以，每个知识点，它一般经历了初中三年的学习而加以完善。 出现在学生面前的知识可能是零散、间断的，老

3、师如何根据学生的认知水平和简约化教学原则，经过适当筛选后再现在学生面前，可以采用网络、图表或列表的方式把相关知识点串起来，使学生感到脉络清晰。,1.建立知识网络，梳理知识脉络,我们的教学设计必须先研究学生的认知情况，了解学生对原有认知结构，然后才能在学生已经掌握知识程度的基础上，对原有的知识结构进行唤醒，使原有的认知结构被激活。,我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。 如果，两个条件分别是：两组对边分别平行；有且只有一组对边平行。那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。,案例1：四边形单元复习课的设计,（2007年杭州18题）,由于统计的内容比较分

4、散。在七、八、九年级不同的阶段都有学习，教师要将这些知识，以网络、图表或列表的方式串起来，这部分一方面可以交给学生以小组的方式完成，教师指导或课堂交流，通过学生自我总结，完善知识结构，更有利于学生建立良好的知识结构。 这部分内容，在中考中的题型可有单项选择题、填空题、计算题、解答题从我省命题看，相关问题多为解答题，试题位置、分值相对稳定，问题背景却与生产生活实际联系紧密。,案例2：统计单元复习课的设计,2.提供结构性素材，引起相关性联想,复习课有别于新授课和练习课，不可能把知识重新组织教学，又不可以进行简单的练习加以巩固。它应该是基于学生的知识结构，设计合理的、有内在联系的例题，可以使学生借助

5、具体材料回忆，追溯到相关的概念、法则，把相关的知识都联想起来，成为一个块状的整体，达到从知识结构到认知结构的提升。,在课堂教学中，教师要对知识的引入，新旧知识的衔接、例题的选择、学生知识现状学生对知识的接受能力，复习课上教师注意 “以题代点、以题论法”，通过“串知识点”的方法强调知识的纵横联系。,案例3：相似三角形方法的复习课设计：,片段一问题引入：如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的两点， （1）若DEBC，则ABCADE，请说明理由。 （2）请你添加一个条件，也使ABCADE。 解：（1）生：方法一DEBC ADEB，AEDC ABCADE 生：方法二DEBC ADEB 又AA A

6、BCADE,串知识点,（2）生1：可添加一个条件：ADEB或 AEDC或 ； 生2：也可添加一个条件：ADEC或 AEDB或 。,对比与其他教师在上这节复习课时，很多都会一开始提问：判定三角形相似有哪些方法呢？学生回答：（1）两个角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似。很显然，这种提问只是一种知识的简单重复和记忆，学生不用动任何脑筋即可回答，学生自然没有兴趣，也不利于学生的思维发展。 而片段一则巧妙地将三角形相似的判定方法蕴涵于一个题目当中，同时通过变式，让学生举一反三，加深了对三角形相似判定方法的理解，开拓了学生的思维

7、，有很强的实效性。,片段二师：请同学们思考，问（2）中学生1所添加的三个条件实际上都保证了什么？他们有什么内在的联系？ 生：DEBC 师：也就是说只要保证了DEBC，则始终有ABCADE，同时几何画板拖动点D在直线AB上移动，学生观察各种平行位置的ABCADE。,3设计结构性材料，形成知识结构的新建构,在学生的知识结构中，许多知识往往是相对独立的，比较零散的。所以，在复习过程中，就要关注学生的知识结构，教师可以设计一些有助于学生对一类知识的结构性材料。如：温习常用的题组就是很好的结构性材料，可以为知识的沟通整理提供了很好的凭借。,案例4：一个复习课的教学片断,计算与反比例函数图象有关的图形面积

8、：,正向思考,你能借助反比例函数的图象画出面积为6的图形吗？,反向思考,你能借助反比例函数的图象画出面积为6的图形吗？,等积变形,改变点的个数,改变点的位置,改变双曲线的位置,改变双曲线的条数,让学生体会反比例函数图象有关的图形面积中“变与不变”的实质。,更重要的价值是： 利用一类知识的结构性材料，设计一组递进式的题组，让学生在题组中感受“多题归一”的体验，从而加深对一类知识结构的深层次的建构。,三重构知识结构，优化和发展学生的认知结构,知识结构 认知结构,知识结构,认知结构,1构建知识组块，丰富学生的认知结构,在总复习的过程中，因为学生对知识的理解深度、广度不同，导致他们对知识结构的认识不同

9、，经过复习整理形成的认知结构有的还不够稳定，建构还不够到位，需要进一步内化和丰富。教学时，教师可以合理地选择知识组块，组织教学，把知识的归纳与思维能力培养有机地结合起来。,案例5：数与式的复习问题,1.计算：,2.根据下面的运算程序，回答问题： （1）若输入x =7，请计算输出的结果y的值； （2）若输入一个正数x时，输出y的值为12，请问输入的x值可能是多少？,第1题是二次根式的化简和运算； 第2题是求代数式的值、解一元一次方程、二次根式值的估算、求立方根. 第1题是简单题，考核学生根据运算法则进行运算的技能；第2题是中等难度题，考查学生根据问题情境选择计算方法、理解算理和正确计算的能力.,

10、复习时，我们往往会采用的方法,方法1：在一堂实数复习课的教学中，教师带领学生一边回顾诸如实数的分类、无理数的概念、数轴、相反数、绝对值、倒数、大小比较、乘方、零指数、负指数等相关概念，而且每一个概念回顾后都进行了相关的概念辨别的练习，但整堂课没有涉及到实数运算的相关例题和练习，这样，学生头脑中留下的还是零散的知识点.忽视了实数运算的复习与训练，这实际上是捡了芝麻，丢了西瓜，这样的复习课，难以有效发展学生的数学运算能力.,方法2：有的教师往往按照学生新课学习的次序，把方程相关内容分成一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程分进行复习，这样的复习，学生难以形成方程的解法的转化思想的深刻

11、理解，不能有效发展学生的算法构建和执行的整体能力的发展，也不能有效发展方程建模的能力.,案例6：基于运算的整式复习教学思路：,（1）先让学生计算： 4(-3)2-2(-3)； 2(-3)+1； 在此基础上让学生思考：用字母a表示-3，得到什么算式？这样就得到两个式子： 4a2-2a 和 2a+1. （2）让学生说说得到的两个式子的特征，以此为线索回忆单项式、多项式、整式、单项式的系数与次数等相关概念，体会字母表示数.,（3）引导学生思考：数可以进行加减乘除运算，字母表示数后得到的整式是否可以运算?怎样计算？ 让学生计算得到的两个整式的和差积： （4a2-2a）+（2a +1）； （4a2-2a

12、）-（2a +1）； （4a2-2a）（2a +1）. 在运算过程中让学生说出每一步运算的依据，把每一步运算的依据归结到运算律及指数运算法则上，在此基础上让学生体会运算的基本思想：把相同字母看作相同的数，把不同字母看作不一定相同的数，运算运算律转化为单项式系数及次数的运算.,在乘法运算中，直接用运算律进行运算 （4a2-2a）（2a+1）= 通过先因式分解，再用公式进行计算： （4a2-2a）（2a+1）= 并借此回顾乘法公式和因式分解的概念.,加强运算根本原理的教学.,算法1：把点A，B坐标代入抛物线解析式得到c=2和16a+4b=1,根据点C在直线x2上且到对称轴的距离为1可得或，建立两个

13、二元一次方程组，得到a,b的值，从而求出函数解析式.,案例7：设抛物线yax2bxc（a0）过A(0,2)，B(4,3)，C三点，其中点C在直线x2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，求该抛物线的函数解析式.,算法2：根据点C在直线x2上且到对称轴的距离为1可得抛物线的顶点的横坐标为1或3，因此可以分别设函数解析式为和再把点（0,2）、（4,3）分别代入得到两个二元一次方程组，分别解得a,k和b,m.,引导学生经历构建合理算法的过程.,2重视基本图形，内化学生的认知结构,案例8：解直角三角形的复习课设计：,D,串图形-基本图形,组合一：,例1海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船

14、跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由,例2.如图,为了求河的宽度,在河对岸岸边任意取一点A,再在河这边沿河边取两点B、C,使得ABC=60,ACB45,量得BC长为100米,求河的宽度（即求BC边上的高）.,组合二：,组合三：,例3如图，张华同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点离地面的高度为 米（结果保留根号）,D,问题1楼房AB的高度是多少?,问题2楼房CD的高度是多少?

15、,小结:通过知识点的串联、图形组合的串联、认知结构的串联等，可以充分让学生体会其中的联系与变化，抓住问题的本质，从而达到对知识的全面复习。 注：如果可以，将以上的问题可以放得更开些，形成系列问题，一个个抛出，让学生形成思维上的深层思考，进一步加深学生探究的兴趣。,测底部不能到达的物体高度,测底部不能到达的物体高度,现代认知心理学关于“优生系统”的研究表明，善于学习的学生，按照老师的启发，能把知识组织的很好，便于存储和提取，相反，一个不善于学习的学生，把他所学的知识机械地往头脑里装，把知识的因果关系、类属关系看作是并列关系，这是一种认知结构的偏差。,3.立足课本强化变式，拓宽学生的认知结构,在复

16、习中要立足于课本，离开了课本的复习必然是无源之水，特别是教师，要充分挖掘和发挥课本中的例题、习题的潜在的功能，教给学生通过类比、延伸，拓展出一些新颖的变式题，并加以解决，从中归纳整理出基础知识、基本技能、基本方法、掌握教材中的通性通法。,立足于教材，抓习题的变换,案例9：来自课本的问题1,习题的变换,习 题 的 变 换,案例10：来自课本的问题2（八年级教材下册第147页第5题） 如图,在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD上，AE，BF交于点O，AOF90。求证：BECF。,变式1（平移变化）如图，O为正方形ABCD内一点，过点O的两条互相垂直的直线与正方形的两组对边交于点E，F，G，H，

17、求证：EF=GH。,变式2 （横向变化）在例题中，如果将点O移动到正方形外，如图，其他条件不变，是否还类似的结论？结论如何表述？,变式3（解决此问题后，再对例题进行变化，把正方形改编为矩形、平行四边形等） 如图，已知O为矩形ABCD内一点，过点O作两条互相垂直的直线分别交矩形于点E，F，G，H，则EF与GH又存在着怎样的关系呢？ 把点O移到矩形ABCD外，是否还有同样的结论？结论又该如何表述？,变式4纵向变化：,案例11：问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： 如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，若BM与CN相交于O,BON=60，则BM=CN；

18、如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，若BM与CN相交于O,BON=90，则BM=CN,然后运用类比的思想提出了如下命题： 如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，若BM与CN相交于O,BON=108，则BM=CN,任务要求 （1）请你从上述，三个命题中选择一个进行证明； （说明：选做对的得4分，选做对的得3分，选做对的得5分） （2）请你继续完成下面的探索： 如图4，在正n（n5）边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM，CE相交于点O，问当BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）,如图5，在正五边形ABCDE中，当M、N分

19、别是DE、AE上的点，且BM与CN相交所成的一个角为108时，BM=CN是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由,在平时的复习教学中，我们若能经常这样来设计一定量相互衔接和过渡的，具有知识、能力层次、梯度要求的变式问题，必能拓宽和优化学生的知识结构，提升学生灵活应用知识、分析问题、解决问题的能力。,孙维刚老师： 教师备课时,要对教材例习题的内容、蕴涵的思想方法与知识间的联系,做深入的多角度多层次地钻研与研究:以便贯彻一题多解;一题多变,多题归一的教学方针.从中寻求题解间的共性与思维规律。 如果教师理解这一点的话，就会通过对知识适当的引申，运用变式训练，把与其产生发展由此派生的思想方法

20、有机联系起来，串成一条线。再横向联系，把学生学过的前后相关知识构成知识组块，纳入到学生的认知结构中。最后纵向联系，拓宽学生的认知结构。,四运用认知结构，提高学生的综合应用能力,1围绕认知结构，组织综合练习,经过复习整理形成的认知结构还不够稳定，尤其与其它的知识结构的连接与贯通还不够密切和灵活，需要进一步内化，加以训练。如果教师在精选的例题时，着眼于学生的不同的侧面，把数学核心知识置于多变的问题情境之中，引导学生形成多角度的理解，建立多元的联系，重视一个知识结构与其他知识结构的连接和贯通，使结构向外延伸，与其他知识融为一体，推动学生认知结构的不断发展，从而提高学生的实际应用能力。,数学核心知识是

21、什么？,阴影部分的形状：从三角形到四边形,阴影形状：从四边形到特殊四边形,阴影部分：从形状到位置,函数类型：从双曲线到直线,图形位置：从一个象限到多个象限,图形组合：从一个函数到两个函数,试题列举,2着眼应用能力，开展探究活动,开展探究活动是锻炼学生应用新认知结构解决问题的有效途径。新课程的领域之一课题学习就是非常好的素材。它注重向学生呈现数学知识之间在数学思想方法上的一致性，为学生提供一个以数学思想方法为线索进行统领的知识结构体系。对巩固和完善学生的认知结构，实现知识的迁移，提高学生运用知识解决实际问题的能力是非常有益的。,案例13：小明准备设计一种高为60cm的简易废纸箱如图甲，废纸箱的一

22、面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成,（1）小明设计了乙图所示的三种横截面图形，请求出横截面的面积与之间的函数关系式，并画次取最大值时的设计示意图。 （2）在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图2中“底角为 的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画你认为他的说法正确吗？请简要说明理由 （3）请你按题目的要求也设计一种横截面图形，使横截面图形的最大面积比小明的方案大。,在我们的教学过程中，一方面要善于引导学生积极进行探究，养成主动探究的习惯，而不是为探究而探究。另一方面更要善于捕捉时机，随时从学生的疑问中发现问题，从而

23、开展探究，提高学生的综合分析能力与解决问题的能力。,案例14 下题是我根据课堂上学生提出的疑问而形成的一个综合题的例子。 产生的背景：习题课上，教材中问题解决的习题，学生提出如下问题：周长是定值时，当长与宽相等时，围成矩形的面积最大，即此时的矩形为正方形。当这个矩形一边靠墙时，如果要保证面积最大，长与宽就不等了，是不是有什么关系呢？ 我与学生一起对这个问题进行了深入的探究，从而形成这样一个综合题。,问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： 如图1，用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，当这个矩形的长y是宽x的2倍时，菜园的面积最大。 如图2，用一段长为100

24、米的篱笆围成二个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y是宽x的3倍时，菜园的面积最大。,然后运用类比的思想提出了如下命题： 如图3，用一段长为100米的篱笆围成三个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y是宽x的4倍时，菜园的面积最大。,任务要求 请你从三个命题中选择一个说明成立的理由，并求出此时菜园的最大面积是多少。 （说明：选做对的得3分，选或做对的得4分） 请你继续完成下面的探索： 如图4，用一段长为100米的篱笆围成四个一边靠墙的全等矩形菜园，当这个矩形的长y和宽x满足什么条件时，菜园的面积最大，最大是多少？(4分),如图5，用一段长为100米的篱笆围成n个一边靠墙的全等矩形菜园，当

25、这个矩形的长y和宽x满足什么条件时，菜园的面积最大，最大是多少？(不要求解题过程,直接写答案)(2分),这样的情况，经常在我的教学中出现，往往是由于学生发现的问题或提出的问题，为解决学生的疑问，从而形成了深入的探讨。,案例15如图1：RtABC为一钢板余料，C=90,AC=40 cm,BC=30cm,现需如图所示截出一个矩形CDEF，如何裁剪才能使矩形CDEF的面积最大？教材P67的情景引入,探究一：如图2：RtABC为一钢板余料，C=90, AC=40 cm,BC=30cm,我们现如图2所示截出一个矩形DEFG，那么这时又该如何裁剪才能使矩形DEFG的面积最大？最大面积还会是ABC的面积的一

26、半吗？所截得的线段还会是ABC的中位线吗？,探究二：如图3，在一块三角形ABC的余料中，如图所示截出一个矩形，如何裁剪使矩形DEFG的面积最大。,在解决这个问题时，不同学生的不同解法，反映了他们的不同数学认知结构，面对新的情境问题，学生把要解决的问题与已有认知结构之中相应的知识联系起来，会把建构的认知结构迁移到问题中来，最终使问题得以解决。,孙维刚老师： 总是站在系统的高度，时时注意寻找知识之间的联系.以广义对称的思想、运动的思想来重新分析认识数学.更着重向哲理观点升华.在思想境界上方法论上均棋高一筹，从而才取得了更多更深广的结果.,3重视数学思想方法，深化学生的认知结构,课例：“极端思想”的

27、教学实践与反思（获省二等奖）,从近几年的中考命题趋势来看，立足学生的基本生活经验，考查学生的数学基本思想已成为一种趋势，许多数学思想被越来越重视并得以应用。如化归思想、数形结合、分类讨论、从特殊到一般思想等等都以各种形式出现在各市地的试卷里，引起了师生的重视。,初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程的思想、函数的思想等，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。,问题导入： 将一个大的正方体木块切割成27个小正方体木块，需要切6刀（图1）。我们在切东西时，把切开的东西重新堆砌，然后再切一刀，常常可以减少切的次数。对

28、于这个问题，可不可以少于六刀，而切成我们所需要的样子呢？,图1,问题2：五位同学在一次数学检测中共得404分，每人得分互不相等并且其中得分最多的选手为90分，那么得分最低的选手至多得多少分？（每人的得分均为整数）,问题3 如图2，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（xm）2+ n的图象随着它的顶点在线段AB上平移，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为（ ）。,问题4：（2009年义乌中考第16题）。如图3，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界 ）的一个动点，

29、则 abc 0(填“”或“”)； （2）a的取值范围是 。,问题5（2008年义乌中考第16题）如图，直角梯形纸片ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4， 点E、F分别在线段AB、AD上，将AEF沿EF翻折，点A的落点记为P,图4,（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD= ； （2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ；,图7,问题6：如图8，是一个圆心角为900的扇形，AO=2cm，点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将它以上的部分向下翻折，使翻折后的弧恰好过点O，则点P移动的最大距离为_ 。,对极端思想有了更深的理解，突破了重难点，多数学生基本做到了可以运用极端原理解决实际问题。,我们只有站在知识系统的高度，从研究学生的知识结构，发展学生良好的数学认知结构人手，来组织数学复习课，学生才能真正从繁重的课业负担中解放出来，体验到“一览众山小”的感觉，从而进一步激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，提高数学学习的效率和质量。,,欢迎批评指正！,