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1、控制工程基础,北京物资学院,主讲：马向国,第三章 第3讲 线性系统的稳定判据,”神十“的稳定性,K(t)=Ae-at,零极点分布图：,运动模态1,上节课回顾,K(t)=Ae-atsin(bt+),零极点分布图：,t,运动模态2,K(t)=Asin(bt+),零极点分布图：,t,运动模态3,K(t)=Aeatsin(bt+),零极点分布图：,t,运动模态4,K(t)=Aeat,零极点分布图：,t,运动模态5,运动模态总结,线性系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部是负实数或具有负实部的共轭复数，也就是所有的闭环特征根分布在s复平面虚轴的左侧。,从本例求解过程可
2、见，如果特征方程阶次较高，方程所有根的求解十分困难，再判断 所有根是否落在复平面左侧，将不大现实！因而有些学者提出能否不解方程，研究 方程系数是否可以判断根的情况。,英国人劳斯于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖,1.Routh稳定判据 系统的特征方程为,必要条件 （1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)具有相同 的符号。,充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正！,劳斯阵列,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳
3、 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-8,劳斯表介绍,劳斯表特点,1 右移一位降两阶,2 行列式第一列不动,3 次对角线积减主对角线积,4 分母总是上一行第一个元素,5 一行可同乘以或同除以某正数,劳斯判据,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系统不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,2.Routh判据的特殊情况,a.某行第一个元素为零，其余均不为零。,方法：用正无穷小量代替0，继续运算,b:劳斯表出现零行,设系统特征方程为：,s4+s3+7s
4、2+s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,s2+1=0,对其求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3,3.Routh判据的应用,课堂练习1： 已知系统特征方程如下，试求系统在右半S平面的根数及虚根值,解：由系统特征方程，列劳思表如下：,表中第一列元素变号两次，故右半S平面有两个闭环极点，系统不稳定,对辅助方程,因此系统有一对纯虚根,运动模态总结,本次课总结,线性系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部是负实数或具有负实部的共轭复数，也就是所有的闭环特征根分布在s复平面虚轴的左侧。,但是当特征方程阶次较高，方程所有根的求解将十分困难，再判断所有根是否落在复平面左侧，将不大现实！因而有些学者提出能否不解方程，研究方程系数是否可以判断根的情况。,线性系统的稳定判据 1.Routh稳定判据 系统的特征方程为,必要条件 （1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)都不为零； （2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,n)具有相同 的符号。,充分条件： 劳斯阵列第一列所有元素为正。,劳斯阵列,本节结束,