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1、数学物理方程,陈有亮 上海理工大学环境与建筑学院,第2章 分离变量法和积分变换法,1 齐次波动方程的第边值问题 2 齐次热传导方程的定解问题 3 二维拉普拉斯方程 4 非齐次定解问题的解法 5 积分变换法 习题二,1 齐次波动方程的第边值问题,1.1 有界弦的自由振动 1.2 解的物理意义,1.1 有界弦的自由振动,考虑长为l，两端固定的有界弦的自由振动问题，其可归结为如下定解问题 u|x=0=0, u|x=l=0, t0 (1.2) u|t=0=(x), u/t|t=0=(x), 0x l (1.3) 其中 (x), (x)均为已知函数。,1.1 有界弦的自由振动,考虑长为l，两端固定的有界
2、弦的自由振动问题，其可归结为如下定解问题 此定解问题的方程和边值条件都是齐次的，而初值条件是非齐次的。 先对有界弦振动过程中的波形进行分析。 波形表示波在传播过程中的真实形状(瞬间) ，即若选定一个坐标轴轴的话，它表示某时刻各点处的位移分布。试验表明，驻波在不同时刻各点处的位移按同一比例增减。,1.1 有界弦的自由振动,设u(x,t)为驻波的位移函数, 在时刻t0的波形为 u(x,t0) =X(x)， 在时刻 t1的波形为u(x,t1)，则 其中T1为常数 。 再设在时刻 t2的波形为u(x,t2)，则 其中T2为另一常数 。,1.1 有界弦的自由振动,设在时刻t的波形为 u(x,t)，则 其
3、中Tt是一个与x无关的量，它只随时间t的变化而变化，即T应该是时间t的函数。 由(1.4) 得 u(x,t)= u(x,t0)T(t)=X(x)T(t) 下面介绍用分离变量法求解方程 (1.1) 的全过程 。,1.1 有界弦的自由振动,在求解之前我们首先要声明，我们所求的解为非零。求解过程大体分为三步。 第一步，变量分离 设 u(x,t)= X(x)T(t) (1.5) 将(1.5)代入方程(1.1)，可得 X(x)T“(t)= a2X“(x)T(t),1.1 有界弦的自由振动,或 仔细分析方程(1.6)，左边仅是x的函数，右边仅是t的函数，若要两边相等，只有两边都等于同一常数时才有可能。设此
4、常数为-，则,1.1 有界弦的自由振动,由(1.7) 可以得到如下两个常微分方程 由u(x,t)=X(x)T(t)和边界条件 (1.2)可得 X(0)T(t) =0, X(l)T(t) =0 (1.10) 由于要求的解为非零解，故 u(x,t) 0, 则T(t) 0, (1.10) 变为,1.1 有界弦的自由振动,X(0) = X(l) =0 (1.11) 先通过解如下方程解出X(x) 方程(1.12)中含有待定常数, 且的值对问题的解有很大影响。对 (1.12)这样要讨论问题的非零解必须先讨论的值的问题，称为固有值(或特征值)问题，使问题 (1.12)有非零解的称为该问题的固有值(或特征值)
5、, 相应的非零解X(x)称为它的固有(或特征) 函数。,1.1 有界弦的自由振动,第二步，求解固有值问题。对分三种情况来讨论: (1) 0 (2) 0 (3) 0,1.1 有界弦的自由振动,(1) 0, 此时方程X+X=0的通解为 由条件X(0) = X(l) =0, 可得 A*1+B*1=0 由于,1.1 有界弦的自由振动,故A=B=0，即X(x)0, 不符合非零解的要求，因此不能小于零。 (2) 0, 此时方程X+X=0的通解为 X(x)=Ax+B 由条件X(0) = X(l) =0仍然得到A=B=0, 即X(x)0, 所以也不能等于零。 (3) 0, 此时方程X+X=0的通解为,1.1
6、有界弦的自由振动,由条件X(0) = X(l) =0, 可得 则 为使 X(x)不恒为零, 应有B0, 则只有 , 即 满足这个等式的值就是固有值, 记为n, 即,1.1 有界弦的自由振动,相应的固有函数为 其中Bn为任意常数。 第三步, 求特解, 并叠加特解, 求出叠加系数。 对应于每一个固有值n, 方程 的解是,1.1 有界弦的自由振动,其中Cn, Dn为待定常数。 这样就得到满足方程(1.1)和边界条件(1.2)的可分离变量的一系列特解为 对应于每一个正整数n都有一个形如(1.13)的特解, 所以, 满足 方程(1.1)和边界条件(1.2)的解有无穷多个, 但形如(1.13)的特解不一定
7、满足初值条件(1.3), 为了得到满足初值条件(1.3)的解, 我们把形如(1.13)的特解叠加起来, 记其和为u(x,t), 则,1.1 有界弦的自由振动,下面的问题是如何选取待定系数En,Fn, 以使整个级数满足初值条件(1.3), 将初值条件代入 (1.14), 可得 等式右边两个级数恰好分别代表函数(x), (x)的傅里叶正弦级数展开。由函数展开成傅里叶级数的唯一性, 可得En和Fn的值为,1.1 有界弦的自由振动,这样, 具有上述系数的级数 (1.14) 在形式上既满足方程(1.1), 又满足边界条件(1.2)和初值条件(1.3), 因此, 它就是有界弦的自由振动问题的形式解。 我们
8、之所以说得到的是形式解，是因为有两个问题还没有解决:(1) 级数(1.14)是否收敛;(2)u(x,t)对x,t必须两次连续可微，方程 (1.1) 才有意义，这两点必须解决，解u(x,t)才有意义。,1.1 有界弦的自由振动,为了解决这两个问题, 只需给(x)和(x)加一些约束条件即可。对于这里讨论的有界弦的自由振动问题, 我们假设(x)三次连续可微, (x)二次连续可微, 且(0)=(l) =“(0) =“(l)=(0)=(l) =0。可以证明，给出上述约束条件后，问题(1.1)-(1.3)的解存在,且可以用(1.14)的形式给出, 系数En,Fn由 (1.15) 确定。证明过程此处不再赘述
9、。 在本课程的教学中, 只要求出形式解即认为问题已经最后解决。,1.1 有界弦的自由振动,根据以上求解过程可以得到用分离变量法求解方程的一般步骤: 第一步，分离变量。设u(x,t)=T(t)X(x), 代入方程, 分别得到两个关于T(t)和X(x)的常微分方程, 并由齐边值条件可得固有值问题。 第二步，求解固有值问题，即解出固有值以及固有函数。 第三步，确定系数。由选定的固有值来求T(t), 进而得到一系列特解，然后利用叠加原理叠加特解得到一个无穷级数解，并由初始条件确定无穷级数解的系数。 在处理工程问题时，为了更贴近工程实际，减小误差，我们一般都是在三维空间中考虑问题。上述求解过程可以推广到
10、三维情况。,1.2 解的物理意义,下面来分析解的物理意义。 最终的解是一个无穷级数, 我们来分析其中的任意项un(x,t)。 若固定取一点x=x0, 则 它表示横坐标为x=x0的点的简谐振动，振幅为Bn, 角频率为n, 初位相为n。 若固定一个时刻t=t0, 则 它表示一条正弦曲线。,1.2 解的物理意义,un(x,t)=Tn(t)Xn(x) 表示的就是一个振动波, 弦上各点以相同的角频率和初位相作简谐振动。 该振动波还有一个特点, 就是在0,l范围内还有n+1个点(包括端点) 永远保持不动, 这是因为在 的那些点上, 的缘故, 这些点称为节点。这说明 un(x,t)的振动是0,l上的分段振动，人们把这种包含节点的振动波叫驻波。我们用分离变量法得到的解是一系列驻波的叠加, 分离变量法又称驻波法 。,