逻辑思维训练6复合命题及其推理下.ppt

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1、1,第六章 复合命题及其推理(下),逻辑思维训练,Logic and Critical Thinking,2,第三节 命题逻辑的现代形式,一、多重复合命题和自然语言的符号化 一般步骤是：首先用p、q、r、s等分别表示各个简单命题（不同的简单命题用不同的命题变项符号表示，同一个简单命题用同一个命题变项符号表示）。 其次，按自然语言语句所表达的命题的逻辑含义确定其中各个成分命题（简单命题）的先后配置次序，为此可用括号“（”、“）”为其辅助符号。,3,如果合同有效，那么甲方和乙方就应遵守合同。 如果用“p”表示“合同有效”，用“q”和“r”分别表示“甲方应遵守合同”、“乙方应遵守合同”。 p（qr）

2、“如果p，则q 而且r”； （pq）r “如果p则q，并且r”。 在有括号时，先括号内，后括号外； 在无括号时，最先，、和次之；、和最后。 p qr,4,小张和小王不能同时上场比赛。 如果用“p”和“q”分别表示“小张上场比赛”和“小王上场比赛”，则相应的命题形式为： （qr） 小张和小王至少有一人上场比赛。 如果用“p”和“q”分别表示“小张上场比赛”和“小王上场比赛”，则相应的命题形式为： pq,5,二、命题的永真式、协调式和永假式,由已学过的命题联结词和p、q、r 等命题变项组成的命题形式，其数目有无限多。若根据命题形式所表示的真值函项的不同，则无数的命题形式可分为三大类：永真式（又叫重

3、言式）、协调式和矛盾式。,6,所谓真值函数，就是函数值为真值，而且其自变元的值亦为真值的函数。 在各种复合命题的逻辑特性时看到，一旦命题形式中的命题变项（即自变元）的真值确定后，整个命题形式的真值随之也就确定了； 命题形式的这一特性，犹如数学的函数特性。 不同的是，数学中函数及其自变元的值是无穷多个实数，而真值函数及其自变元的值仅取真、假二值； 因此，真值函数实际上就是复合命题的逻辑特性。,7,n 个不同命题变项可能有的真假组合是2n（m）个。对于每一个真假组合又可以有两种断定：肯定或否定。 对2n（m）个组合，肯定和否定的组合共有： 其中，每一个组合就是一个真值函数的内容。所以，如果以n 为

4、命题形式中不同命题变项的个数，那么不同的真值函数有2m 个，其中m2n。,8,设n1，那么真假组合有： 212 令m21，则其真值函数的数目是： 2m4 若用“f( )”代表真值函数，那么只有一个命题变项p 的真值函数的个数可以列表如下：,9,f1(p)是恒取真值的函数，表示它的命题形式可以是pp，也可以表示为pp。 f2(p)是这样一个函数，当p 真时它真，当p假时它假，因而表示它的命题形式就是p。 f3(p)则相反，它是对p 的否定，应表示为p。 f4(p)恒取假值，其相应的命题形式是pp，或者（pp），或者（pp）。,由以上分析可知，由于真值函数有常真、常假和有真有假之分，因而表示真值函

5、数的命题形式亦可相应地分成永真式、矛盾式和协调式三种。,10,永真式,永真式就是表示常真的真值函数的命题形式，又称重言式。 pp，是重言析取式； pp 是重言蕴涵式。 永真式可以定义为：一命题形式是永真式，当且仅当不论其命题变项取何值，命题的真值恒为真。,11,矛盾式,矛盾式是表示常假的真值函数的命题形式， pp （pp) 任何永真式的负命题都是矛盾式。矛盾式可定义为：一命题形式是矛盾式，当且仅当不论其命题变项取何值，命题的值恒为假。,12,协调式,协调式就是表示有真有假的真值函数的命题形式，即既非永真式又非矛盾式的命题形式； pq pq pq 协调式可定义为：一命题形式是协调的，当且仅当不论

6、其命题变项取何值，命题的值有真有假。,13,f1 永真式（重言式） f4 永假式（矛盾式） f2 f3 协调式（可真可假）,14,永真式具有特别重要的意义，因为它们是逻辑真理的表现形式。 凡复合命题演绎推理的有效推理形式，如表示成横写式，都是重言蕴涵式。反之，若非重言式的蕴涵式，它表示的推理就不是有效推理。 表示充分条件假言推理否定前件到否定后件的蕴涵式（p q）p q，可用真值表证明其不是永真式，因而与其相应的推理不是有效的。 矛盾式则是逻辑矛盾的表现形式。由于矛盾式的负命题就是永真式，因此，如能证明一命题形式的永假是不可能的，就实际上证明了该命题形式是永真式。,15,三、命题形式的判定方法

7、,（一）真值表判定方法 真值表是用来判定一命题形式是永真式、永假式还是协调式的最直接的方法。 5种基本真值形式 p 否定式 p q 合取式 pq 析取式 pq 蕴涵式 pq 等值式,16,用真值表方法证明（pq）p q 和（p q）p q,pq 充分条件假言命题的逻辑性质： pq是假的，当且仅当p真且q假。,pq 联言命题的逻辑性质： pq是真的，当且仅当p是真的，并且q是真的。,pq 相容选言命题的逻辑性质： pq是真的，当且仅当p和q至少有一真。,17,真值表的作法,分解公式。把一复杂公式分解为支命题和命题变项。如,（pq ）r） （r p） q ）,先找到主联结词，即最大括号外的联结词。

8、蕴涵号 得到（pq ）r）和（r p） q ）再行分解 得到pq 和r； r p和q 按变项最简单公式复杂公式顺序排列 p，q，r， q ， r ，pq ， r p， （pq ）r，（r p） q ， 最后是总公式（pq ）r） （r p） q ） 可以坚持一条原则：一公式的支命题在前，该公式在后，因此顺序也可排为p，q，r， q ， r ，pq ， （pq ）r， r p ,（r p） q ， 只要保证，被判定的公式的支命题在先已经赋值即可。 然后画表，先画一个偏十字或表格，将分解后的公式成分由简到繁写进表,18,（pq ）r） （r p） q ）的真值表作法 第一步：分解公式，画表 3个变

9、项，其真假组合共有238种可能 因此有8行；变项有3个，整个公式可分解为7部分，共有10列。,19,第二步：由简到繁填入欲赋值的公式,20,第三步：给变项赋值（技巧：先给最后一个变项按一真一假赋值，再给 第2个变项按两真两假赋值；再给第一个变项按四真四假赋值）,21,第四步：依次按照5个基本真值形式的真值表给每个子公式赋值,第五步：根据真值表中的总公式即最后一列的赋值，对公式做出判定。 此总公式下每一行均为真，故该蕴涵式为重言式，即一个有效推理形式。,22,判定多个公式的性质或关系,可以看出： 第5列与第6列取值完全相反，二者为矛盾关系 第6列与第7列取值完全相同，二者为等值关系 第6列与第9

10、列取值完全相同，二者为等值关系 第8列每一行取值均为真，是重言式,1 2 3 4 5 6 7 8 9,23,某公安局的刑侦员A、B、C、D对某案的嫌疑犯李、赵做了如下断定： A、“我认为赵不是凶手。” B、“如果李是凶犯，则赵就不是凶犯。” C、或者李是凶犯，或者赵是凶犯。“ D、“我看李和赵都是凶犯。“ 事后证明这四个人的判断只有一个人是错误的，请问谁是凶手？,24,25,肖像问题,金匣,银匣,铅匣,肖像只在一匣中，匣上话只有一真，问：肖像在哪匣？,铅匣,26,P:在金匣中； q:在银匣中； r:在铅匣中。,27,白球和黑球 有三只外型完全相同的盒子，每只盒子里放着两个球：一只盒子里放一个白

11、球和一个黑球；一只盒子里放两个白球；一只盒子里放两个黑球。而每只盒子外面分别贴着一张标签，标明 “白白“、“黑黑“、“黑白“的字样。但由于疏忽，标签全贴错了，它们都与盒子里装的 球不相符合。 试问：如果我们要求从其中的一只盒子里取出一个球，就能推出该盒子中另一个球的颜色，那末，应当从哪只盒子里去取出这一个球呢?我们又如何根据这个盒子里两个球的颜色，推出另外两个盒子里各装什么颜色的球呢?,28,内容,标签,29,30,A、B、C、D、E五个人每人说了一句话 。 A说： “我们五人中有一个说谎。” B说： “我们五人中有两个说谎。 ” C说： “我们五人中有三个说谎。 ” D说： “我们五人中有四

12、个说谎。 ” E说： “我们五人都在说谎。” 究竟有几个人在说谎呢？,31,32,有张三，李四，王五三个人。 张三只说假话，不说真话； 李四只说真话，不说假话； 王五最奇怪，真话假话都说。 有一天，一个学者同时遇到三个人，学者问他们的身份。三个人各说了一句话： A说：我是王五。 B说：A说的是真话。 C说：我不是王五。 那么，A，B，C分别是谁？,33,张三只说假话； 李四只说真话； 王五真话假话都说,34,（二）归谬赋值法,为了简化判定步骤，人们在真值表方法基础上设计了一种称之为“归谬赋值法”的简化真值表方法。 虽然这种方法只是适用于判定蕴涵式以及能等值地转换为蕴涵式的等值式和析取式，但是，

13、由于在形式逻辑中要判定的命题形式绝大多数是蕴涵式（因为它们表示演绎推理形式），因此，归谬赋值法仍然是一种对常用的命题逻辑判定方法。,35,归谬赋值法依据的逻辑根据是形式逻辑的归谬法则。 该原则可表述为：要求证命题A成立，先假定A 不成立，即假定A 成立；如果从A 导出pp 形式的逻辑矛盾，那么，由此即可断定A 不成立，即否定A，而由否定A 就可得A（因为A 与A 等值），故A得证。,36,归谬赋值法的一般步骤,（1）假设待判定的命题形式AB 不是重言式，即AB 可以取值为F。 （2）当AB 取值为F 时，由蕴涵词的真值表可推知A 取值为T，B 取值为F。 （3）由（2）出发，根据五个命题联结词

14、的真值表，依次对A 和B 之中所包含的各个支命题赋予相应的值，直到所有的变项被赋予了确定的真值为止。 （4）检查所有变项的真值，若出现了赋值上的矛盾，根据归谬原则，（1）的假设就不成立，于是推知AB 是永真式；若在赋值过程中始终没有矛盾，则表明假设（1）可以成立，于是推知AB 不是永真式。,37,第一步：,（p q） q） p,（p q） q） p,F,第二步：假设蕴涵式为假,（p q） q） p,第三步：给变项赋值 (1) (2) (3),T F F,（p q） q） p,（p q） q） p,F T F T T F F F T,T T T F F,（p q） q） p,或者另一种可能 T

15、T T T T F F F T,第四步：判定。变项p的赋值矛盾，所以该公式是重言式，对应的推理是有效的。,38,（p q ） r） （ r p） q ）,1 F 2 T F 3 T F 4 T T T 5 F F 6 T F F,变项q的赋值必然出现矛盾，故该蕴涵式（推理）是有效的。若使得q 不出现矛盾，则p必定出现矛盾；若使p、q不出现矛盾，则r必定矛盾。 总之，三个变项必有一个出现矛盾，因此，赋值后变项出现矛盾是必然 的。,39,四、命题逻辑的自然推理,在形式逻辑中，自然推理是相对于公理法的推理而言的，两者都是演绎推理。 公理法推理是从少数几个给定的逻辑真命题（即公理）出发，并根据若干推理

16、规则，推出一系列其他逻辑真命题（即定理）的演绎推理。 自然推理没有作为推理出发点的固定的公理，只有若干推理规则或有效的推理形式，并根据它们从随时引进的假设或前提推出结论的演绎推理。 由于这种推理酷似自然科学尤其是数学证明中实际运用的推理或证明（如数学题的证明），因此被称为“自然推理”。,40,某夜，一商店被窃。据勘查，获知以下事实： 盗窃者至少是甲、乙二人之一； 如果甲是盗窃者，则作案时间决不在零点之前； 零点时该商店的灯灭了； 若乙的陈述正确，则作案的时间在零点之前； 只有零点时该商店的灯未灭，乙的陈述才不正确。 请问：盗窃者是谁?,41,解：首先，引进变项。设：p 为“甲盗窃”，q 为“乙

17、盗窃”，r 为“作案时间在零点之前”，s 为“零点时该商店的灯灭了”，t 为“乙的陈述正确”。 其次，将已知条件符号化： 1. pq 2. p r 3. s 4. t r 5. s t 再次，进行推理： 6. t （从3 和5，据必要条件假言推理否定前件式）。 7. r （从4 和6，据充分条件假言推理肯定前件式）。 8. p （从2 和7，据充分条件假言推理否定后件式）。 9. q （从1 和8，据相容选言推理否定肯定式）。 最后，从8 和9 可证，甲不是盗窃者，而乙是盗窃者。,引进前提,42,已知如果合同有效（p），则定货按期运到（q）；如果合同有效，则催款通知亦到（r）；但看来或者是定货

18、不能按期运到，或催款通知不会到。问：这份合同有效吗? 解： 1. p 假设前提（即假设“合同有效”） 2. p q 引进前提 3. p r 引进前提 4. q r 引进前提 5. q 从1 和2，据充分条件假言推理肯定前件式。 6. r 从1和3，同上。 7. r 从4 和5，据相容选言推理否定肯定式。 8. rr 从6 和7，据联言推理组合式。 9. p 从1 和8，据归谬原则。 所以，该合同没有效。,上述推理，就是逻辑证明的一种反证法证明。,43,第四节 复合命题及其推理在实际思维中的应用,一、复合命题及其推理在实际思维中的应用是极为广泛的,如果今天下雨，那么，出门上班就必须穿雨衣或打雨伞

19、，并且还得穿雨鞋； 今天下雨； 出门上班就必须穿雨衣或打雨伞并且还得穿雨鞋。,p（qr）s p （qr）s,44,二、实际思维过程中，如何正确、有效地运用复合命题及其推理,首要的当然是必须正确运用各种复合命题及其推理，尤其是要严格遵守前述各节中已讲过的各种复合命题推理的规则。 （一）要正确掌握运用复合命题及其推理解决实际思维中逻辑问题的主要步骤,45,第一步，先把已知的命题和要求证明的结论都抽象为相应的命题形式。需要注意： 第一，一定要把相同的命题代以相同的变项符号，不同的命题代以不同的变项符号。如： 在下列情况下应当怎样走棋？ 要么出车，要么走炮，要么跳马。 若出车，则马被吃掉。 若不出车，

20、则炮走不动。 马不能被吃掉。 如果设p 为“出车”、q 为“走炮”、r 为“跳马”，那么“马被吃掉”则一定代之以另外的变项符号，比如s；“跳马”和“马被吃掉”这两个命题虽都是对“马”这同一对象的陈述，但其陈述的对象所具有的属性不同，因而不是同一命题；既然是不同的命题，当然要代之以不同的变项符号。,46,第二，互为矛盾关系的命题要在抽象后的命题形式中得以体现，若一个为p，另一个就应当代之以p。 在上例中，“不出车”应代之以p（因为“出车”已被代之以p），“炮走不动”应代之以q（因为“走炮”已被代之以q），“马不能被吃掉”应代之以s（因为“马被吃掉”已被代之以s）。 已知：,第二步，通过推演证明结

21、论。,第三步，此时的结论还只是一个命题形式，而题目要求证明的则是一个命题，所以还要把命题形式（抽象的）还之于命题（具体的）。 由以上推演可知，下步棋应该跳马。,47,（二）在解题过程中需要着重培养的技能、技巧,第，要善于发现隐含的前提。 有些时候，个别事物情况（从而陈述该事物情况的命题）并没有直接给出，而离开这个（或这些）已知条件，结论是难以推出的。这就要求找出这个（或这些）隐含的前提，从而有效地推演出结论。 第二，如果推理过程中，与选言前提相关的推理是否定肯定式，则选言前提是相容的还是不相容的并不重要，因为否定肯定式对于相容选言推理和不相容选言推理都是有效式。,48,在下列巳知条件下，如何走

22、棋？ 如果出车，则被将死； 如果不出车，则要跳马； 不能被将死。 看上去，已知条件只有三个，即 已知： pq pr q 但是，在下棋的每一步中，“或者出车或者不出车”总是成立的，即这一题目中隐含着一个前提或者出车或者不出车，也就是说还应该有已知条件： pp 此题的证明过程如下： 证明： qr （，二难推理复杂构成式） r （，选言推理否定肯定式） 由以上证明可知，下步棋应当跳马（r）。,49,（三）要学会逆向思维方法,复合命题推理的综合运用方面的题目，前提往往数目多、头绪纷繁，使人无从下手。面对这样的问题，可以尝试逆向思维方法：从结论出发，逆向寻找解决问题的途径。 一天夜里，某商店被盗。经刑警

23、反复侦查，掌握了如下事实： 盗贼可能是甲，也可能是乙，但不可能是别人。 如果甲的证词可靠，则作案时间必在零点以前。 只有零点时商店灯光未灭，甲的证词才不可靠。 如果乙是盗贱，作案时间必在零点以后。 零点时商店灯光已灭，乙此时尚未回家。 问：下、乙两人中究竟谁是盗贼。,50,先将已知条件抽象为公式： 已知： pq r s t r q s tm 运用逆向思维的方法，可以得到解题思路的提示。 题目所问的问题是：甲、乙两人中究竟谁是盗贼，也就是要求我们最后推得的结论应当是p 或p 或q 或q。 前提中与p、q 都相关的是pq，这是一个相容选言命题，要想据此推出结论，还需补充p 或q，从而进行有效的否定

24、肯定式相容选言推理；其他前提中没有与p 相关的，只有qs 与q 相关，要想据此推出q，还需一前提s，从而进行有效的否定后件式充分条件假言推理；s 又如何才能得到呢？前提rs 与s 相关，但还需一前提r 才能进行有效的肯定前件式充分条件假言推理；前提tr 与r 相关，只要再有一个前提t，就可进行有效的否定前件式必要条件假言推理，推出r；t 的获得则只需由前提tm 进行有效的分解式联言推理。,51,把这一逆向思维的过程倒过来，就是解答此题的思路。证明过程如下： 证明： t （，联言推理分解式） r （，必要条件假言推理否定前件式） s （，充分条件假言推理肯定前件式） q （，充分条件假言推理否定

25、后件式） p （，选言推理否定肯定式） 由以上证明可知，盗贼是甲（p）。 前提是一个相容选言命题还是一个不相容选言命题也不重要，因为与之相关的推理（第步）是否定肯定式。,52,善恶问题,医院里有三个病人，一个需要移植心脏，一个需要移植肾脏，一个需要移植肝脏，如果不进行器官移植，三个人都要死。这时来了一个健康人。如果把这个健康人的心、肾、肝移植给三个病人，三个病人得救，而健康人会死。请问，是否应当为了救三个人而牺牲一个人?,53,如果人类没有掌握器官移植技术，我们就不必进行选择，只能听天由命，让三个病人去世。没有道德责任。 如果我们可以通过克隆技术令动物身上长出人类器官，科学家令一头牛长出人类的

26、内脏，于是不必为了救活三个人而牺牲一个人，只需要牺牲一头牛。当然，严格地进行道德拷问、这样做对牛是残忍的，所以算不上完全的善。但是牺牲一头牛总是比牺牲一个人好。于是，我们解决了先前的问题(是否为了挽救三个人而牺牲一个人)，但是我们面临新的问题：是否允许生产人牛混合体?这个问题如此严肃和困难，我们不能也不敢回答。 如果我们不需要利用动物个体克隆人类器官，可以利用细胞直接培育人类器官。此时，我们不再为刚才的问题(是否为了挽救三个人而生产并牺牲一头人牛混合体)，但是我们又面临新的问题；是否允许对人类器官进行克隆?这是一个需要非常谨慎的问题，因为克隆人类器官与克隆人类个体只有一步之遥，这个决定带来的后

27、果难以预料，有可能是灾难性的，不能仅仅因为临床治疗方面的利益就贸然决定。,54,宁信其有,四百年前，法国有一位大思想家，名叫帕斯卡尔(Blaise Pascal )。他认为，上帝有可能存在，也有可能不存在；自己可以选择信仰上帝，也可以选择不信仰上帝。,1上帝存在，帕斯卡尔信仰上帝； 2上帝存在，帕斯卡尔不信仰上帝； 3上帝不存在，帕斯卡尔信仰上帝； 4上帝不存在，帕斯卡尔不信仰上帝。,55,在情况1中：上帝存在而帕斯卡尔信仰上帝，帕斯卡尔做出正确选择，他的得分是100； 在情况2中：上帝存在而帕斯卡尔不信仰上帝，帕斯卡尔做出错误选择，他的得分用a表示。由于这种错误的后果极其严重，所以a接近负无

28、穷； 在情况3中：上帝不存在而帕斯卡尔信仰上帝，帕斯卡尔做出错误选择，他的得分用b表示。b是一个有限的负数； 在情况4中：上帝不存在而帕斯卡尔不信仰上帝，帕斯卡尔做出正确选择，他的得分是100。,假定上帝存在的概率是x，上帝不存在的概率是1-x。 如果帕斯卡尔选择信仰上帝，他的得分是情况1和情况3的混合，应为100 x+b(1-x)； 如果帕斯卡尔选择不信仰上帝，他的得分是情况2和情况4的混合，应为ax+100(1-x)。 由于a接近于负无穷，无论上帝存在的概率多么微小，只要x不等于0， 100 x+b(1-x)总是大于ax+100(1-x) 。因此，帕斯卡尔选择信仰上帝。,56,一年一度的愚

29、人节来到了。欧洲的一个R国的居民以最奇特的方式来庆贺这一个节日。这一天，这个国家将有一半人说真话，一半人说假话。 凑巧，这一天，邻国的布朗先生正在R国旅行。他正想步行到该国的首都去。他来到了一个三岔路口。他只知道往前走有两条路：一条是通往R国的首都，一条则通向边境的一个小镇。哪一条路是通向首都?他不知道，只得问路了。 不久，来了一位老大爷。 “老大爷，请问哪一条路通向首都?“布朗先生问。 老大爷答道：“今天是愚人节，后面来了两个小伙子，你去问问他们吧!这两个小伙子，一个说真话，一个说假话。“说罢，老大爷就走了。老大爷刚走了十来步，又被布朗先生叫住了。 布朗先生指着一株大树，又向老大爷提了一个问

30、题：“请问：这是一株大树?“ 老大爷答道：“是的。“ 老大爷走了之后，两个小伙子来到了三岔路口。布朗先生向这两个小伙子提出一个同样的问题：,“左边的路通向首都，而且二加三等于四，是吗?“,57,有张三，李四两个人。 张三只说假话，不说真话； 李四只说真话，不说假话； 回答问题的时候，如果应当回答是，李四会点头；如果应当回答否，李四会摇头。张三正好相反。 有一天，一个学者面对两条路X和Y，其中一条通向首都，另一条通向小镇。他面前有两个人A和B，一个是张三，另一个是李四。 他只须问其中一个人一个问题，就可以确定哪条路通向首都。,58,学者可以问A：如果我问B“X是不是通向首都的路”，B会点头吗？,

31、59,有张三，李四两个人。 张三只说假话，不说真话； 李四只说真话，不说假话； 回答问题的时候，如果应当回答是，李四会点头；如果应当回答否，李四会摇头。张三正好相反。 有一天，一个学者面对两条路X和Y，其中一条通向首都，另一条通向小镇。他面前有一个人，他不知道是张三还是李四。 他只须问一个问题，就可以确定哪条路通向首都。,60,61,62,有张三，李四两个人。 张三只说假话，不说真话； 李四只说真话，不说假话； 有一天，一个学者面对两条路X和Y，其中一条通向首都，另一条通向小镇。他面前有一个人，他知道是李四。但是不知道点头是表示是 ，还是表示否。 他只须问一个问题，就可以确定哪条路通向首都。,63,64,有张三，李四两个人。 张三只说假话，不说真话； 李四只说真话，不说假话； 有一天，一个学者面对两条路X和Y，其中一条通向首都，另一条通向小镇。他面前有一个人，他不知道是张三还是李四。也不知道点头是表示是 ，还是表示否。 他只须问一个问题，就可以确定哪条路通向首都。,