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1、1,数学建模实 验,王汝军 河西学院数学与统计学院,,2,实验十五 零件参数的设定,王汝军 河西学院数学与统计学院,,实验目的,1了解随机模拟法（即Monte Carlo法）的基本原理。 2学习随机模拟变量产生的基本方法，初步培养随机模拟的建模思想。 3学习掌握MATLAB软件中随机模拟的相关命令。,3,实验内容,一件产品由若干个零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常视为标准差
2、的3倍。,4,实验内容,粒子分离器某参数（记作 y）由7个零件的参数（记作x1 ，x2 ，x7 ）决定，经验公式为,5,实验内容,当各零件组装成成品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失就越大。y 的目标值（记作 y0）为1.50，当 偏离y 0.1时，产品为次品，质量损失为1000（元）；当 偏离 0.3时，产品为废品，质量损失为9000（元）。给定某设计方案7个零件参数标定值及容差，如表1 所示：容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对乘积值表示，A等为 1%，B等为 5%，C等为 15%,6,实验内容,7,表1 零件参数标定值和容差,求每件产品的平均损
3、失。,实验准备,在现实生活中，有大量问题由于模型中随机因素很多，很难用解析式模型来进行描述求解，这时就需要借助模拟的方法。随机模拟法也叫Monte Carlo法，它是用计算机模拟随机现象，通过大量仿真实验，进行分析推断，特别是对一些复杂的随机变量，不能从数学上得到它的概率分布，而通过简单的随机模拟便可得到近似解答。象这类大容量的仿真实验，如果用实物来做，需要大量人力物力且可能无法实现，但如果我们有了问题的数学模型，用计算机模拟就轻而易举了。由于Monte Carlo法计算量大，精度不是很高，因而适合一些用解析方法或常规数值方法难以解决问题的低精度求解，或用于对一些计算结果的验证。,8,实验准备
4、,1随机模拟的一些基本概念 自然界发生的现象可分为两类，一类现象在一定条件下发生的结果是完全可以预知的，称为必然现象。另一类现象发生的结果在事先是无法准确预知的，称为偶然现象或随机现象。下面两个试验都是随机现象： 试验一：有10枚均匀硬币，随手抛在地上，有几枚正面向上？ 试验二：按身份证号码随意挑10个中国女子，他们的平均体重是多少？,9,实验准备,10,尽管随机现象的发生结果是不确定的，但还是有一定的规律可循：试验一中正面向上的枚数一定是010，5枚向上的可能性比8枚向上的可能性要大；试验二中平均体重基本在40kg到70kg之间，且在45kg左右的可能性比65kg左右的可能性要大。 一个随机
5、事件A发生的可能性的大小，用一个介于0与1之间的数表示，称为A的概率，记为P(A) 。概率的意义在类似的现象大量重复发生时会表现出来。比如，在试验一中若 P（5枚向上）0.25，那么意味着“若把试验一做100遍，大致有25次左右出现5枚向上的情况。”,实验准备,11,在随机现象中，变量的取值往往是不确定的，称为随机变量。描述随机变量取各种值的概率函数称为概率分布。对于随机变量，通常主要关心它的两个主要数字特征：数学期望用于描述随机变量的平均值，方差和标准差用于描述随机变量分布的差异程度。另外，协方差和相关系数用于描述两个随机变量的线性关联程度。（数字特征的定义跟前面实验定义的一致，且均能在概率
6、统计的书籍中查找相关定义）.,实验准备,随机变量的分布，根据其取值特点不同主要分为离散型和连续型两类。若用变量 表示试验一“正面向上次数”，其取值可能为0，1，2，10（离散点集），则为离散型随机变量。典型的离散型分布有二项分布、Poisson分布等。若用变量 表示试验二中“平均体重”，其取值可能为30，80中的任何值，则为连续型随机变量。典型的连续型分布有均匀分布、正态分布、指数分布、 x2分布、 t分布、 F分布等。,12,实验准备,13,2、模拟随机数的产生 为了产生具有一定分布的随机数，一般采用一定的生成程序。首先要有一个等概率密度随机数发生器，一般计算机上都有专门的程序，产生01之间
7、等概率密度分布的随机数，使用时直接调用即可；此01之间的随机数进行一定的数字转换即可获得所要求的随机数，怎样进行数字转换则视所要求的分布函数来定。 假定将0，1区间的均匀随机数记作R ，则a ,b区间的均匀随机数可按下述公式由0，1区间的均匀随机数产生： x=a+R(b-a),实验准备,14,逆转换法 这是求概率分布的逆函数从而产生随机数的方法。因概率分布函数F(x)为定义在0，1区间的单调递增函数，设 R为区间0，1的均匀随机变量，令 F(x)R ，只要求出逆函数x F-1(R)， x即为具有概率分布函数 F(x)的随机数。 组合法 组合法是利用某些容易产生随机数数列的随机变量，通过组合得到
8、所要求的随机变量的一种方法。,实验准备,15,近似法 这种方法一般用于随机变量的分布函数无法求出的情形。此时可运用大数定理，当样本数量趋于无穷时，样本平均值趋向于总体平均值，它是数字特征随机模拟的理论根据。,实验准备,16,max，min mean median std cov corrcoef,3与随机数相关的MATLAB命令,最大值，最小值 均值 中值 标准差 协方差矩阵 相关系数矩阵,sum cumsum prod cumprod bar hist,各元素和 各元素累计和 各元素积 各元素累计积 直方图 数据分组及直方图,数据分析函数max，min，mean，median，std，cov
9、，sum，prod，cumprod等标准用法都是对列状数据进行的。 bar（Y）作向量Y的直方图； bar（X，Y）作向量Y相对于X的直方图； hist（X，k）将向量X中数据等距分为k组，并作出直方图，缺省值为k10； 有关它们更详细的内容可查阅帮助文件。,实验准备,17,R = rand( m , n ) 生成0，1区间上均匀分布的m行n列随机矩阵； R = randn( m , n ) 生成标准正态分布的m行n列随机矩阵； R = randperm( N ) 生成1，2，N的一个随机排列； R = unidrnd( N , m , n ) 生成1，2，N的等概率m行n列随机矩阵； R =
10、 unifrnd( a , b , m , n ) 生成a，b区间上均匀分布的m行n列随机矩阵； R = normrnd( mu , sigma , m , n ) 生成均值为mu，标准差为sigma的m行n列正态分机随机数矩阵； R = binornd( k , p , m , n ) 生成参数为k，p的m行n列正态分机随机数矩阵，它模拟在k次重复试验中某事件（发生概率为p）出现的次数； R = mvnrnd( mu , sigma , m ) 生成n维正态分布数据，这里mu为n维均值向量，sigma为n阶协方差矩阵（它必须是正定的），R为mn矩阵，每行代表一个随机数。 R = poissr
11、nd (mu , m , n ) 生成均值为mu的m行n列泊松分布的随机数矩阵； 可以通过帮助文件查阅上述命令的详细内容。,随机数生成采用下面命令形式：,实验方法与步骤,18,1MATLAB命令的基本用法 下面用几个例子来予以说明： data=13 76 356;11 89 278;10 86 302;8 92 362;15 69 311;14 83 299;11 73 336; max(data) ans = 15 92 362 mean(data) ans = 11.7143 81.1429 320.5714 sum(data) ans = 82 568 2244,实验方法与步骤,19,
12、std(data) ans = 2.4300 8.6300 31.4211 prod(data) ans = 1.0e+017 * 0.0000 0.0002 3.3805 cov(data)% 将三列看成三个随机变量 ans = 5.9048 -15.1190 -22.9762 -15.1190 74.4762 -34.4286 -22.9762 -34.4286 987.2857,实验方法与步骤, corrcoef(data)% 将三列看成三个随机变量 ans = 1.0000 -0.7210 -0.3009 -0.7210 1.0000 -0.1270 -0.3009 -0.1270 1
13、.0000,20,实验方法与步骤,21, bar(data)% 作向量data的直方图,引例问题的分析求解,22,在这个问题中，主要的困难是产品的参数值y 是一个随机变量，而由于y与各零件参数间是一个复杂的函数关系，无法解析地得到y的概率分布。本实验可以考虑采取随机模拟的方法计算。其基本思路是：用计算机模拟工厂生产大量“产品”（如1000件），计算产品的总损失，从而得到每件产品的平均损失。 对于大样本容量的随机变量，我们可以假设7个零件参数均服从正态分布。根据题设里标定值和容差的定义，我们可以得到7个零件参数所对应正态分布的均值与方差：,引例问题的分析求解,23,引例问题的分析求解,24,下面
14、在脚本文件eg6_1.m中产生1000个对零件7个参数的随机数，通过随机模拟法求解零件平均损失的近似解。 % 脚本eg6_1.m文件 clear;% 清除内存变量 mu=0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75; sigma=0.005/3,0.005,0.005/3,0.005,0.075,0.8/3,0.0125; for i=1:7,引例问题的分析求解,25,x(:,i)=normrnd(mu(i),sigma(i),1000,1); end p=(1-2.62*(1-0.36*(x(:,4)./x(:,2).(-0.56).1.5.*(x(:,4)./x(:,2).1.1
15、6)./x(:,6)./x(:,7); q=(x(:,1)./x(:,5).*(x(:,3)./(x(:,2)-x(:,1).0.85; y=174.42*q.*p.0.5; d=abs(y-1.5);% 与目标值差的绝对值 f=sum(9000*(d0.3)+1000*(d0.1)/1000% 求零件的平均损失 % 注意此处使用的是数组的点乘、点除、和点幂运算。 f =2948,结果分析,26,第一次运行脚本文件eg6_1.m时得到的解为2948，是否每次运行结果都一致呢？很显然，每次运行的结果应该不同，并且有一定的差别，因为我们是按计算机内部算法取1000个正态分布的随机模拟数，下表是连续10次运行的结果 表1 模拟1000对零件参数,结果分析,27,下面我们加大参数随机模拟的容量，提高两个数量级，取100000，同样我们取10次运行结果作成表2,表2 模拟100000对零件参数,问题求解,28,这时，我们可以观察到，零件平均损失费用在2910附近波动，且波动辐度较小容量时小很多，此时我们可以确认所得的解是比较接近零件平均损失的真实值。通过该实验也验证，随机模拟在很多实际问题的求解中能够取得比较理想的效果。,思考与练习,29,