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1、2.2 拉普拉斯变换及反变换,一、案例 二、拉氏变换概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、拉氏变换的性质 五、拉氏反变换概念和公式的引出,在自动控制系统的分析和综合中，线性定,如何求解此微分方程呢？,常系统由下面的n阶微分方程描述,二、 拉氏变换概念和公式的引出,拉氏变换,时间函数f (t)，当t0时，f(t)0，t0时， f (t) 的拉氏变换记为Lf (t)或F(s),函数F(s)称为f (t)的拉氏变换(或称为f (t)的象函数)，函数f (t)称为F(s)的原函数。 式中s+j。,记作,(2)当时间t，f(t)不超过某一指数函数，即满足下式 |f(t)|M eat,说明：,(1)在任
2、一有限区间内，f(t)分段连续，只有有限个间断点,练习1：求一次函数f(t)=at(a为常数)的拉氏变换,解,当s0时，有,练习2：求单位阶跃函数的拉氏变换。,解,练习3 ：指数函数,解,这个积分当sa时收敛，此时,在许多问题中，常会遇到只有在极短时间作用的量，如电路中的脉冲电动势作用后所产生的脉冲电流，要确定某瞬间(t=0)进入一单位电量的脉冲电路上的电流，用,无法找到一般的函数能够表示脉冲电流的强度，为此，引入了一个新的函数来表示，这个函数叫狄拉克函数。,表示上述电路中的电量。,狄拉克函数,设,即,设,即,设,即,设,即,因为,，故狄拉克函数有如下性质,狄拉克函数的性质,狄拉克函数的性质,
3、狄拉克函数的性质,狄拉克函数的性质,狄拉克函数的性质,狄拉克函数的性质,狄拉克函数的性质,练习4 狄拉克函数的拉氏变换,求狄拉克函数的拉氏变换,解,即,即,即,即,即,四、拉氏变换的性质,性质1(线性性质),若k1，k2为常数，设,关于原函数导数的拉氏变换。,则,性质2(微分性质),设,则：,此性质可推广到n阶导数，特别是当各阶导数初值为,设,性质3(积分性质),则,此性质可推广到n次积分,性质5（终值定理）,性质4(初值定理),1、拉式反变换的定义,已知F(s)，求时间函数f(t)的拉氏反变换，记作,1、拉式反变换的定义,2、拉式反变换的计算方法,工程中，对于简单的F(s)，可采用查表的方法
4、求时间函数f(t)。,对于复杂的F(s)，可采用部分分式的方法，现将一个复杂的象函数F(s)变成数个简单的标准形式象函数之和，然后再通过查表，分别查出各个的原函数，其和即为所求。,设s1、s2、s3、sn为分母,的根，,F(s)通常可以表达为复数s的有理代数式：,式2-1,用部分分式法将式2-1分为各简单式之和，并分三种情况讨论： （1）A(s)0无重根的情况：,式中 k1、 k2、kn待定系数,式2-2,？确定 k1、 k2、kn的大小,用（ss1）乘以式2-2两边，并以ss1代入式中，得,同样，用（ss2）乘以式2-2两边，并以ss2代入式中，得,以此类推可得,又因,从而得F（s）的原函数
5、为,练习1,解,求系数k1、k2,（2）A(s)0根中有共轭复根：,练习2,解,求下面象函数的原函数,用（s2+s+1）乘方程的两边，并令， 得,令两边实部和虚部分别相等，得,用s乘方程的两边，并令s0，得,F(s)的部分分式可求得,所以,（3）A(s)0根中有重根的情况：设A(s)0有重根s1,？确定 k11、 k12、k13、k1的大小,？确定 k11、 k12、k13、k1的大小,练习3,解,求下面象函数的原函数,F(s)的部分分式为,查表可求得F(s)的拉氏反变换为,结论： 1）对微分方程进行拉氏变换，将其转换为拉氏域内的代数方程； 2）求出代数方程的解并对其进行拉氏反变换，即求出微分方程的时间解。,