第5章离散信号与系统的时域分析ppt课件.ppt

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1、第 5 章 离散信号与系统的时域分析,5.0 引 言 5.1 离散时间基本信号 5.2 卷积和 5.3 离散系统的算子方程 5.4 离散系统的零输入响应 5.5 离散系统的零状态响应 5.6 系统差分方程的经典解法,5.0 引 言,在前面几章的讨论中，所涉及的系统均属连续时间系统，这类系统用于传输和处理连 续时间信号。此外，还有一类用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散 时间系统， 简称离散系统。数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通信系统的核心组成部分也都是离散系统。 鉴于离散系统在精度、可靠性、可集成化等方面，比连续系统具有更大的优越性，因此，近几十年来，离散 系统的理论研

2、究发展迅速，应用范围也日益扩大。在实际工作中，人们根据需要往往把 连续系统与离散系统组合起来使用，这种系统称为混合系统。,5.1 离散时间基本信号,5.1.1 离散时间信号,连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函数。这类信号 的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续点外， 对任一给定时刻都对应有确定的信号值。 离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量tk(k=0,1, 2, )的函数。信号仅在规定的离散时间点上有意义，而在其它时间则没有定义，如图 5.1-1(a)所 示。鉴于tk按一定顺序变化时，其相应的信号值组成一个数值序列，通常把离散时间信号定义为如下有序信号值的集合： f

3、k=f(tk) k=0, 1, 2, (5.1-1) 式中，k为整数，表示信号值在序列中出现的序号。,图 5.1 1 离散时间信号,式(5.1-1)中tk和tk-1之间的间隔(tk-tk-1)可以是常数，也可以随k变化。在实际应用中，一般取为常数。例如，对连续时间信号均匀取样后得到的离散时间信号便是如此。对于这类离散时间信号，若令tk-tk-1=T，则信号仅在均匀时刻t=kT(k=0,1,2,)上取值。此时，式(5.1 - 1)中的f(tk)可以改写为f(kT)，信号图形如图 5.1-1(b)所示。 为了简便，我们用序列值的通项f(kT)表示集合f(kT)，并将常数T省略，则式(5.1-1)可

4、简写为 fk=f(k) k=0, 1, 2, (5.1-2),工程应用中，常将定义在等间隔离散时刻点上的离散时间信号称为离散时间序列 ，简称序列。,5.1.2 离散时间基本信号,1. 单位脉冲序列 单位脉冲序列定义为,图 5.1 2 单位脉冲序列,位移单位脉冲序列,或,图5.1-3 移位单位脉冲序列,2. 正弦序列,正弦序列的一般形式为,由于,式中，m、N均为整数。式(5.1-5)表明，只有当 为整数，或者,为有理数时，正弦序列才是周期序列；否则为非周期序列。,(5.1 - 6),当正弦序列是通过抽取连续时间正弦信号的样本获得时， 如果假设正弦信号 的周期为T0，取样间隔为Ts，那么，经过抽样

5、得到的正弦序列可表示为,式中， ， 将它代入式(5.1 - 6)可 得,对于连续时间正弦信号 , 按几种不同间隔Ts抽样得到的正弦序列示于图 5.1-4 中。当 时，有 此时， ， 是一个周期为 16 的周期性正弦序列，其 图形如图 5.1-4(a)所示。当 ，可得到如图 5.1 - 4(b)所示的序列，其 ，是一个周期为23 的周期性正弦序列 ；当 ，序列图形如图5.1 - 4(c)所示，其 ，由于 ,是一无理数，故f(k)是一非周期正弦序列，值得注意的是此时它的包络函数f(t)仍具有周期性。,图 5.14 正弦序列,3. 指数序列,指数序列的一般形式为,(1)若A和 均为实数，且设 则 为

6、实指数序列。 当1时，f(k)随k单调指数增长。当0a 1时，f(k)随k单调指数衰减； 当-1时，f(k)的绝对值随k按指数规律增长。 当-1a0时，f(k)绝对值随k按指数 规律衰减。 且两者的序列值符号呈现正、负交替变化； 当a=1时，f(k)为常数序列。当a=-1时，f(k)符号也呈现正、 负交替变化。,图 5.1 5 实指数序列,(2) 若A=1，=j0，则,是虚指数序列。 我们已经知道，连续时间虚指数信号e j0t是周期信号。然而，离散 时间虚指数序列ej0k则只有满足一定条件时才是周期的， 否则是非周 期的。根据欧拉公式，式(5.1 - 9)可写成,可见，e j0k的实部和虚部都

7、是正弦序列，只有其实部和虚部同时为周 期序列时，才能保证ej0k是周期的。,(3) 若A和均为复数，则f(k)=Aek为一般形式的复指数序列 。 设复数A=|A|ej, =+j0，并记e=r， 则有,可见，复指数序列f(k)的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列。,图 5.1 6 复指数序列,4. Z序列 Z序列的一般形式为,式中，z为复数。通常，称序列值为复值的序列为复序列。显然， Z 序列是一复序列。若将z表示为极坐标形式,根据欧拉公式， 还可写成,5.2 卷 积 和,5.2.1 卷积和的定义,定义两个连续时间信号f1(t)和f2(t)的卷积运算为,同样地， 我们定义,为序列f1(k

8、)和f2(k)的卷积和运算，简称卷积和 ( Convolution Sum)。,(5.2 - 2),如果f1(k)为因果序列，由于k0时，f1(k)=0，故式(5.2 - 2)中求和下限可 改写为零，即,如果f2(k)为因果序列，而f1(k)不受限制，那么式(5.2 - 2)中，当(k-i) 0，即ik时，f2(k-i)=0, 因而和式的上限可改写为k，也就是,如果f1(k)和f2(k)均为因果序列， 则有,(5.2 - 5),考虑到f1(k)、f2(k)均为因果序列，根据式(5.2 - 5)，可将上式表示为,例 5.2 1 设f1(k)=e-k( k)，f2(k)=(k), 求f1(k)*f

9、2(k)。,解 由卷积和定义式(5.2 - 2)得,显然，上式中k0，故应写为,与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的翻转、平移、相乘 、求和等四个基本步骤。,例 5.2 2 已知离散信号,求卷积和f1(k)*f2(k)。,解 记卷积和运算结果为f(k)，由式(5.2 - 2)得,第一步，画出f1(i)、f2(i)图形，分别如图 5.2 - 1(a)、 (b)所示。 第二步，将f2(i)图形以纵坐标为轴线翻转 180，得到f2(-i)图形，如图 5.2 - 1(c)所示。 第三步，将f2(-i)图形沿i轴左移(k0)或右移(k0)|k|个时间单位，得到f2(k-i) 图形。例

10、如，当k=-1和k=1时，f2(k-i)图形分别如图 5.2 - 1(d)、 (e)所示。,第四步，对任一给定值k，按式(5.2 - 6)进行相乘、求和运算，得到序号为k的卷 积 和序列值f(k)。若令k由-至变化，f2(k-i)图形将从-处开始沿i轴自左向右移动 ，并由式(5.2 - 6)计算求得卷积和序列f(k)。对于本例中给定的f1(k)和f2(k) ，具体计算过程如下：,于是，其卷积和为,对于两个有限长序列的卷积和计算， 可以采用下面介绍的更为简便实用的方法计算。 这种 方法不需要画出序列图形， 只要把两个序列排成两行，按普通乘法运算进行相乘， 但中 间结果不进位，最后将位于同一列的中

11、间结果相加得到卷积和序列。 例如，对于例5. 2 - 2 中给定的f1(k)和f2(k)，为了方便，将f2(k)写在第一行， f1( k)写在第二行， 经序列值相乘和中间结果相加运算后得到,图5.2-1 卷积和计算,5.2.2 卷积和的性质,性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即,性质 2 任一序列f(k)与单位脉冲序列(k)的卷 积和等于序列f(k)本身， 即,性质 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，则,式中k1 , k2均为整数。,例 5.2-3 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -k, 试验证x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即,解

12、先计算x(k)*y(k)，考虑到x(k)是因果序列，根据式(5.2-3)，有,再计算y(k)*x(k)，同样考虑到x(k)是因果序列，可得,求解过程中对k没有限制，故上式可写为 x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k 可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。,所以,例 5.2-4 已知序列f1(k)=2-(k+1) (k+1)和f2(k)=(k-2)，试计算卷积和f1(k)*f2(k)。 解 用下面两种方法计算。 方法一：图解法。将序列f1(k), f2(k)的自变量换为i，画出f 1(i)和f2(i)的图形如图 5.2-2(a), (b)所示。 将f2(i)图形翻转 180后，

13、得f2(-i)，如图5.2-2(c)所示。 当k1时，由图 5.2-2(d)可知，其乘积项f1(i)f2(k-i)为零，故f1(k)*f2(k)=0。,图 5.2-2,当k1时，按卷积和定义，参见图 5.2-2(e)，可得,于是,故有,方法二： 应用卷积和性质 3。 先计算,上式中k0， 故有,再应用卷积和性质 3，求得,5.2.3 常用序列的卷积和公式,表 5.1 常用序列的卷积和公式,5.3 离散系统的算子方程,5.3.1 LTI离散时间系统,图 5.3-1 离散系统的输入输出模型,离散时间系统的状态和状态变量。离散时间系统在k0时刻的状态是指 满足如下条件的数目最少的一组数据x1(k0)

14、, x2(k0), , xn(k0)。 这组 数据连同k0k上的输入f(k)就可以惟一地确定k时刻的输出y(k)，而不需具体知道k 0以前的输入情况。n称为离散系统的阶数。 在实际工作过程中，系统的状态x1(k0), x2(k0), , xn(k0)随k0不同 而变化，我们把描述系统状态变化的变量称作状态变量， 它是一组序 列信号，记为x1(k), x2(k), , xn(k)。,离散时间系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。设k0为初始观察 时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输入信号或简称输入信号。我们将仅由k0时刻的初始状态或

15、历史输入信号引起的响应称作零输入响应，记为yx(k)；仅由当前输入信号引起的响应称作零状态响应，记为yf(k)。而将零输入响应、零状态响应之和 称作系统的完全响应，记为y(k)。,离散时间系统的齐次性、叠加性和线性特性。设离散系统的输入输出关系为 f(k) y(k) 所谓齐次性是指对于任意常数a、 输入f(k)和输出y(k)，恒有 af(k) ay(k) (5.3-3) 所谓叠加性是指对于输入f1(k)、f2(k)和输出y(k)，若设 f1(k)y1(k)，f2(k) y2( k)，则恒有 f1(k), f2(k) y1(k)+y2(k) (5.3- 4) 式中，f1(k), f2(k)表示f

16、1(k)和f2(k)同时作为系统的输入。,齐次性和叠加性统称为线性特性。 对于任意常数a和b，输入f1(k)和 f2(k)共同作用时，系统的线性特性可表示为 af1(k), bf2(k) ay1(k)+by2(k) (5.3 - 5) 它同时体现了式(5.3-3)的齐次性和式(5.3-4)的叠加性。 线性离散时间系统和非线性离散时间系统。 若离散时间系统的响应可 分 解为零输入响应和零状态响应两部分， 且零输入响应与初始状态或历史输入信号、 零状态 响应与当前输入信号之间分别满足齐次性和叠加性，则称该系统为线性离散时间 系统，否则称为非线性离散时间系统。,时不变离散时间系统和时变离散时间系统。

17、 设离散时间系统的输入输出关系为,若对于任意整数k0， 恒有,则称该系统为时不变离散时间系统，否则称为时变离散时间系 统。 因果离散时间系统和非因果离散时间系统。 如果系统始终不会在 输入加入之前产生响应， 这种系统称为因果系统， 否则称为非因果系统。,例如，有三个系统的输入输出关系如下： 系统 1 y(k)=kf(k) 系统 2 y(k)=|f(k)| 系统 3 y(k)=2f(k)+3f(k-1) 根据定义容易验证： 系统 1 是线性时变离散时间系统， 系统 2 是非线性时不变离散时间 系统， 而系统 3 是线性时不变离散时间系统。,根据第 1 章讨论结果，一个n阶线性时不变离散时间系统，

18、若其输入为f(k)，全响应为y (k)，那么，描述该系统输入输出关系的数学模型是n阶线性常系数差分方程，它可以表 示为,式中，ai(i=0, 1, , n-1)，bj(j=0, 1, , m)均为常数。,(5.3-7),5.3.2 离散系统算子方程 在连续时间系统分析中，我们曾用微分算子p和积分算子p-1分别表示对函数的微分 和积分运算。与此类似，在离散系统分析中，我们引入E算子(超前算子)，表示将序列提前一个单位时间的运算；E-1算子(迟后算子 )，表示将序列延迟一个单位时间的运算，即：,应用中，统称E算子和E-1算子为差分算子。,利用差分算子，可将差分方程式(5.3-7)写成下述形式：,或

19、写成,进一步写成,式中：,若令,则式(5.3-9)可表示为,此式称为离散时间系统的算子方程。式中的H(E)称为离散系统 的传输算子。H(E)在离散系统分析中的作用与H(p)在连续系统分析中的作用相同 ，它完整地描述了离散系统的输入输出关， 或者说集中反映了系统对输入序列的传输特 性。例如，设某离散系统的差分方程为,以单位延迟算子E-1作用于方程两边后，得到,图 5.3-2 用H(E)表示离散系统,根据差分算子的定义，容易证明：,可见，对于同一序列而言，超前算子与迟后算子的作用可以互相抵消， 或者说作用于同 一序列的差分算子公式中，分子分母中的算子公因子允许消去。,例 5.3-1 设描述某离散时

20、间系统的差分方程为,求其传输算子H(E), 并画出系统的模拟框图和信号流图表示。,解 写出系统的算子方程为,所以，系统的传输算子,再将算子方程改写成,图 5.3-3 例 5.3-1图,例 5.3-2 某离散时间系统的输入输出算子 方程为,式中：,试画出系统的模拟框图和信号流图。,解 如同连续系统那样，选择中间变量x(k)，并令,则有,图 5.3-4 例 5.3-2图,5.4 离散系统的零输入响应,根据线性系统定义，系统的完全响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。 在连续时间系统的时域分析中，我们从描述系统的微分方程或传输算子H(p)出发，分别求 出系统的零输入响应和零状态响应， 然后把它们叠

21、加起来得到系统的完全响应。 这种做法 同样适用于离散系统的时域分析。 只是在离散时间系统分析中， 我们讨论问题的出发点是 描述系统的差分方程或传输算子H(E)。 此外，求解系统零状态响应时， 与连续时间信号 的卷积积分相对应， 需要进行离散时间信号的卷积和计算。,如前所述，一个描述n阶线性时不变离散时间系统的差分方程，若应用差分算子E，则可 表示为,或者写为,式中：,根据系统零输入响应的定义，如果假定初始观察时刻为k0，那么，离散系统的零 输入响应就是k0及k0以后的输入为零时，仅由k0以前的输入或k0时刻的状态引起 的响应，常记为yx(k)。 由此可见，在系统差分方程式(5.4-1)中，只需

22、 令输入信号f(k)为零，就可得到求解零输入响应yx(k)的方程，其一般形式为,或者简写为,具体地说，离散系统的零输入响应就是上面齐次差分方程满足给定初始条件yx(0 )，yx(1)，yx(n-1)时的解。,5.4.1 简单系统的零输入响应,如果离散系统传输算子H(E)仅含有单个极点r， 这时式(5.4-6)可表示为,这是一个一阶齐次差分方程，将上式改写为,于是有,此式表明，序列yx(k)是一个以r为公比的几何级数，它具有以下形式：,式中，c1是常数，由系统零输入响应的初始条件确定。上述结果与一阶齐次微分方程 解c1et的形式非常类似，因为当时间t按t=kT离散变化时，其解可改写成c1et=c

23、1ekT=c1(eT)k，令eT=r时，就是差分方程式(5.4-7)的解。,因此，我们有如下结论：,如果系统传输算子仅含有g个单极点r1, r2, , rg，则相应齐次差分方程可写成,显然，满足以下方程,的解，必定也满足式(5.4-10)。仿照微分方程解结构定理的证明，可导得式(5 .4-10)的解为,式中, 待定系数值c1, c2, , cg由系统零输入响应的初始条件确定。 于是，有结论,为了考察H(E)含有重极点的情况，我们假定对于一极小值，其系统齐次差分方程为,且系统初始条件为,yx(k)表示为,代入初始条件，有,解得,现在，令0取极限，使得H(E)的两个极点相重合，于是有,或写成,式中

24、：,同样道理，如果传输算子H(E)仅含有r的d重极点，这时系统的齐次差分方程为,相应的零输入响应可表示为,式中，常数c0, c1, , cd-1由系统零输入响应的初始条件确定。 因此,5.4.2 一般系统的零输入响应,设n阶离散时间系统的齐次差分方程为,其传输算子H(E)含有g个相异极点r1, r2, , rg，对应的重数分别是d1, d2, , dg。 这里， (d1+d2+dg)=n。显然，若di(i=1, 2, , g)为 1 时， 表示相应的极点ri是单极点。此时式可表示为,n阶LTI离散系统的零输入响应为,式中：,式中，各待定系数由系统零输入响应yx(k)的初始条件确定。,综上所述，

25、由LTI离散系统传输算子H(E)求零输入响应yx(k)的具体步骤可归纳如下： 第一步，求解方程A(E)=0，得到H(E)的相异极点r1, r2，, rg及相应的重数d1, d2, , dg。将系统齐次差分方程表示为,第二步，求解方程,得到各极点相应输入响应分量,第三步，写出系统的零输入响应,第四步，由零输入响应初始条件确定式（5.4-22）中的各个待定系数cij，并最后求出系统的零输入响应yx(k)。,（5.4-22）,例 5.4-1 已知离散时间系统传输算子,及初始条件yx(0)=12，yx(1)=4.9， yx(2)=2.47，yx(3) =1.371。 求该系统的零输入响应。,解 因为传

26、输算子H(E)极点为r1=0.2，r2=0.3，r3=0.5(二重极点)。所以，可得,上式中令k=0, 1, 2, 3, 代入初始条件后得到,联立上述方程，求解得c10=5, c20=3, c30=4, c31=2。于是，系统的 零输入响应为,与连续系统中的H(p)一样，H(E)中若有复极点，则必定共轭成对。若设H(E)的共轭复极点为,式中：,例 5.4-2 设描述离散时间系统的差分方程 为,系统初始条件为yx(0)=2, yx(1)=3。试求k0时系统的零输入响应。,解 写出系统传输算子,其极点是一对共轭复极点：,由式(5.4-22)或式(5.4-23)， 得,利用初始条件，得到,即c1=2

27、,c6=6,于是得出系统的零输入响应,5.5 离散系统的零状态响应,设系统的初始观察时间为k0，所谓离散时间系统的零状态响应，是指该系统在k0时刻 的状态或者历史输入为零时，仅由kk0时加入的输入所引起的响应，通常记为yf(k)。 在连续系统的时域法分析中，我们根据信号的分解特性和LTI系统的线性时不变特性， 导出了系统零状态响应的计算公式。具体做法包括： (1) 将一般信号分解为众多基本信号单元的线性组合； (2) 求出基本信号激励下系统的零状态响应； (3) 导出一般信号激励下系统零状态响应的计算公式。,5.5.1 离散信号的时域分解,根据单位脉冲序列定义和序列位移的概念， 我们有,于是可

28、得,因此，对于任意序列f(k)，可写成,即,(5.5-1),图 5.5-1 离散信号的时域分解,可以将图 5.5-1 所示的序列分解表示为,显然，式(5.5-1)是与连续时间信号f(t)的时域分解公式:,相对应的。在连续系统时域分析中，我们还给出了另一个分解公式,容易得到相应的分解公式为,5.5.2 基本信号(k)激励下的零状态响应,设系统初始观察时刻k0=0，则离散系统对于单位脉冲序列(k)的零状态响应称为系统的 单位脉冲响应，或简称为单位响应， 记作h(k)。 LTI离散系统的单位响应可由系统的传输算子H(E)求出。,例 5.5-1 单极点情况。若系统传输算子,具有单极点E=r，则相应的差

29、分方程为,令f(k)=(k)时，其yf(k)=h(k)， 故有,即,移项后有,根据系统的因果性，当k-1时，有h(k)=0。以此为初始条件， 对式(5.5-6)进 行递推运算得出,因此有,例 5.5-2 重极点情况。设系统传输 算子,在E=r处有二阶重极点。写出系统的差分方程,同样，令f(k)=(k)，得到单位响应h(k)的求解方程为,将该方程改写为,可将上式方括号中的(E-r)h(k)表示为,或者写成,采用例 5.5-1 类似求解方法，可求得系统的单位响应,于是有,同理，可得,以及d阶重极点相应的单位响应,设LTI离散系 统的传输算子为,求单位响应h(k)的具体步骤是： 第一步， 将H(E)

30、除以E得到,第二步， 将 展开成部分分式和的形式； 第三步， 将上面得到的部分分式展开式两边乘以E， 得到H(E)的部分分式展开式,第四步，由式(5.5-11)求得各Hi(E)对应的单位响应分量hi(k)； 第五步， 求出系统的单位响应,例 5.5-3 求图 5.5-2 所示离 散系统的单位响应h(k)。,图 5.5-2 例 5.5-3图,解,或写为,相应的传输算子为,将 进行部分分式展开，得,由于,所以，系统的单位响应,于是,例 5.5-4 如图 5.5-3 的离散 系统，求其单位响应h(k)。,图 5.5-3 例 5.5-4图,解 (1) 列算子方程。,它可写为,由右端加法器的输出端可列出

31、方程,系统的输入输出算子方程,(2) 求单位响应。,将上面两个单位响应分量相减，即可得到系统的单位响应,例 5.5-5 设描述离散时间系统的差分 方程为,求系统的单位响应。,解 由已知差分方程得系统传输算子,将 进行部分分式展开，得,即,由式（5.5-11）得,因此，系统单位响应为,5.5.3 一般信号f(k)激励下的零状态响应,设离散时间系统的输入为f(k)，对应的零状态响应为yf(k)。由离散时间信号的时 域分解公式(5.5-1)知道，可将任一输入序列f(k)分解表示成众多移位脉冲序列的 线性组合，即,根据LTI离散系统的特性，应用单位响应h(k)可以分别求出每个移位脉冲序列f(m)(k-

32、m)作用于系统的零状态响应。然后， 把它们叠加起来就可以得到系统对输 入f(k)的零状态响应yf(k)。,单位响应定义,系统的时不变特 性,yf(k) 的齐次性,yf(k)的叠加性,信号的分解公式和卷积和运算 定义,于是，得到系统在一般信号f(k)激励下的零状态响应为,(5.5 - 18),可将离散时间系统的完全响应表示为,这一结果表明：LTI离散时间系统的零状态响应等于输入序列f(k)和单位响应h(k)的卷 积和。,例 5.5-6 已知离散系统的输入序列f(k)和 单位响应h(k)如下：,求系统的零状态响应yf(k)。,解 根据式(5.5 - 18)，有,由卷积和的分配律，将上式写成,查卷积

33、和计算公式表 5.1，得,由系统的时不变特性，得,于是，系统的零状态响应为,例 5.5-7 描述某离散系统的差分方程 为 y(k)-0.7y(k-1)+0.12y(k-2)=2f(k)-f(k-1) 若输入f(k)=(0.2)k(k)，零输入响应初始条件yx(0)=8, yx(1)=3。 试求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。,解 写出系统的算子方程,其传输算子为,先求系统的零输入响应yx(k)。,将初始条件代入上式，有,解得c1=2, c2=6。 故有零输入响应,再求系统的零状态响应yf(k)。此时，需要求出系统的单位响应。 为此，将,即,写出系统单位响应,按式(5.5 - 18)计算

34、零状态响应,最后，将零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k)相加，得到系统的完全响应,5.6 系统差分方程的经典解法,1. 齐次解,设n阶LTI离散系统的传输算子H(E)为,相应的输入输出方程可用后向差分方程表示为,式中，ai(i=0, 1, , n-1)、 bj(j=0, 1, , m)均为常数。 当式(5.6-2)中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程,的解称为齐次解，记为yh(k)。 通常，齐次解由形式为ck的序列组合而成，将ck代入式(5.6-3)，得到,消去常数c，并同乘n-k，得,表 5.2 特征根及其对应的齐次解,2. 特解,表 5.3 自由项及其对应的特解,如果一个n阶

35、差分方程，特征根1为r重根，其余特征根均为单根， 那么， 该差分方程的完全解可 表示为,式中的各系数ci, cj由差分方程的初始条件，即n个独立的y(k)值确定。,例 5.6 1 某离散时间系统的输入输出方程 为,已知f(k)=cos(k)(k), y(0)=15, y(2)=4。 试求k0时系统的完全响应y(k)。 解 系统特征方程为,其特征根1=1/2, 2=-1/3。 故差分方程的齐次解为,因输入,由表5.3可设特解为,相应右移序列为,代入原差分方程，得,比较方程两边系数，求得P=2，于是有,方程的完全解,与连续系统响应类似，也称差分方程的齐次解为系统的自由响应， 称其特解为强迫响应。本例中，特征根|1, 2|1，其自由 响应随k的增大而逐渐衰减为零， 故为系统的暂态响应。 而强迫响应为 有始正弦序列，是系统的稳态响应。,