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1、第二篇,气体动理论B,热学,气体动理论：微观理论，运用统计方法建立宏观量与相应微观量平均值之间的关系 热力学：宏观理论，从能量观点出发，研究热现象的宏观规律,气体动力学,气体动力学下,7-1 分子热运动与统计规律,分子的观点：宏观物质由大量不连续的微观粒子(分子或原子)组成,分子运动的观点：分子都在不停地作无规则的运动,一.气体动理论基本观点,分子力的观点：分子之间有相互作用力-引力和斥力,ro：平衡距离10-10m,d：分子有效直径,-此时分子速率减为零,-此时合力为零,二.气体分子的特点,小：每个分子的直径约为10-10 m,多：标准状态下每摩尔气体约有61023个分子,快：标准状态下的平
2、均速率约为每秒几百米,乱：杂乱无章、瞬息万变的运动,三.统计规律,伽尔顿板实验,小钉,等宽 狭槽,小球落在哪个槽是偶然事件,大量小球一个一个投入或一次投入，分布情况大致相同,说明：,某次测量值与统计平均值之间总有偏离-涨落(起伏)现象 构成整体偶然事件数量越大，涨落现象就越不明显,在一定的条件下，大量的偶然事件存在着一种必然规律性-统计规律,1.概率,简写为,概率:在一定条件下，某偶然事件出现的可能性的大小,设 N为实验总次数，NA为事件A出现的次数，则,对n件事件：,-归一化条件,任一事件的几率满足,2.统计平均值,测量物理量M: M1、M2、Mn出现次数分别为N1、N2、Nn,M的算术平均
3、值为,-统计平均值,一.平衡态和平衡过程,7-2 理想气体状态方程,平衡态：当不受外界影响时，系统的宏观性质不随时间改变的状态,绝热器壁,当两系统都与第三系统热平衡，则两系统也平衡,-热力学第零定律,平衡过程：过程中每一中间状态都可近似看作为平衡态的过程,非常缓慢地压缩,平衡过程在pV图上用一条曲线表示,讨论：,平衡过程的每一中间状态可用状态量p、V、T 描述,二.理想气体的状态方程,1.温标,华氏温标：1714年荷兰华伦海特建立，以水结冰的温度为32oF，水沸腾的温度为212oF,摄氏温标：1742年瑞典天文学家摄尔修斯建立，以冰的熔点定为0oC，水的沸点定为100oC，,热力学温标：与工作
4、物质无关的温标，由英国的开尔文建立，与摄氏温度的关系为,单位为开(K)，称为热力学温度.,理想气体的 p，V，T 满足,标准状态：,2.理想气体状态方程,-理想气体状态方程,其中,-普适气体常数,对Mkg的理想气体,例1氧气瓶容积为3.210-2m3，其中氧气压力为1.3107Pa。氧气厂规定压力降到106Pa时就要重新充气。设某实验室每天用1atm的氧气0.2m3,问在温度不变的情况下，一瓶氧气能用多少天?,解：设使用前后瓶中氧气质量分别为m1、m2，每天使用氧气质量为m3,可用天数,例2设空气中含有23.6%氧和76.4%氮, 求在压强 p=105Pa和温度T=17oC时空气的密度,解：设
5、空气中氧和氮的质量分别为 m1、 m2 ，摩尔质量分别为1 、2,由道尔顿分压定理,空气压强,将分子看作为质点 分子间相互作用力除碰撞外可忽略不计 将分子看作是完全弹性小球,8-1 气体动理论的压强公式,一.理想气体的微观模型,每个分子处在容器空间内任一点的几率相同，任一点附近分子数密度均相等 每个分子向各个方向运动的几率相同，即气体分子的速度沿各个方向的分量的各种平均值相等,二.统计假设,如：,一秒内一个分子的多次碰撞给予 A1的冲量为,三.压强公式,一个分子与器壁A1碰撞给予A1 的冲量为,N个分子一秒内给予A1的冲量为,A1上的压强,定义分子的平均平动动能为,则,讨论:,对容器其它面的推
6、算结果相同 对一般形状的容器可证有相同结果 这是一个统计结果，只有对大量的分子才有意义,8-2 理想气体的温度公式,一 气体分子平均平动动能与温度的关系：,设N为M kg气体的分子数，No为1 mol气体的分子数，m为一个分子的质量,温度的本质：温度是分子平均平动动能的量度.,-玻尔兹曼常数,又,其中,温度是气体分子热运动剧烈程度的物理量.,两种理想气体,T相同则 相同。反之 相同,则T相同.,讨论:,是统计平均值，所以只有气体分子数目很大时，温度才有意义，对个别分子来说温度没有意义,分子动能=平动动能+转动动能+振动动能,8-3 能量均分定理,一.自由度,自由度：确定一个物体在空间的位置所需
7、的独立坐标的数目。它反映了运动的自由程度,火车：被限制在轨道上运动，自由度为1,飞机：在空中飞行，自由度为3,轮船：在一水平面上运动，自由度为2,1.刚体的自由度,刚体有6个自由度：,3个平动自由度,3个转动自由度,刚体绕CA轴转动,2.气体分子的自由度,常温下可不考虑分子的振动,二.能量按自由度均分原理,-每个平动自由度的动能为,由于任一运动形式的机会均等，有,气体分子任一自由度的平均动能都等于,-能量均分定理,自由度为 i 的分子，其平均动能为,三.理想气体的内能,对理想气体，可忽略分子间的相互作用力，即可忽略相互作用势能,分子动能,气体内能,分子间相互作用势能,1mol理想气体的内能,-
8、理想气体内能是温度的单值函数,Mkg理想气体的内能,二.气体分子速率分布函数,速率分布函数：速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比,-反映分子速率分布v附近单位速率区间内的概率大小,8-4麦克斯韦速率分布律,在0-区间有,-归一化条件,在v1-v2区间,在v-v+dv区间的分子数占总分子数的百分比为,三.麦克斯韦速率分布定律,-麦克斯韦速率分布函数,1859年麦克斯韦从理论上导出平衡状态下气体分子速率分布函数,麦克斯韦速率分布曲线,四.气体分子的三种速率,1.最概然速率vp：与 f(v) 的极大值对应的速率,令,则,令,2.平均速率,3.方均根速率,例3有0oC平衡状态下的氧气，
9、计算速率在300-310m/s区间内氧分子数的百分率,解：速率区间较小，可用,一.概念 平均碰撞次数：一个分子在单位时间内与其他分子碰撞次数的平均值 平均自由程：一个分子连续两次碰撞所经过路程的平均值,8-7 分子的平均碰撞次数和 平均自由程,二.计算(对同一类分子),分子视为弹性小球，有效直径为d，速率为 ，碰撞后速率仍为,1.考虑一个分子运动，其它分子静止,运动分子在1秒内与其它分子的平均碰撞次数为,2.考虑所有的分子都在运动,3.分子的平均自由程,平均碰撞次数为,例4计算氧气在标准状态下的分子平均碰撞次数和平均自由程。设氧气分子的有效直径为2.910-10m,解：标准状态,第七章,热力学
10、基础,热力学下,一.系统的内能 热力学系统：所要研究的物体 外界：与系统发生作用的环境,-气体内能是系统状态的单值函数,7-1 内能 功 热量,系统内能,对理想气体,-温度的单值函数,二.热功等效性,加热方法,作功和热量传递具有相同的效果，它们都是能量变化的量度 1卡= 4.186 J,7-2 热力学第一定律,一.热力学第一定律,对微小的状态变化过程,讨论：正负号意义,E: “”表示系统内能增加,A: “”表示系统对外作功,Q: “”表示系统吸收热量,“”表示系统放热,“”表示系统内能减少,“”表示外界对系统作功,二.准静态过程中的功,功的几何意义：功在数值上等于pV 图上过程曲线下的面积,讨
11、论: 内能是状态的单值函数，所以E与过程无关 A 相当于过程曲线下的面积，与过程有关，所以Q也与过程有关，即两者都是过程量,例1系统从ABA经历一个循环,且EBEA .(1)试确定AB,以及BA的功A的符号及含义;(2)Q的符号如何确定;(3)循环总功和热量的正负,吸热,放热,总功：,7-3 理想气体的等值过程,特点：,一.等容过程(V=常数),讨论: Q0时，E2E10：等容吸热过程。外界传给气体的热量全部用于增加气体的内能 Q0时，E2E10：等容放热过程。气体放出的热量为气体内能的减少,等容吸热过程,二.等温过程(T=常数),特点：,或,讨论: Q0时，V2V1或p1 p2：等温膨胀过程
12、。气体吸收的热量全部转化为对外作功 Q0时，V2V1：等温压缩过程。外界对气体作的功全部转化为热量放出,等温膨胀过程,三.等压过程(P=常数),或,讨论: Q0时, T2T1(V2V1), 即E2-E10 ，A0：等压膨胀过程。气体吸收的热量，一部分用于内能的增加，一部分用于对外作功. Q0时, T2T1, 即E2E10, 或A0：等压压缩过程。外界对气体作的功和内能的减少均转化为热量放出,等压过程中，A与E始终同号,等压膨胀过程,等容,等温,等压,四.三个等值过程的微分方程,例2质量一定的单原子理想气体开始时压力为3大气压，体积1升，先等压膨胀至体积为2升，再等温膨胀至体积为3升，最后被等容
13、冷却到压力为1大气压。求气体在全过程中内能的变化，所作的功和吸收的热量,解：内能是状态的函数，与过程无关,7-4 气体的摩尔热容,一.气体的摩尔热容,热容C：物体温度升高(或降低)1K所吸收(或放出)的热量,比热c：单位质量物体，温度升高(或降低)1K所吸收(或放出)的热量,即,即,摩尔热容C：1mol的物质温度升高(或降低)1K所吸收的热量,- mol 物质的摩尔热容,：摩尔数,二.定容摩尔热容Cv 设1mol气体在等容过程中温度升高dT时吸收的热量为(dQ)v，则有,讨论： Cv 只与分子自由度有关 物理意义：每个自由度的平均动能 为(1/2)kT，自由度越多，需要的热量也越多 等容过程：
14、,一般过程：,三.定压摩尔热容Cp 设1mol气体在等压过程中温度升高dT时吸收的热量为(dQ)p，则有,讨论: CpCv。物理意义：等压过程吸热, 不仅提高内能，而且对外作功 等压过程,比热比:,例3设理想气体的摩尔热容随温度按 C=aT 的规律变化，a为常数。求1mol此理想气体的过程方程式,解：根据热力学第一定律,1mol气体摩尔热容,分离变量,积分常数,整理得,绝热过程：气体与外界无热量交换的变化过程,7-5 绝热过程,一.绝热过程的特点,绝热膨胀过程的同时降温降压； 绝热压缩过程的同时升温升压.,由,有,又,二.绝热过程方程,又,即,或,消去dT：,解得,-绝热过程方程,或由理想气体
15、状态方程有,三.绝热线与等温线,1.数学方法：比较两曲线交点A处的斜率,等温,绝热,等温线,绝热线,即,即,2.物理方法：比较引起 p下降的因素 等温：引起压强下降的因素-V的增加 绝热：引起压强下降的因素-V的增加和T 的下降,-绝热线下降比等温线快,例4如图，对同一气体，I为绝热过程，那么J和K过程是吸热还是放热?,解：对I过程,对J过程,吸热,对K过程,放热,例5如图，同一气体经过等压过程AB, 等温过程AC，绝热过程AD。问(1)哪个过程作功最多?(2)哪个过程吸热最多?(3)哪个过程内能变化最大?,解：,(1)由过程曲线下面积知,(2)等压过程：,等温过程：,绝热过程：,V,(3),
16、比较,一.循环过程特征,循环过程：周而复始的变化过程,循环包括:正循环(顺时针)-热机,7-6 循环过程 卡诺循环,逆循环(逆时针)-致冷机,二.正循环 工质：热机进行热功转换的媒介物质 设工质从高温热源吸热 Q1，向低温热源放热 Q2，对外作功 A,净吸热：,净功 A 为循环过程曲线所包围的面积,净功,热机效率：一次循环过程中，工质对外作的净功占从高温热源吸收热量的比例，即,说明： Q1包括整个循环过程中吸收的热量,Q2包括整个循环过程中放出的热量(绝对值）,例61mol氧气作如图循环，AB为等温过程，BC为等压过程，CA 为等容过程。试计算循环效率.,解：,吸热,放热,三.卡诺循环 两个等
17、温过程和两个绝热过程组成的循环,ab：等温过程,bc：绝热过程,cd：等温过程,da：绝热过程,-一种理想模型,ab：从高温热源T1吸热Q1,热量交换：,cd：向低温热源T2放热Q2,(绝对值),效率：,由绝热过程方程有：,外界的功,四.逆循环 (致冷机),致冷系数：从低温热源吸收的热量Q2与外界作的功A之比，即,对卡诺致冷机：,一.可逆过程和不可逆过程 定义：若一个过程可以反向进行并返回到原状态，且系统和外界都不发生变化，则该过程称为可逆过程,7-7 可逆过程和不可逆过程,二.自然现象的不可逆性,落叶永离，覆水难收,生米煮成熟饭,逝者如斯,-自然界中，大多是不可逆的过程,功热转换是不可逆的
18、功可以自动地转变为热，热不能自动地转变为功,热传导是不可逆的 热量从高温物体传向低温物体的过程是不可逆的,气体自由膨胀是不可逆的,生命过程是不可逆的,一切实际过程都是不可逆过程,三.可逆过程的实现,不可逆缘由,功热转换：存在摩擦耗散,热传导：热学不平衡,气体自由膨胀：力学不平衡,生命过程：复杂的不平衡过程,无摩擦的准静态过程是可逆的,问题:能否制造效率等于100%的热机? 一.开尔文说法 (1851年) 不可能从单一热源吸取热量，使它完全变为有用功而不引起其他变化,或第二类永动机是不可能造成的,7-8 热力学第二定律,第二类永动机： 从单一热源吸热并将其全部用来作功，而不放出热量给其它物体的机
19、器(=100%),讨论: 将热量全部变为功是可能的。如等温膨胀时有Q=A，但这一定要引起其他的变化，如体积增大 使其回到初始状态的循环过程则要放热 开尔文说法反映了功热转换的不可逆性,热量不能自动地从低温物体传向高温物体,二.克劳修斯说法(1850年),讨论: 热量从低温物体传向高温物体是可能的，如制冷机，但不是自动的,克劳修斯说法反映了热传导过程的不可逆性,三.两种说法本质上的一致性 反证法证明： 设克劳修斯说法不成立,即热量可以从低温物体自动地传给高温物体,讨论： 热力学第一定律说明了任何过程中能量守恒,热力学第二定律说明了并非任何能量守恒过程都能实现，即变化过程有方向性,一.卡诺定理 定
20、理1：工作在相同的高低温热源之间的所有可逆热机，不论用何种工质，效率都相等，为,7-9 卡诺定理 熵,证明：设甲、乙两台可逆机工作在相同的高低热源之间,让甲机逆向运行，并调节使 Q2= Q2,效率分别为,甲乙组成复合机:从高温热源吸热变为对外作功,-违反热力学第二定律,若,则,不可能,即有,同理若使乙机反向运行，可证有,定理2：工作在相同高低温热源间的所有不可逆热机的效率不可能高于工作在同样热源之间的可逆热机，即,或,证明：设乙机为不可逆机，甲机反向运行，则可证,因乙机不可反向，即不可证,卡诺定理指出了提高热机效率的方向-使实际的不可逆机尽量地接近可逆机,二.熵 熵是用来描述系统中大量分子运动
21、不规则(无序)程度的物理量,1.热温熵,对卡诺热机，若Q2为代数值而不是绝对值，则有,Q/T-热温熵,上述结果可推广到任意可逆循环,近似为许多微小的卡诺循环组成,有,循环数趋于无穷多，则锯齿型曲线趋于原来的可逆循环曲线,则,-克劳修斯等式,即任一可逆循环过程热温熵之和为零,设系统经一可逆循环1a2b1,2.熵,因过程可逆有,-态函数：熵,对于一个微小的可逆过程,或,-热力学基本关系式,讨论 只有熵的变化才有意义。求某一状态的熵，应先选定一参考状态。为了方便往往把参考态的熵取为零,计算熵变时其积分路径必须是连接始末状态的任一可逆过程。如12是一不可逆过程，可在12间想象一可逆过程，再计算,例71
22、mol理想气体由初态1(T1,V1)经某一过程到达末态2(T2,V2)，求熵变。设CV为常量,解：,等容：,等温：,1到2过程,3.熵增加原理 (1)不可逆循环:,由卡诺定理有,即,对任意不可逆循环有,-克劳修斯不等式,(2)非循环的不可逆过程,设系统由 1经任一不可逆过程 1a2 变化到 2,设想系统又由2经另一可逆过程 2b1回到1，则构成一不可逆循环1a2b1,对任一微小的不可逆过程有,-热力学第二定律的数学表达式,讨论：,即在孤立系统中，不可逆过程总是沿熵增加方向进行,对于一个孤立系统：dQ=0,-熵增加原理,说明 熵值具有可加性，系统的熵等于系统内各部分熵之和 熵增加原理是对孤立系统
23、而言，非孤立系统熵值可以不增加，也可减少。在孤立系统内部，个别物体的熵值可以增加、不变或减少,一.宏观态与微观态,微观态,7-10热力学第二定律的统计意义,二.热力学概率W 与任一给定的宏观态相对应的微观态数称为该宏观状态的热力学概率 (宏观状态出现的概率) 三.玻尔兹曼关系 统计物理指出，熵与热力学概率之间有如下的关系,-玻尔兹曼关系,k为玻尔兹曼常数,讨论 从微观上讲，孤立系统中一切自发过程或不可逆过程总是向无序性增大方向进行,气体的绝热自由膨胀,-熵增加原理的物理意义,例8求 mol的某种理想气体进行绝热自由膨胀的熵变。设两部分体积分别为V1和V2,解：系统绝热,对外不做功,即温度不变,
24、第十四章,迈克斯韦方程组,麦克斯韦提出了两个假设：,变化的磁场可产生涡旋电场,变化的电场(位移电流)可产生磁场,问题：,对称形式,14-1 麦克斯韦电磁场理论基础,一.位移电流,充电过程,a.导线中存在非稳恒的传导电流,-回路中传导电流不连续,1.矛盾,b.电容器两极板间无传导电流存在,c.任取一环绕导线的闭合曲线L，以L为边界可以作S1和S2 两个曲面,对S1曲面,对S2曲面,-稳恒磁场安培环路定律不再适用,设极板面积为S，某时刻极板上的自由电荷面密度为 ，则,2.位移电流,电位移通量为,-电位移通量随时间的变化率等于导线中的传导电流,麦克斯韦称 为位移电流，即,-位移电流密度 jD,a.引
25、入位移电流ID，中断的传导电流I由位移电流ID接替，使电路中的电流保持连续,b.传导电流和位移电流之和称为全电流,讨论：,c.对任何电路来说，全电流永远是连续的,证：,单位时间内流出闭合曲面S的电量等于该闭合曲面内电量的减少,-电荷守恒定律的数学表达式,由高斯定理,即,或,- 永远是连续的,二.安培环路定律的普遍形式,-全电流定律,对前述的电容器有,而,-对同一环路L， 的环流是唯一的,讨论：,a.位移电流揭示了电场和磁场之间内在联系，反映了自然现象的对称性,b.法拉弟电磁感应定律表明变化的磁场能产生涡旋电场；位移电流的观点说明变化的电场能产生涡旋磁场,c.电场和磁场的变化永远互相联系着，形成
26、统一的电磁场,说明：,位移电流与传导电流的区别：,a.传导电流表示有电荷作宏观定向运动，位移电流只表示电场的变化,b.传导电流通过导体时要产生焦耳热,位移电流在导体中没有这种热效应,c. ID与 方向上成右手螺旋关系,e.位移电流可存在于一切有电场变化的区域中(如真空、介质、导体),例14半径R=0.1m的两块导体圆板，构成空气平板电容器。充电时，极板间的电场强度以dE/dt=1012Vm-1s-1的变化率增加。求两极板间的位移电流ID;距两极板中心连线为r(rR)处的磁感应强度Br和r=R处的磁感应强度BR（忽略边缘效应）,解：忽略边缘效应，两极板间的电场可视为均匀分布,两板间位移电流为,根
27、据对称性，以两板中心连线为圆心、半径为r作闭合回路L，由全电流定律有,当r=R时,三.麦克斯韦方程组,对静电场和稳恒磁场有,稳恒磁场的安培环路定律,静电场的高斯定理,静电场的环路定律,稳恒磁场的高斯定理,空间既有静电场和稳恒磁场，又有变化的电场和变化的磁场,麦克斯韦方程组,-麦克斯韦方程组的微分形式,物理意义概括：,方程1：任何闭合曲面的电位移通量只与该闭合曲面内自由电荷有关，同时反映了变化的磁场所产生的电场总是涡旋状的,-电场的高斯定理,方程2：变化的磁场产生涡旋电场,即变化的磁场总与电场相伴,-法拉弟电磁感应定律,方程3：任何形式产生的磁场都是涡旋场，磁力线都是闭合的,方程4：全电流与磁场的关系，揭示了变化电场产生涡旋磁场的规律，即变化的电场总与磁场相伴,-磁场的高斯定理,-全电流定律,在各向同性介质中，电磁场量之间有如下的关系,根据麦克斯韦方程组、电磁场量之间关系式、初始条件及电磁场量的边界条件，可以确定任一时刻介质中某一点的电磁场,设想气体经过一个可逆等温膨胀过程,