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1、1,4 离散模型,一、贷款买房问题,问题：有一对夫妇为买房要向银行借款6万元，月利率是0.01且为复利，贷款期为25年。他们要知道每个月要偿还多少钱（设为常数），才能决定自己有无能力来买房。这对夫妇每月能有900元的结余，请你帮助决策。,2,解：已知A。6万元为向银行的贷款数，R0.01为月利率（即计息周期为月），问题是要知道25年（300月）还清本息每月要还多少（设为x）钱。,用N表示第N个月（时间变量）， 表示第N个月尚欠银行的款，R表示月利率，x表示每月要还的钱数。这里要求的是x，因而把x看成因变量，可把A。，R看成参数，N看成自变量（这些都是相对的！）。本问题的数学模型可建立如下：,3
2、,因为A。60000元,A。(1+R)-x （一个月后欠银行的钱数）,所以第N个月后尚欠银行的钱数为,(4-1)就是本问题的数学模型，数学上称为（线性）差分方程。,4,的表达式依次代入(4-1),即得,利用等比级数求和公式得,当N300时，,由此即得,5,从而有x632元。,所以，这对夫妇还是有能力买房的，但他们的结余就少了，应急能力降低了,某借贷公司针对上述情况出了一个广告：,本公司能帮助你提前三年还清借款，只要：(1)每半个月向公司还一次钱，钱数为316元；(2)由于文书工作多了，要求你预付三个月的钱，即预付1896元。,请你给分析一下借贷公司用意何在？是否赚钱？,6,分析(1) 这时主要
3、是还款周期变了，从一个月变为半个月，因而可设R0.005，x316，A。60000，,这时要求的是使 的N（注意这时N表示半个月）,由(4-2)可知,从而求得N598（半个月）299月24.92年，即最多只能提前一个月还清。,7,如果只有这一条该借贷公司真的成了慈善机构了！问题可能出现在第二个“只要”上。,分析(2) 预付1896元表示你只借了A。60000-189658104元，而R0.005，x316，,由(4-3)求得N505（半个月）252.5月21.04年，,即提前四年就还清了（相当于该公司至少赚了632127584元）！,这对夫妇于是明白了：可以一开始就少借一点钱，他们更明白了算计
4、（数学）在家庭经济决策中的重要作用。,8,思考题：,(1)如果有一笔存款连同连续复利一道计算，它在15年内翻了一翻，问存款利率是多少？,(2) 一个人为了积累养老金,他每个月按时到银行存100元,银行的年利率为4%,且可以任意分段按复利计算,试问此人在5年后共积累了多少养老金?如果存款和复利按日计算,则他又有多少养老金?如果复利和存款连续计算呢?,9,二、席位分配模型,问题：某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名；若学生代表有20个席位，则公平而又简单的分法应各有10、6、4个席位。,若丙系有6名学生分别转入甲、乙两系各3人，此时各系的人数为103、63、34，按比例应分配为
5、10.3、6.3和3.4，出现了小数。19席分配完后，最后一席留给小数点后最大的丙系，分别为10、6、4。,10,现增加1席共21席（为了方便提案表决），重新分配，按比例计算得甲、乙、丙三系分别占席位为10.815、6.615、3.570，按上面的分法分别为11、7、3，这样增加了个一席位，但丙系的席位反而减少了一个，你认为合理吗？,请给一个比较公平的席位分配方案。,下面介绍一个席位分配模型：,设A、B两方人数分别为,则两方每个席位所代表的人数分别为,11,“绝对不公平”不是一个好的衡量标准。,12,为了改进绝对标准，自然想到用相对标准。,首先对“相对不公平”下个定义：,为对A的相对不公平值，
6、,13,为对B的相对不公平值，,假设A、B两方已分别占有,利用相对不公平的概念来讨论，当总席位再增加1席时，应该给A方还是给B方？,14,不失一般性，,即此时对A方不公平，,当再分配1个席位时，,有以下三种可能：,这说明既使A方增加1席，,仍然对A不公平，所以这1席当然给A方。,说明当A方增加1席时，,将对B不公平，此时计算对B的相对不公平值：,15,说明当B方增加1席时，,将对A不公平，此时计算对A的相对不公平值：,公平的席位分配方法应该使得相对不公平的数值尽量地小，,所以如果,则这一席应给A方；反之，应给B方。,根据(4-6).(4-7)两式，(4-8)式等价于,16,不难证明，从上述第(
7、1)种情况也可推出(4-9)。,于是得结论：,当(4-9)式成立时，增加的1席应分配给A方；反之，应分配给B方。,则增加的1席应分配给Q值较大的一方。,将上述方法推广到有m方分配席位的情况：,当总席位增加1席时，计算,17,则这1席位应分配给Q值最大的那一方,现在利用（4-10）来解决开始的问题。,可以说前19席没有争议，即甲、乙、丙各为10、6、3，现在讨论第20和21席应归于何方：,第20席,计算,=96.4,=94.5,=96.3,18,即第20席应分给甲系。,第21席,计算,=94.5,=96.3,即第21席应分给丙系。,最后甲、乙、丙系的席位分别为11、6、4，这样丙系保住它险些丧失
8、的1席，你觉得这个方法公平吗？,19,思考题：,比利时(dHondt)分配方案： 将甲、乙、丙三系的人数都用1.2.3去除，将商从大到小排列，取前21个最大的，这21个中各系占有几个，就分给几个席位，你认为这种方法合理吗？,三、 蛛网模型（留给同学自学）,20,四、常染色体遗传模型,1、亲体基因遗传方式与问题,1）遗传方式,在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa型开粉红色花
9、，而aa型的开白花。,21,又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的，基因是AA或Aa的人，眼睛为棕色；基因是aa型的人，眼睛是蓝色。这里Aa和AA都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a对于A是隐性的，当一个新体的基因型为Aa，而另一个亲体的基因为aa，那么后代可以从aa型中得到基因a，从Aa型中或得到A，或得到a，且是等可能性的得到。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相等。,22,下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，使其后代形成每种基因的概率，如表1 - 2所示。,基因型的概率分布,23,2）问题 农场的植物园中某种植物的基因型AA，Aa和aa。农场计划采用
10、AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？,2、模型构造,1）假设,（1）设an，bn和cn分别表示第n代植物中基因型为AA，Aa和aa的植物总数的百分率，n=0，1，2，x(n)为第n代植物的基因型分布：,24,当n=0时,表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）。,显然有,25,（2）第n-1代与第n代的基因型分布关系是通过表2-3确定的。,2）建模,根据假设（2），先考虑第n 代中的AA型。由于第n-1代的AA型与AA型结合，后代全部是AA型；第n-1代的Aa与AA型结合，后代是AA型的可能性为 ；而第n-1代的aa
11、型与AA型的结合，后代不可能是AA型。,因此当n=1，2，时,26,类似考虑第n 代中的Aa型和aa型，分别可推出,将（4-27），（4-28）和（4-29）式相加，得,根据假设（1），有,27,将（4-27），（4-28）和（4-29）式联立得,用矩阵形式表示为,其中,28,由(4-30)式进行递推，便得到第n代基因型分布的数学模型,它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M确定。,3、模型求解,为 了计算Mn，将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角阵D，使,因而有,29,其中,对于（4-30）式中的M，易求得其特征值和特征向量分别为,30,因此,通过计算，得P-1=P，因此有,31,32,所以有
12、,即在极限情况下，培育的植物都是AA型。,33,4、模型讨论,若在上述问题中，不选用基因型AA的植物与每一其它基因型植物相结合，而是将具有相同基因型植物结合，那么后代具有三种基因型的概率由下表2-4给出：,34,表2-4 相同基因型结合的后代基因型的概率分布,35,于是有,其中,M的特征值为,36,通过计算，可以解出与1，2相对的两个线性无关的特征向量e1和e2，和与3相对应的特征向量e3，即,从而得,37,于是，,即得,38,因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅有基因型AA和aa。,39,思考题：,一种植物的基因型为AA,Aa和aa。研究人员采用将同种基因型的植物相结合
13、的方法培育后代，开始时这三种基因型的植物所占的比例分别为20%，30%，50%。问经过若干代培育后这三种基因型的植物所占的比例是多少？,40,思考题：,将某树群的树分成三类：幼树树龄为010年，成树树龄为1040年，老树树龄在40年以上。 在没有采伐的条件下，假定在每一个单位时间2年内： (1)幼树中的 成长为成树，每一棵幼树平均繁殖 棵新树。 (2)成树中的 长成老树，每一棵成树平均繁殖一棵新树。,41,(3)老树的 要老死，每一棵老树平均繁殖 棵新树。 若在第k个单位时间内，幼树、成树、老树砍伐的数量分别为 ，试在没有砍伐及有砍伐两种情况下分别建立树群增长的数学模型。,42,5 利用微积分
14、建模,一、租客机还是买客机,问题：某航空公司为了发展新航线的航运业务，需要增加5架波音747客机。如果购进一架客机需要一次支付5000万美元现金，客机的使用寿命为15年。如果租用一架客机，每年需要支付600万美元的租金，租金以均匀货币流的方式支付。若银行的年利率为12%，问购买还是租用客机合算？如果银行的年利率为6%？,43,因为买飞机共支付5000万元，租飞机15年的租金为 万元，所以买飞机必然比租飞机合算。这种想法对吗？,不对，因为没有考虑到利率对货币价值的影响。,几个概念：,1、 将A元现金存入银行，年利率按r计算，若以连续计息的方式结算，则t年后的存款额为,（为什么？）,因此，A元现金
15、T年之后的价值是 ，称 为A元现金T年之后的期末价值。,44,2、现 在的A元现金相当于T年之前把 元现金存入银行所得，故现在的A元现金T年前的价值是 ，称 是T年前的贴现价值。,3、“均匀货币流”的存款方式就是使货币像流水一样以定常流量a源源不断地流进银行，比如商店每天把固定数量的营业额存入银行，就类似于这种方式。,有了上面的概念，就可解决我们的问题了。,45,购买一架飞机可以使用15年，但需要马上支付5000万美元。而同样租一架飞机使用15年，则需要以均匀货币流方式支付15年租金，年流量为600万美元。两种方案所支付的价值无法直接比较，必须将它们都化为同一时刻的价值才能比较。我们以当前价值
16、为准。,购买一架飞机的当前价格为5000万美元。,下面计算均匀货币流的当前价格：,设t=0时向银行存入 美元，按连续复利计算,T年之后在银行的存款额恰好是A美元.,46,也就是说,T年后的A美元在t=0时的价值为 美元.,那么,对流量为a的均匀货币流,在 时所存入的 美元,在t=0时的价值是,由微元法可知,当t从0变到T时,0,T周期内均匀流在t=0时的总价值可表示为,47,因此,15年的租金在当前的价值为,(万美元),当r=12%时,(万美元),比较可知,此时租用飞机比购买飞机合算.,48,当r=6%时,(万美元),此时购买飞机比租用飞机合算.,思考题1,若将两种支付方式都化为15年之后的价
17、值进行比较,应该如何进行计算?,49,思考题2,航通公司一次投资100万元建造一条生产流水线，并一年后建成投产，开始取得经济效益。设流水线的收益是均匀货币流，年流量是30万元，已知银行年利率为10%，问多少年后该公司可以收回投资？,50,二、除雪机除雪模型,问题：冬天的纷飞大雪，使公路上积起厚雪而影响交通。有条10公里长的公路，由一台除雪机负责清扫积雪。每当路面积雪平均厚度达到0.5米时，除雪机就开始工作。但问题是开始除雪后，大雪仍下个不停，使路上积雪越来越深，除雪机工作速度逐渐降低直到无法工作。,降雪的大小直接影响除雪机的工作速度，且已了解下述情况和部分有关数据：,51,(1)在除雪机开始工
18、作后，降雪又持续了一个小时。 (2)当雪的厚度达到1.5米时，除雪机将无法工作。 (3)除雪机在没有雪的路上行驶速度为10米秒。,问当大雪以下列速度下一小时，除雪机能否完成10公里的除雪工作？,A)恒速R0.1厘米秒 B)恒速R0.025厘米秒 C)前30分钟由零均匀增加到0.1厘米秒，后 30分钟又均匀减少到零。,52,问题的分析：,不妨假设除雪机的工作速度V（米秒）与积雪厚度d（米）成正比，即,由条件，当d0时V10， 当d1.5 V0，,53,在除雪机刚开始工作时积雪厚度为d0.5米，由(5-2)式可推算出除雪机的初始工作速度为6.7米秒。,下面还要描述下雪的厚度。,若下雪速度保持不变，
19、记为R（单位.厘米秒），则雪在t秒内的厚度增加量为Rt厘米Rt100米。,由此得到除雪机工作t秒时雪的总厚度：,d(t)0.5+Rt100 (5-3),将(5-3)代入(5-2)得t秒时的除雪速度为,54,除雪机不得已停止工作的时间由V(t)0确定为,也可求出除雪机工作t秒时的行驶距离：,现在根据上面的公式分析以下两种情况：,55,情形A：当除雪机开始工作后，大雪以速度R0.1厘米秒持续下一个小时。,除雪机开始工作的一小时内，积雪的新增加厚度是0.136001003.6米，再加上原来雪深0.5米，已远远超过1.5米，那么除雪机内在什么时间和什么地点被迫中止工作？,由(5-5)可算出除雪机停止工
20、作的时间为,t。100R1000.11000秒16.67分钟,由(5-6)可算出除雪机停止工作时所行驶的距离为,S(t。)S(1000),56,3333.33米3.33公里,这时除雪机才行驶了三分之一的路程，雪深已达到1.5米，除雪机将无法工作。,情形B：当除雪机开始工作后，大雪以R0.025厘米秒持续下了一个小时。,除雪机停止工作的时间为：,t。100R1000.0254000秒,66.67分钟,此期间除雪机的行驶距离为,S(t。)S(4000),57,13333.33米13.33公里,这比要求清扫的10公里更长，除雪机早已完成任务。,那么除雪机什么时间完成任务？,因为除雪机的实际行驶路程,
21、S10100010000米，,将此代入(5-6)有,58,解方程求出实际除雪时间t2000秒33.33分钟，,这时除雪机的速度是,米秒,情形C：当除雪机开始工作后，大雪又持续了一个小时，其中前30分钟雪速每秒由零均匀变为0.1厘米，后30分钟雪速每秒又由0.1厘米均匀变为零。,用r(t)表示t时刻雪的速度，则下雪速度变化情况如图2-15,59,由图知,式中，r(t)的单位为厘米秒。,60,对下雪速度求积分就可得积雪厚度函数,当t1800秒,d(t),（米） (5-7),且d(1800),即当工作到30分钟时，积雪厚度为1.4米。,61,当t 1800秒,d(t)1.4,d(3600),这说明在
22、雪停以前除雪机已经停止工作。,那么除雪机是否中途被迫中断工作？能工作多长时间？已清扫了多长路程？,62,由(5-7)式和(5-8)式，知雪的厚度函数为,因为除雪速度与雪的厚度的关系为,将(5-9)代入(5-10)得,63,易知当t1800 时，,令V(t)0,由此得 t。1903秒,（舍去）,因此除雪机工作1903秒（31.7分钟）将无法工作。,64,思考：不求V(t)能否知道除雪机何时停止工作？,除雪机工作的距离,8434米8.434公里,所以除雪机只能扫除8.434公里就无法行走了，即除雪机无法完成10公里的除雪任务。,65,思考题：,(1)请考虑其它的除雪速度函数和降雪速度函数。 (2)
23、在降雪过程中，除雪机清扫过的路面又会开始积雪，雪的厚度将如何变化？特别考虑降雪速度为非常数时的情况，能否用一个函数描述马路上雪的堆积情况？ (3)当雪速为常数时，问下雪速度为多少时除雪机刚好完成10公里除雪工作？,66,三、广告与利润问题,问题：某公司有一大批装饰涂料，根据以往统计资料，零售价增高，则销售量减少，具体数据如表2-5。若做广告，可使销售量增加，具体增加量以售量提高因子k表示，k与广告费的关系如表2-6，它也是以往的统计或经验结果。现在已知涂料的进价是每听2英镑，问如何确定涂料的价格和花多少广告费，可使公司获利最大。,表2-5：涂料预期销售量与价格的关系 单价（镑） 2.00 2.
24、50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 售量（千听） 41 38 34 32 29 28 25 22 20,67,表2-6：售量提高因子与广告费的关系 广告费（万镑） 0 1 2 3 4 5 6 7,提高因子k 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80,为了解决此问题，引入以下记号： x预期销售量； y销售单价； z广告费； c成本单价；,由表2-5可看出，售量与单价近似成线性关系，因此可设： xayb (5-11),可用最小二乘法，根据表1中的数据定出(5-11)式中的系数a和b的具体数值，显然a0。,68,由表2-6
25、可看出，提高因子与广告费近似二次关系，因此可设：,同样，可用曲线拟合法，由表2的数据定出(5-12)式中的系数d、e和f，这里d0，抛物线开口向下。,设实际销售量为S，它等于预期销售量乘以销售提高因子，即Skx，于是利润P可表示为：,P收入支出 销售收入成本支出广告费,syscz kx(yc)z (5-13),69,将( 5-11)和(5-12)代入(5-13)，可见P只是y和z的函数，即,所以问题归结为当y、z为何值时P达到最大值。,由多元函数求极值的方法：,P的极大值点为,70,为了得到具体的数值，需求出各系数的值。,下面给出计算的结果： a5133 b50420 c2,把以上数值代入，可
26、得,x20084 y5.91 z33113 k1.91,71,可以预言，按该方案销售，可得 实际销售量,Skx1.912008438360（听）,获利润 P116875（英镑）,四、交通灯模型（留给同学自学）,72,五、录像带的长度问题,问题：在一台录像机上有一个四位数字的记数器。在磁带开始运行时的设置为“0000”。 185分20秒结束时显示读数为“1849”。并注意到记数器从“0084”转到“0147”时用了3分21秒。现在记数器上显示为“1428”，问余下的磁带是否足够再记录60分钟长的节目？,建模目的： 建立记数器读数n和所花时间t的关系。,假设：,(1)录像磁带厚度是均匀的设为w，磁
27、带绕半径为r的轴旋转；,73,(2)磁带绕磁头旋转的线速度为常数V；,(3)记数器的读数与轴轮转数成正比；,(4)磁带卷各圈松紧均匀。,录像机运行一段时间以后的磁带卷如图2-18：,记t时刻轴心到磁带卷外侧的距离为R(t)，,已放过的磁带总长为L(t),记数器读数为n(t)。,下面讨论t和n(t)的关系：,74,因为在t时刻磁带卷侧面的总面积为,所以用总面积除以厚度W，有,另一方面，由假设(2)知,L(t)=Vt,整理得,75,当磁带转轮转过一个很小的角度 时，,对应的磁带长 ，,若转过 角度所花时间为 t，,又有 ，和 ，,取微分有,从而,76,由假设(3)有 ，k是比例系数，,若从销售商或
28、制造商处了解到W、V和r的值，并选择一个合适的k值，就可得到n(t)和t的具体关系，将n(t)1428代入求得t值，再用185分20秒去减，就可回答我们的问题。,77,下面根据所给的条件来解决我们的问题：,将(5-16)式变形为,所以(5-17)变为,式(5-18)中仅含两个参数和。,78,利用如下数据表2-9：,时间t（分） 0 + 3.35 185.33,读数n(t) 0 0084 0147 1849,t0，n0是模型的初始条件，将后3组数据代入(5-18)式得到以下的三元方程组：,这是关于 的三元方程组，含有三个方程，能够解出，从而得出n(t)与t的关系，解答我们的问题。,79,求解此方
29、程组很困难，下面再寻求更好的方法。,将(5-18)改写为,或者,因此得到n(t)和t的另一形式,其中a、b为参数,80,将数据表中后3个值代入(5-20)式得,消去 （我们无需确切知道 的值）得,最后解得,81,所以得经验模型,现在用(5-21)式来回答最初的问题：,当n1428时，t的值为,剩余的总记录时间,185.33125.6459.69分,所以根据模型断定余下的录像磁带已不足已记录60分钟的节目。,82,评注： 由于数据个数太少，本问题不能用统计法估计参数，而用机理分析法求得参数值。需要指出的是我们可利用的数据个数已是允许的最少个数了。如果有较多的t和n的数据，用统计法可得到更可靠的a
30、和b的估计值。,83,思考题：,1、现有一个椭圆柱油罐，其长度为L,两底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆，问当油罐中油面高度为h时，油量是多少？,2、某立交桥桥墩形如截锥体，其上下底面是半轴长分别为a，b和A，B的椭圆，其高为h，求桥墩的体积。,3、设在海湾中,海潮的高潮与低潮之间的差是2 米.一个小岛的陆地高度的函数表达式为 (单位为米).并设水平面z=0对应于低潮的位置,求高潮与低潮时小岛露出水面的面积之比.,84,4、一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可以近似认为是圆轨道。通信卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动。若地球半径取为R=6400km，问卫星距地面的高度h应为多少？试计算通信卫星的覆盖面积。,