理论力学三.ppt

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1、理论力学（三）,刚体力学，非线性系统 2011.11,刚体的概念和性质,刚体是一种质点系，其中所有质点的相对位置一直保持不变。 刚体不发生任何形变。固体的物体受力时，如果形变较小，可以近似地视为刚体。 刚体有形状，有大小，有质量分布。我们研究宏观世界的物体运动时，如果物体的大小不能忽略，用质点模型就不够全面，这时可以使用刚体模型。,刚体的自由度,在三维空间中运动的刚体，其自由度为6。 平动自由度3。决定了刚体上的一点的位置。 转动自由度3。其中，2个自由度决定刚体上的某根轴线的方向，剩下的1个自由度决定刚体绕此轴旋转的角度。 决定刚体上的一点的坐标需要3个自由度。决定刚体上的另一点又需要2个自

2、由度（3个自由度，减去这两点之间的距离固定的约束条件）。决定第三个点还需要1个自由度（3个自由度，减去它与前这两点之间的距离固定的2个约束条件）。再增加点自由度不增。一共还是6个自由度。,刚体的本体坐标,本体坐标系是固定在刚体上的坐标系。它是随刚体一起运动的。刚体上的任意一点在本体坐标系中的坐标值恒定不变。 空间坐标是我们所在的实验室惯性系的坐标（可视为“静止”坐标）。 要表示一个刚体的状态，首先要用三个空间坐标表示本体坐标系的原点位置，此外还要能表征本体坐标的坐标轴方向。,刚体的运动方式,平动。刚体上任何一点都有相同的速度（和加速度）。本体坐标方向保持不变。可以用刚体上的一点的运动表征整个刚

3、体的运动。自由度为3（3个平动自由度）。 定轴转动。刚体围绕一个固定的轴作转动。自由度为1。 平面运动。刚体每个质点的运动都限制在一个平面内，限制不同质点的平面彼此平行。自由度为3（2个平动自由度，1个转动自由度）。 定点转动。刚体转动时，其上某一点固定。（3个转动自由度） 一般运动。自由度为6（3个平动，3个转动）,欧拉定理,定理：具有一个固定点的刚体的任意位移等效于绕该定点的某一轴线的转动。 如果能寻找到轴线和旋转的角度，使原始位置的刚体经过一次旋转就能到达指定位置，则欧拉定理即获得证明。 实际上，由于原点不动，只需要本体坐标的x轴单位向量和y轴单位向量到达目标位，刚体整个就到达目标位。,

4、欧拉定理的证明,确定旋转轴是xx的垂直平分面与yy的垂直平分面的交线。轴上任意一点到x和x等距，同时到y和y也等距。 图中黑的球面三角与红的球面三角全等。因此当x转到x时，y也同时转到y。因此，刚体通过一次旋转，到达了指定位置。这样，描述原点固定的刚体的状态就等价于描述一次转动。,第24次课,设e为转轴的方向向量。刚体上的任意一点的位置 r 在三个方向上分解： 平行方向： 垂直方向： 速度切向： 在绕 e 轴旋转一定角度q之后，新位置为：,转动后刚体上某一点的新位置,也可以用4元数来表示转动。 4元数是具有实部及3个虚数单位(i, j, k) 虚部的4元复数，表示为： 其中虚数自身的乘积都是-

5、1，可代表三维空间的三个相互垂直的方向。不同虚数相互的乘积（这里用 * 表示）满足矢量叉乘的规则：,转动的4元数描述,4元数可以进行加减乘运算。由于矢量叉乘规则，因此4元数的乘法也同样不满足交换律。但结合律和分配律都是满足的，可进行一般的代数运算。将4元数q写为纯数n和矢量v两部分，运算结果为：,四元数的运算规则,转动可以用一个归一化的4元数来表示。 对比可知得到的是角度为2q的旋转。,四元数表示旋转,两次旋转连续进行可以复合为一次 连续多次的旋转最后都能用一次旋转替代，这与欧拉定理是一致的。 4元数用了4个分量表示一次旋转，而旋转的自由度为3，用矢量部分就能表示。冗余的1个量对应于加入了模为

6、1的归一化条件的约束条件。 用4元数表示旋转的方法广泛应用于计算机的3维绘图等方面。,旋转的复合,以z轴为转轴，进行一次转动，转动q之后刚体上任意一点的空间坐标变为 变换矩阵为 同样我们可以获得绕x轴或绕y轴旋转的变换矩阵。,刚体旋转的矩阵表示,旋转时坐标的矩阵变换,用e表示任意矢量e的空间坐标排成的列。 本体坐标系从原始位置转动到当前位置，其3个轴的单位基矢量为ex，ey，ez。把3个单位基矢量的空间坐标排为3列，构成矩阵3x3的矩阵R = ex ey ez 。则矩阵R是旋转的变换矩阵。此矩阵的各列是归一的且彼此正交（单位基矢量性质）。 因 RTR=I，故|R|不为0，有逆矩阵存在，右乘R-

7、1得RT=R-1。此矩阵的逆矩阵是自身的转置。 刚体上本体坐标为(x,y,z)的任意一点当前空间位置为 r = xex + yey + zez = Rr 这给出旋转前后刚体上任一点（在原坐标系中的）坐标的变换。,欧拉定理的矩阵证明,由于R是单位基矢量为ex，ey，ez的空间坐标排为3列构成，因此（基矢量下标加0是指旋转前的坐标）： ex0，ey0，ez0 R = ex，ey，ez 这给出了旋转前后单位基矢量的变换。 刚体从初始位置，不管经过多少次定点旋转，最终位置与初始位置之间的变换矩阵R可通过单位基矢量的坐标排列得到。若存在转轴X，它在旋转变换R作用下不变，即说明可以通过一次旋转从初始位置转

8、到最终位置。 因初始时的|R|=1，需舍弃负根。,第25次课,转动自由度为3，可以用3个角度来表示刚体的转动。首先，沿z轴旋转j角。然后沿x轴旋转q角。最后沿着z轴旋转y角。 前两次旋转确定了z轴的指向，如同地球球面上的点用经纬度确定，这两个参量确定了z轴单位向量。,欧拉角,其中，角 j 称为进动角，角 q 称为章动角，角 j 称为自转角。欧拉角经过三次沿坐标轴的转动，转动之后刚体上任意一点的空间坐标变为（e右肩标是欧拉角旋转的顺序） 或反过来从空间坐标求本体坐标：,欧拉角旋转的矩阵表示,因此,欧拉角旋转的矩阵表示,旋转的次序是不可交换的，例如同样是做以x为轴转90，再以y为轴转90，z轴的方

9、向指向-y，但如果次序相反，则z轴最终指向x，可见结果不同。同样，如果旋转用4元数表示，这意味着4元数相乘不满足交换率。如果旋转用矩阵表示，这等价于矩阵相乘也不满足交换率。,有限角旋转的不可交换性,y,x,y,x,z,z,但无限小角度的旋转次序是可交换的。分析一下4元数相乘，不满足交换率的项是叉乘项 当转动角是一阶无穷小的2dq时候，q=1+edq，两次连续进行时，叉乘项是二阶小量，可被忽略。 因此，无穷小角度旋转是可交换的，且能表示为转轴方向的大小为dq的矢量，并满足合成法则。,无穷小角度旋转的可交换性,无限小角度的旋转可以用矢量edq表示，刚体上任意一点的位移为 定义转动的角速度矢量为 因

10、此，刚体上任意一点的速度为；,旋转的角速度及刚体点速度,无限小角度的旋转可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。对于欧拉角随时间变化产生的角速度为：,欧拉角角速度的矩阵变换,同样，也可以直接计算： 角速度使得4元数随时间产生变化： 其中，w0是空间坐标的4元数矢量，而w是本体坐标的角速度4元数矢量。,角速度引起的欧拉角和4元数变化,第26次课,作业：4.1，4.3，4.4，4.5,旋转的角加速度定义为 刚体上任意一点的速度为 因此，刚体上任意点的加速度由角加速度和向心（轴）加速度引起。,旋转的角加速度及刚体点加速度,本体坐标原点O移动时刚体上任意一点P的速度为： 若以刚体上另一点O为本体坐标系原点

11、则又有 因为P点的任意性，可知 w = w，即角速度与本体坐标的原点选择无关。,一般运动时刚体点的速度,刚体做一般运动时，本体坐标中有一点C的速度为0： 这一点我们叫它转动瞬心。若以这一点为本体坐标系的原点，刚体在这一瞬间围绕这点做纯转动。这时刚体上的任意一点P的速度为 而过C点且沿着 w 方向轴线上，各点速度都为0，我们称这个轴线为转动瞬轴。,转动瞬心和瞬轴,转动瞬心可以直接求解： 利用刚体上任意两点P、Q的速度方向均分别与CP、CQ垂直的性质，可以做垂线获得交点，即为瞬心C点。 利用滚动接触点找转动瞬心。当刚体与空间静止的物体接触并在其上做纯滚动时，接触点即为转动瞬心。,转动瞬心的寻找,各

12、个时刻的转动瞬心在空间坐标中留下的轨迹称为空间极迹。极迹，类似南北极点留下的轨迹。 由于不同时刻有不同的点成为转动瞬心，转动瞬心在本体坐标系中也留下了轨迹，称为本体极迹。 刚体的转动可以看作是本体极迹在空间极迹轨道上做纯滚动的过程。,空间极迹和本体极迹,将刚体看成质点系，其动量为（带撇为质心系）： 即刚体的总动量等价于全部质量集中在质心的质点的动量。而刚体的角动量为： 刚体的角动量等效于质心的质点的角动量，以及围绕质心的角动量 L 两部分。,刚体的动量和角动量,质心系中围绕质心的角动量 L 可表示为： 这里定义了惯量张量（其中I是单位张量）： 惯量张量这里写为并矢形式，它也有矩阵形式。,刚体的

13、角动量和惯量张量,角动量 L 写成矩阵的表达式 可知惯量张量的矩阵表达为（离散和连续情况）：,角动量和惯量张量的矩阵表示,刚体的动能为： 也可表示为等效质心质点的动能和围绕质心旋转的动能两部分。,刚体的动能,惯量张量是对称的矩阵。 在本体坐标系中计算惯量张量，其分量保持不变。 惯量张量给出了刚体的力学性质，用于计算角动量和动能十分便利。 惯量张量对角项总为正（0），称为相应的轴的转动惯量，非对角项称为惯量积，对于对称情况，惯量积为0。 由于动能的非负性质，惯量张量也是非负的二次型矩阵。特别地，当惯量张量只有对角项不为0时，3个对角项都必须是非负的。,惯量张量的一些性质,一般情况下，角动量 L

14、的方向并不与角速度 w方向平行。只在特殊情况下两者平行： 满足这种条件的轴的方向称为主轴方向，这个条件也等价于求方程的非零解，因此，要求线性方程组的系数行列式为0： 行列式为0的条件得到了关于 l 的一元三次方程，有3个解，都是非负的实数：,惯量张量的主轴,同时，l 也是惯量张量矩阵的本征值，非0解 w 的方向向量即为该本征值对应的本征向量。由于惯量张量是对称的，不同的本征值对应的本征向量彼此垂直： 相同的本征值时（重根），它们的本征向量的线性组合也是本征向量，可在它们线性组合构成的平面内找到两个相垂直的本征向量。,惯量张量的本征值和本征向量,以3个相互垂直的本征向量方向为轴向建立本体直角坐标

15、系，即本征向量坐标系，此时有 同样处理另外两个方向，可得惯量张量为对角阵,本征向量坐标系中的惯量张量,一般情况下，本体坐标系并非本征向量坐标系，但可以通过一次旋转，从本征向量坐标系（不带撇）变换到一般的本体坐标系（带撇）。旋转矩阵R为归一化的3个本征列向量并排排列得到。 旋转矩阵R满足正交归一的条件，其逆矩阵即为自身的转置。,本体坐标系的旋转变换,惯量张量的对角项是转动惯量，特别是取本征向量坐标系时，惯量张量只有对角项的转动惯量不为零。当质心不在转轴上时，有平行轴定理 均匀对称简单几何体的转动惯量为 这里 Lx Ly 是物体在x和y方向的尺度。N是与几何体形状有关的正整数（方3，圆4，球5）。

16、,转动惯量,转动惯量的计算,第27次课,作业：4.2，4.6，4.8，4.9,定义任意方向的转动惯量 I 使得刚体绕该方向轴线转动时，动能为 转动惯量 I 与方向有关，当然与角速度大小无关。沿轴线方向截取长度为 的点，当方向变动时，该点的轨迹就是一个椭球面： 这即为惯量椭球。,惯量椭球,利用主轴方向的3个主转动惯量，可方便地构建惯量椭球。 对于任意方向，从惯量椭球面到中心的距离 d，可得到转动惯量 I=d-2 从而可计算动能T=I w2/2。 角动量的方向就是椭球面的法线方向。事实上，沿着椭球面法线方向即为椭球方程左端的梯度方向： 惯量椭球是较“圆”的椭球，因为每个主转动惯量都不大于其他两个主

17、转动惯量之和（由定义可证），因而椭球的3个轴相差不大。,惯量椭球的应用,求均质圆锥体的惯量张量，原点在底面圆心。,举例,均质立方体顶点位于原点且三个边分别位于三个坐标轴上，边长为a。求惯量张量并做对角化。,举例,牛顿矢量力学对刚体定点旋转问题的处理。在本体坐标系中：,欧拉动力学方程,拉格朗日方程处理刚体定点旋转问题，结果不变。,以拉格朗日法求方程,由角速度的欧拉角表达式得 求 w 对 y 偏导时，y 增加对本体坐标系中的矢量是反向旋转，而求力矩时在空间坐标系中，是正向旋转。 依对称性同样可得x和y方向的动力学方程。,拉格朗日法得到欧拉动力学方程,四元数处理刚体定点旋转问题，结果不变。,四元数的

18、动力矩方程,定点转动的刚体不受外力矩（或合外力矩为0），称为自由刚体。由于总力矩为0，因而角动量守恒。又约束转动时没有力矩做功，刚体的动能守恒。当刚体转动时，角动量的本体坐标分量会不断变化，但它的大小不会变化。因此有两个守恒量： 当然也可以直接积分得到这两个守恒量。力矩方程分别点乘w积分，或者点乘（I1wx，I2wy，I3wz）积分即可。,自由转动的刚体,从中解出以wz表示的wx，wy： 可以解析求解，得到关于第一类不完全椭圆积分的特殊函数，由于数学上繁琐就不再详解和讨论。,自由转动的刚体求解,以本体坐标系中的惯量椭球代表刚体，转动角速度w与惯量椭球交点Q处，有固定的切平面。这是因为切面的法线

19、方向即为守恒的角动量的方向，因此切平面都是彼此平行的；同时，原点O到切平面的距离也固定： 而Q点也是转动瞬心，因此，转动的空间极迹在此固定平面内，本体极迹在惯量椭球上。惯量椭球在平面上做（原点O固定的）纯滚动。,自由转动刚体的几何图示,可以看出，如果有两个主转动惯量相同，惯量椭球就是轴对称的，其空间极迹就是一个圆，转轴OQ绕着角动量L的方向匀速转动，可以解析求解。如果惯量椭球不是轴对称的，空间极迹的曲线就会比较复杂，不易求解。,自由转动刚体的极迹,作业：4.10，4.12，4.14，4.15,第28次课,自由转动的刚体，如果主转动惯量中有两个相同，称为对称欧拉陀螺。它的惯量椭球是轴对称的，设

20、I1=I2，因此： 在本体坐标系中，角速度矢量其大小不变，并围绕 z 轴做角频率为W的匀速转动。,对称欧拉陀螺,在空间坐标系中， 也是常数，与 z 轴即L的夹角也是常数，为 cos-1(wz/w)。通过计算本体坐标系z轴上的点的速度，可以计算该轴的回旋角频率。,对称欧拉陀螺的极迹,进一步求解对称欧拉陀螺的欧拉角 结果无章动，有进动。地球可看作对称欧拉陀螺，其南北轴线半径短于赤道面的半径，因而南北轴的转动惯量较大，比例为(I3-I1)/I1=1/306，而wz为1天对应的角频率。故进动周期约300天。但实际为420天。这是由于地球非刚体、非轴对称和非自由不受外力矩等所致。,对称欧拉陀螺的运动,设

21、想一个沿主轴做定点旋转的刚体，不妨设沿x轴，即 w=wex，受到微小扰动而变化。此时： 由于wy，wz 都是小量，乘积为二阶小量可忽略。可得wx为常量，而wy，wz 是以角频率做简谐振荡或增长和衰减，决定于 n2 的正负。,欧拉陀螺转动的稳定性,若欧拉陀螺是对称的，设 I1=I2，此时对于z轴的转动显然是稳定的。而对于开始是x轴的转动，可得 wy 将是线性增加的，因而总是不稳定的。 有时，物体并非理想刚体，其内部的耗散作用使得动能不断降低，但内力作用并不改变角动量，角动量依然守恒。对此，可作如下处理：,对称欧拉陀螺转动的稳定性,考虑耗散使动能减小。若 I1 I3（相当于匀质物体z轴方向尺度大于

22、其他两个方向尺度），动能减小则q角增加，这时旋转轴逐渐远离z轴，因而绕z轴转动是不稳定的。,对称欧拉陀螺转动的稳定性,拉格朗日陀螺是在重力场中的对称陀螺，绕固定点转动。此时拉格朗日函数为： 其中，y ，j 和时间 t 都没有出现。这样，就有3个运动积分。对应守恒的广义动量：,拉格朗日陀螺,反解可得： 守恒的广义能量积分为： 这相当于以q 为广义坐标的质量为I1的质点在有效势中Veff中运动：,拉格朗日陀螺的有效势,如图所示，若能量为E，则q 在q1与q2之间的势阱中运动，动能和势能相互转化。 进动速度是否能为负，决定了运动的3种形态。,拉格朗日陀螺运动的图示,作业：4.16，4.17，4.18

23、，4.20,第29次课,对于高速回转情况，当q 变小使进动速度为0之时，若q 继续变小有效势会迅速增大达到总能量，q 迅速达到极小值q1 。因而此时，章动速度很小，以致可以视为0。,快速拉格朗日陀螺,高速回转情况，也可近似认为q 不变，进动速度均匀且远小于自转速度。角动量以自转角动量为主。重力矩与角动量垂直，因而它使角动量回旋而不改变其大小。此时，可估算进动速度。,快速拉格朗日陀螺近似解,L,z,mg,M,子弹高速旋转的稳定性。子弹射出之时，由于枪膛里的来复线的作用，向前的同时也有高速的旋转。此时，空气阻力产生力矩，使子弹头方向偏离正前方。但由于高速旋转时的稳定性，力矩的作用仅使转轴方向产生进

24、动，弹头依然基本保持向前的方向。 回转力矩。若要使高速旋转的刚体转向，需要在转轴上施加很大的力矩。如螺旋桨飞机转向，螺旋桨轴受到的力矩为 ，远大于静态时所受的力矩。这在设计时要注意。 回转罗盘。利用高速旋转刚体的特点，用于导航。,快速拉格朗日陀螺的应用,将定轴设为空间坐标系的 z 轴。,刚体的定轴转动,整理得 特别当 y=0 或I1=I2时，空间坐标系中所受力矩为,刚体的定轴转动所受力矩,将定轴设为空间坐标系的z轴。 对于 y=0 的刚体，,空间坐标系解刚体的定轴转动,均匀圆盘转轴安装偏离盘面法线方向1，圆盘质量20kg，半径0.2m，距离轴两端都是0.5m，转速12000r/min求轴上所受

25、动反作用力。,刚体的定轴转动例题,刚体的运动可分解为平动和转动的叠加。处理平动，刚体可用质点模型；处理转动，刚体做定点转动。 刚体的转动常用欧拉角描述。有限角度转动不是矢量，而无限小角度转动是矢量，符合交换率和矢量合成法则。因此，转动时能合成唯一的角速度矢量w，且刚体上任意点的速度表示为 刚体转动时，本体极迹在空间极迹上做纯滚动。 使用刚体的惯量张量和转动角速度w就能描述刚体的角动量和能量。刚体的具体形状、质量分布等都是通过惯量张量影响它的动力学行为。,刚体力学总结,每个刚体都存在三个相互垂直的主轴方向，以此三个方向建立的本体直角坐标系中，刚体的惯量张量矩阵是对角线型的，且数值不变。 刚体的动

26、力学方程，即外力矩等于角动量的变化，从中可以解出角速度w随时间的变化。 自由定点转动的刚体，角动量守恒，角速度w绝对值不变，绕角动量方向作匀速进动。 对称刚体在重力场中的定点转动时，其章动角的变化如同限制在有效势阱中的质点运动。高速旋转时，刚体的运动具有稳定性。 定轴旋转时，转轴若与惯量主轴不平行，转轴将产生较大的动反作用力矩。,刚体力学总结（续）,作业：4.19，4.21，4.22，4.23,第30次课,牛顿力学处理经典力学问题相当成功，以至于历史上人们认为，当初始条件一旦给定，用牛顿力学就可以精确计算出以后力学体系的变化。 相对论打破了牛顿的绝对时空观，但相对论本质上仍然是确定性的。量子力

27、学的结果有着随机性，但几率分布是确定的。但即使是确定性的系统，如果具有非线性性质，初始条件的任何微小变化都可能使结果产生巨大的差别。这种决定性的方程给出看似随机的结果的现象，称为混沌（Chaos）。在线性系统中，初始条件的微小变化只能使结果也产生微小变化，混沌是非线性系统特有的现象。,非线性系统和混沌,1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德华洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计算机速度约每秒做6次乘法。 经简化后的洛仑兹气象模型为 洛仑兹方程的结果在相空间 中形成“奇怪吸引子”。 http:/bzhang.lamost.org/website/archives/lorenz_

28、attactor,洛仑兹方程,为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果，然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏离了上次的结果。初始值微小的变化，可能引起一段时间之后的结果产生巨大的变化。这种特性，即著名的蝴蝶效应。,蝴蝶效应,他第二次输入时去掉了小数点后面三位：0.506127 = 0.506,小振幅的单摆，方程 有确定的解析解。对于一般受迫情况，相图上出现周期吸引子或极限环。,单摆系统（线性）,简谐振荡：闭合圈-周期环 阻尼振荡：从外向内收缩的螺旋线，最终停止于中点-不动点吸引子,受迫振动：经过暂态之后趋于一稳定的闭合圈-周期吸引

29、子或极限环,大振幅情况下有阻尼时（左）和无阻尼时（右）的相图，及相图上的椭圆点、双曲奇点（鞍点）、分界线。,单摆相图,周期变量的柱形相图,相图横坐标q是以2p为周期的，摆角p是单摆的同一个倒立位置，把相图上G点与G点重迭一起时，就把相平面卷缩成一个柱面。所有相轨线都将呈现在柱面上。,对于大振幅的阻尼单摆，仍然有椭圆积分的解析解。但对于一般受迫情况，无解析解，相图上出现混沌。 受迫阻尼单摆可写为自治系统： 自治系统的动力学方程不显含时间 t 的。一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交，即通过每一相点的轨线是唯一的，而非自治系统中相轨线则会相交。,受迫阻尼单摆（非线性）,若沿f方向截取一系列截面

30、，则根据该自治系统的性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次性的穿过每一个截面。因 f = Wt = 2np，若以2p 为周长，将相空间弯成一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面称为庞加勒截面。,庞加勒截面图,相轨线在庞加勒截面上的交点的集合就称为庞加勒截面图。 通过分析相轨线在庞加勒截面上的交点的分布规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程中系统的运动规律。 单周期振动，每隔2p运动状态复原，即相轨线每次都从同一点穿过庞加勒截面，在庞加勒截面图上只有一个不动点(a)；倍周期的运动，庞加勒截面图上有两个不动点(b)；运动无周期性，则庞加勒截面图上有无穷多个点(c)。,庞加勒截面图的应用

31、,(a),(b),(c),随着驱动力增加，单摆的庞加勒截面上周期增加。,周期数增加,(a)双周期,(b)四周期,(c)混沌,随着驱动力增加，单摆运动的周期数成倍增加，最后出现混沌。 在混沌状态中又复现的周期性运动，称为混沌区中的周期窗口。如继续增大驱动力 ，则出现一个三倍周期的运动-周期三窗口。 再增大驱动力时，系统又再次进入混沌状态。,混沌与周期性交替出现,三周期的运动,随着外加的受迫力增大，系统由单周期，变为二倍周期的运动，即出现了倍周期分岔。最后出现混沌。 处于混沌状态时，系统的行为对于初值十分敏感，称这一特性为混沌的初值敏感性-蝴蝶效应。即相轨道(运动状态)完全不可预测。,混沌系统的吸

32、引子,图(a)中两条曲线的运动完全各异，但它们的庞加勒截面图(c)和(d)却又是完全相同的。混沌的相轨线在庞加勒截面上的这种点集称为混沌吸引子。,混沌行为具有极为敏感的初值依赖性，相轨道(运动状态)完全不可预测。 貌似随机的混沌运动，其长期的演化行为遵从确定的规律-混沌运动的内在规律性。混沌吸引子是非线性耗散系统混沌的特征，表明耗散系统演化的归宿。代表混沌行为的全局特征混沌吸引子却具有不依赖于初值的、确定的规则。这是混沌运动区别于真实随机运动的重要标志。 在混沌状态中又复现的周期性运动。而真正的随机运动中，不可能出现这种情况。,混沌与随机性,对于自治的动力学系统的方程一般可以写为 在相空间的轨

33、迹一般没有交点。但也有例外，即在一些不动点或平衡点P处，其速度为0，有： 从而相轨线失去前进的方向，即平衡点处可以出现轨线相交的现象。因而这些平衡点也成为奇点。 在平衡点附近，相轨线的走向为,动力学系统的平衡点,雅可比矩阵为 平衡点的类型由雅可比矩阵的本征值决定。对于雅可比矩阵的每一个本征值li，对应一个本征向量Xi 定义新的坐标,平衡点附近的走向,平衡点附近，对于雅可比矩阵的每一个本征值li及对应一个本征向量Xi，该本征向量随时间的变化因子为exp(lit)。本征值是正实数，则相轨迹沿着本征向量方向远离平衡点；反之，若为负实数，则向平衡点靠拢。若出现共轭复数的本征值，相轨迹在这对共轭向量决定

34、的平面内旋转，并依实部的正负决定是远离还是靠近平衡点。 以二维相空间为例，有椭圆点（本征值为纯虚数），鞍点（两本征值符号相反），焦点（共轭复数，实部为负时是稳定的，为正就不稳定），稳定结点（两个正本证值），不稳定结点（两个负本征值）。,平衡点的类型,对于二维相空间，从平衡点的雅可比矩阵，求本征值，得到一元二次方程： 平衡点的类型分为： 中心点。Rel=0 鞍点。l10，l20，l20 稳定焦点。Rel0,二维相空间平衡点的类型,虫口模型是最简单的非线性系统，满足： 其中，xn 代表某种昆虫当年的数量，而下一年的数量由于繁殖增大为a倍，但由于争夺有限空间和食物，相互打斗而减少。打斗每方数量都是x

35、n ，因而打斗发生的次数与xn 的平方成正比。 平方项带来了最简单的非线性项。递推关系等价于微分方程的速度用时间差分表示。 递推关系也可以是以下形式，性质相同。因为通过平移（x=x+a/2b）和比例变换，两者本质相同。,虫口模型,平方项带来了最简单的非线性项。递推关系本来等价于微分方程的速度用时间差分表示： 但Dt-0时，每次 x 的变动不趋向于0，数值差分的不稳定造成和微分方程的解不同的结果。 递推关系取为 在整个区间取值迭代便得出由周期运动到倍周期分岔，再进入混沌状态的整个演化过程。如下图所示。,虫口模型的倍周期分岔,倍周期分岔序列： 1-2-4-8-.2n-. 每次分岔开始的m变化很有规

36、律： 当n-时，则意味着系统已进入混沌状态。 右图方框内是周期窗口。在混沌区中重又出现的周期性运动。窗口中包含着与整体完全相似的结构。,从倍周期分岔到混沌,1,2,3,混沌内部的自相似结构,看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结构。任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与整体完全相似的规律。在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结构称为自相似性。 在整个区间取值迭代便得出由周期运动到倍周期分岔，再进入混沌状态的整个演化过程。如下图所示。从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是整数维，而是分数维的，也就是具有分形的性质。 混沌带的合并 -从逆着混沌演化的方向，可找到混沌带合并的规律：

37、,自相似结构,若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参数m记为mn，则相继两次分岔（或合并）的间隔之比趋于同一个常数费根鲍姆常数： 注意：常数d并不只限于单摆公式，而是对所有同一类的变换，所得的d值都精确地相同。 d的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各个系统的其他具体细节无关。它反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性，是混沌内在规律性的另一个侧面反映。,普适的费根鲍姆常数,对初值敏感的系统，初值有个偏差D0，则导致迭代之后差别为D1=f (x0)D0，迭代n次之后差别为Dn=f (n)(x0)D0=f (x0) f (x1) . f(n)(xn-1)D0 因此Dn随着n大致呈指数增长

38、。可定义李雅普诺夫指数l为对数情况下的增长系数，即 Dn = elt D0 显然，可计算l如下 右图是抛物线变换 的李雅普诺夫指数,李雅普诺夫指数,在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所使用的尺度。 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。 分维才是海岸线的确切特征量，海岸线的分维均介于1到2之间。,分形和分维,分形具有自相似结构的特点。可以使用简单结构通过自相

39、似嵌套，形成复杂的结构。 自然界中的树木、海岸线、山峰、布朗运动、湍流等都可以看作是分形。 分形具有标度不变形的特点。如果标度为L的分形结构体积是V，则有 其中，D是分形的维数。对于简单的几何体，维数是整数，对于分形，其维数一般是分数。,分形的自相似结构和分数维,下图的分形，尺子缩短后，所测量的标度是3，而测到的总长为4，维数log4/log3。,分形维数举例,布朗运动是一种无规的随机运动。用醉汉走路来形象地看这种运动，如果每隔一段时间看它，它走过的距离为d，如果观察间隔的时间延长至n倍，则它走的位移不是nd，而是n1/2d。 或者说，现在用长度为d的尺来量度，发现路程是n，而标度为n1/2。

40、因此维数为2：,布朗运动,分形已有科学扩展到艺术领域，计算机成绘画大师。,分形的艺术,1834年爱尔兰工程师罗素观察并描述了孤立波： “当我正在观察一只高速运动的船舶，让它突然停止时，在船舶周围所形成的小波浪中，一个紊乱的扰动现象吸引了我的注意。在船身长度的中部附近，许多水聚集在一起，形成一个廓线很清楚的水堆，最后还出现一尖峰，并以相当高的速度开始向前运动， 到船头后，继续保持它的形状不变，在静止流体的表面上，完全孤立地向前运动，成为一孤立行进波，直到河道的转弯处才开始消失掉。” “我立刻离开了船舶停留的地方，准备用步行去跟上它，但发现它运动得很快，我即刻骑上马，在几分钟之内赶上了它，并发现它

41、以一均匀速度沿静止流体表面作孤独的运动。跟随它一英里多以后，我发现它开始逐渐衰减，并在运河的转角处最后消失。”,孤立波现象,孤立波的理论工作1895年由数学家D.J.科尔特弗（Korteweg ,D.J.）和他的学生G.德.弗里斯（Vires ,G.de）所解决。他们在小振幅与长波的假定下，从流体动力学导出了关于孤立波的方程（后人称它为KdV方程）。 其中w是波行进速度，与波的振幅有关，可写为w=a+bu。h为常数。通过变换可得方程标准形式：,孤立波的KdV方程,其中三次微分项是色散项，代表不同波长的波有着不同的速度，使波在传播过程中分散。方程里通过变换消去的常系数一次微分项代表波的行进。方程

42、里没有出现二次微分项，是因为二次微分是扩散项，代表波被阻尼耗散。非线性项代表不同波幅的波有不同的速度，使波在传播过程中变陡。 色散项使波分散的趋势，与非线性项使波变陡的趋势相互抵消，是孤立波能保持形状不变。,孤立波KdV方程各项意义,求方程的行波解： 其中积分常数取为0，是因为无穷远处波幅趋于0。这时，方程与一个在等效势阱中的运动质点具有同样形式。有效势如图：,孤立波KdV方程的行波解,u3系数 0 时，求方程的行波解：,孤立波KdV方程的行波解,孤立波具有速度不变、振幅不变的特点，同时，两个孤立波能够互不影响地相互穿越。有近似的双孤立波解存在：,孤立波的相互穿越,惯量张量是对称的矩阵。 在本体坐标系中计算惯量张量，其分量保持不变。 惯量张量给出了刚体的力学性质，用于计算角动量和动能十分便利。 惯量张量对角项总为正（0），称为相应的轴的转动惯量，非对角项称为惯量积，对于对称情况，惯量积为0。 由于动能的非负性质，惯量张量也是非负的二次型矩阵。特别地，当惯量张量只有对角项不为0时，3个对角项都必须是非负的。,惯量张量的一些性质,第26次课,作业：4.2，4.6,