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1、第七章 线性离散系统的分析与校正,7.1 离散系统的基本概念 目前, 随着计算机性能和可靠性的不断提高, 计算机越来越 多地参与系统的控制. 而计算机所能接收和输出的信号只能是数 字信号, 数字信号是关于时间t的离散信号. 简单来说这种系统叫 采样离散控制系统, 其一般结构可由下图简单表示:,图中, S是采样开关, 它以周期T开闭一次. 当连续信号e(t)经过,采样开关S后, 得到一时间t的离散信号,. 上图中的其它信号,都是时间t的连续信号. 于是定义:在系统中只要有一处的信号是 时间t的离散信号, 即为时间t的断续函数时, 此系统就叫采样离 散系统, 简称离散系统. 由于离散系统比连续系统
2、多了采样开关, 在系统中出现了离 散信号等特点, 给对系统的研究带来一些新问题. 下面先从研究,离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手, 逐一介绍离散,系统的一些基本概念, 所采用的数学工具及分析和设计离散系统 的思路与方法. 7.2 信号的采样与保持 7.2.1采样过程和离散信号的数学表达式 假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开, 即闭合的时间等于零 且闭合时的接通电阻为零, 打开时的断开电阻无穷大, 则称其为 理想采样开关. 如果采样周期为T的理想采样开关S的输入为单,位阶跃信号, 则其输出为一单位脉冲序列, 见下图:,上图中,如理想采样开关的输入为任一连续信号e(t), 且当t0时, e(
3、t)=0,则理想采样开关的输出如下图所示:,上图中,叫调幅脉冲序列, 其拉氏变换式为:,对离散信号也可进行频谱分析, 由付立叶级数的定义, 周期性的,单位脉冲序列可展开成下面级数:,式(3)中:,叫采样角频率,叫采样频率. 将式,(3)代入式(1)得:,对式(4)进行拉氏变换:,令式(5)中的,得,的频谱表达式:,式(2)和式(5)是,的两种不同形式的拉氏变换表达式,式(2)中的,与,中的,建立了联系, 而式(5)变成式(6),后,式(6)中的,是,的频谱, 并可证明,是,的,周期函数. 前已交代过,采样前的连续信号,的拉氏变换式为,其频谱表达式为,因此式(6)中的,与采样前的连续信,号的频谱
4、建立了联系. 由于,是,的周期函数, 所以离散信,号频谱中每隔,重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号,经过采样后的离散信号多出了许多高频分量, 且离散信号频谱的 幅值是采样前的连续信号频谱幅值的1/T. 因此式(2)和式(6)各有 各的使用场合. 式(2)和式(5)虽都是无穷级数, 但通常可将式(2) 写成闭合形式, 而却不能将式(5)写成闭合形式, 下面举例说明,例: 设, 求,的拉氏变换式.,解: 先用式(2)求.,再用式(5)求.,由上例可见,的拉氏变换式为, 只有一个s=0的极点,而,的拉氏变换式为, 有无穷多个极点, 这给分析离散系统带,来很多不便, 为此需给离散信号另一种变换
5、工具, 这就是以后要 专门介绍Z变换的原因. 一个离散系统往往有多个采样开关, 各个采样开关最简单的 动作方式叫同步等周期采样方式, 这种方式在工程上用的较普遍 对系统的分析也较方便. 以后讨论问题时, 均以同步等周期采样 作为各个开关的动作方式,7.2.2 信号的复现和采样定理及保持器,实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外, 常需将 离散信号转换成采样前的连续信号, 如计算机控制系统中的D/A 转换器就起这一作用. 问题是, 经采样的离散信号能否复原成 采样前的连续信号? 如能, 应具备什么条件, 用何装置实现? 本小节就讨论这些问题.,由下图,可见, 连续信号经采样所得到的离散信号是
6、唯一的,但离散信号所对应的连续信号却并不唯 一, 而有无穷多个, 请见左图.,图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连 连续信号, 而经采样所得到的离散信号 是相同的, 即一个离散信号可对应无穷,多个连续信号. 如果采样周期足够小, 即采样点足够密, 则离散 信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号, 问题是采样周期 应小到什么程度?,香农采样定理: 要由离散信号完全复现出采样前的连续信,号, 必须满足: 采样角频率,大于或等于两倍的采样器输入连,续信号频谱中的最高频率, 即:,对香农采样定理举例说明, 设有叫钟形波的连续信号, 其 时域和幅频表达式为:,其幅频曲线如下图:,由式(6), 离散的钟形
7、波其幅频曲线如下图:,若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器,其幅频特性表为:, 幅频曲线如上图,钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉, 仅剩下主频分量.主频 分量的波形与连续钟形波的波形一样, 仅幅值为后者的1/T.因此 可完全复现连续信号. 如采样角频率不满足采样定理, 采样后钟,形波离散幅频谱见上图绿色波形,则可将,可见, 由于幅频谱各分量互相,搭接, 既使采用理想带通滤波器, 也无法复现原连续信号.,上述具有锐截止频率的带通滤波器是无法实现的, 实践中常采用,零阶保持器串接在离散信号后, 对离散信号进行低通滤波以近似,复现连续信号, 如右图所示:,离散信号如下图:,零阶保持
8、器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下一 个采样时刻止, 从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的,脉动序列, 如上图.,再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线,连接成上图中绿色虚线,此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚,线表示的原连续信号, 且采样周期越小, 复现精度越高.,图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间,上滞后了T/2. 经上分析, 可得零阶保持器的传递函数为:,其频率特性表达式为,其频率特性曲线请见书上P.285图7-18, 可见零阶保持器是一相位 滞后的低通滤波器, 高频分量尚不能完全滤尽, 因此它只能近似 地复原连续信号. D/A转换器就具有零阶保持
9、器的作用, 步近电 机也具有零阶保持器的作用. 零阶保持器还可用阻容网络实现.,7.3 Z变换理论,7.3.1 Z变换定义和求法 由离散信号的拉氏变换式,可见,其含有,的超越函数, 这给对离散系统的分析和计算带来很大困难, 而应,用Z变换可解决这一难题. 为此在上式中, 令, 则定义,为,的Z变换, 并以,下面举例说明求一些简单离散函数的Z变换. 1. 幂级数法 例1: 求单位阶越函数的Z变换.,表示.有时为书写方便, 也将,写成,解:,由,的Z变换, 其中,是常量.,例2: 求,解:,与,比较可知,表示相对时刻0滞后i个采样周期,或称滞后i拍, 而,前的系数表示第i个采样时刻的采样值. 这一
10、,结论具有普遍性.,2. 部分分式法 若e(t)由其拉氏变换式E(s)给出, 且E(s)是s的有理函数并其分 母多项式便于分解因式时, 可将E(s)展开成部分分式, 即:,式中,是E(s)各不相同的单极点,是,的留数, 而,所对应的时间函数为,由例2, 上式的Z变换式是:, 因此, 相应于E(s)的像原,函数e(t)的Z变换为,例3: 求,的Z变换式.,解:,3. 留数法 若e(t)由其拉氏变换式E(s)给出, 且E(s)是s的有理函数并其所 有极点能较方便地求出, 则还可根据拉氏变换中的s域卷积定理 和复变函数中的留数定理求其Z变换. 设,式(2)中:,表示,阶重极点, 且,表示,的阶数.,
11、为在极点,上的留数, 当,为单极点时,留数为,当,为,阶重极点时, 留数为,需注意的是,阶重极点只对应一个留数.,例: 求,和,的Z变换.,解:,常用时间函数,的拉氏变换和Z变换见书上P.289表7-2,7.3.2 Z变换性质,1. 线性定理,例:,求它的Z变换表达式.,解:,2.实域位移定理,滞后定理,证明: 令,按定义有:,即:,当,时,有, 则上式为:,超前定理:,证明: 令,按定义有:,当,时, 若,则有,例:,求它的Z变换.,解:,例:,求它的Z变换.,解:,3.复域位移定理,设,则,证明:,令,例:,求它的Z变换.,解:,4. 初值定理:,5. 终值定理: 若,证明:,例: 求,的
12、原函数的初值.,解:,例: 求,的原函数的初值.,解:,均为有限值,则,终值定理的使用条件为:,的所有极点都在Z平面上的,单位圆内, 也即当,时,是收敛的.,证明: 按定义有,由超前定理:,由式(2)减式(1)得:,例:已知,求,解:,6. 复域微分定理:,证明:,例:求函数,的z变换式.,解:设,则,所以,7. 差分定理:,前向差分,后向差分,8. 叠分定理,证明:,9.卷积定理,设,和,为两个离散函数, 其离散卷积,定义为:,则有,证明:,令,则当,时,代入式(1)得:,7.3.3 Z反变换,由E(z)求出e(nT)或e*(t)叫Z反变换, 一般记为:,需特别强调的是, 由E(z)经Z反变
13、换求出的是e(nT)或e*(t),而不 是e(t) . 1. 幂级数法 当E(z)是有理真分式或是有理严格真分式时, 可采用长除法 将E(z)展开成z的幂级数, 进而求得e(nT)或e*(t).,例: 求,的原函数e*(t).,解:,采用幂级数法, 对于稍复杂的E(z)很难写出e*(t)的通项式e(nT), 所以也难写出e*(t)的闭合形式,2.部分分式法,当E(z)是有理真分式或是有理严格真分式, 且其分母多项式 便于分解成z的一次因式时,可用部分分式法把E(z)变成分式和的 形式, 再由z变换表求出e(nT)或e*(t). 由于z变换式中的分子一 般均含有z因子, 因此在对E(z)进行部分
14、分式前, 先将E(z)/z, 再 对E(z)/z进行部分分式, 然后对E(z)/z部分分式和中的各项再乘 以z,最后得E(z)的分式和. 如E(z)/z含有r个相同的极点, (k-r)个各不相同的极点, 则 E(z)/z的部分分式和为如下形式:,式(1)中:,是E(z)/z的单极点,是相应于,的待定系数,且,是E(z)/z的r重极点, r重极点有,r个待定系数, 且,从而,例: 求,的原函数.,解:,3. 留数法 当E(z)是有理真分式或是有理严格真分式, 且其分母多项式便于 分解成z的一次因式时,可用留数法直接求出e(nT)或e*(t). 如, (k-r)个各不相同的极点,含有r个相同的极点
15、, 则,需特别指出的是, r个相同的极点只对应一个留数.,例: 求,的原函数.,解:,课外习题: P.346第7-2题(4)(5), 第7-3题 用部分分式法 和留数法 , 第7-4题, 第7-5题,7.4 离散系统的数学模型,1. 脉冲传递函数(Z传递函数)的推导及定义 对于线性连续定常系统, 可用传递函数作为数学模型来描述 系统的性能. 把这一方法推广到线性离散定常系统, 则可用Z传 递函数作为数学模型来描述系统的性能. 但由于离散系统中有 采样开关, 以及出现离散信号, 所以两者又有不同之处. 设一线性连续定常系统如下图所示:,当,时, 其曲线如上右图所示.,当,时,当,时,若如下图所示
16、,为任意连续信号,其经过采样周期为T的,理想采样开关后,变成一串脉冲序列,即, 当,作用于传递函数为,的连续系统,输出,见上右图,当输入, 则, 现假设输出端有一与输入端相同的,采样开关,对输出连续信号,采样,则输出离散信号为,当时刻,时,对式(2)进行Z变换:,将式(1)代入式(3):,令, 当,时, 则有,因当,时, 所以,定义:线性定常离散控制系统, 在零初始条件下, 输出离散信 号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比, 称为该系统的脉 冲传递函数, 或叫Z传递函数, 即:,G(z)的一般表达式为:,2. 求法 常用求法有三种, (1)由定义求G(z); (2)由G(s)求G(z),对于连
17、续系统可得右图:, 如,则, 从而, 因为, 所以:,当输入信号为任意脉冲序列时, 也可由上式求出G(z). 但需,特别指出的是,仅由离散系统本身的结构,和参数决定, 而与输入信号的形式和大小无关. 有了Z传递,函数, 离散系统可用下面框图表示:,例: 某环节(或系统)的S域传递函数为:,解:,求其Z传递函数.,3.由离散系统结构图求脉冲传递函数,A. 开环系统的脉冲传递函数 开环系统的脉冲传递函数可分下面二种情况进行介绍. a.开环系统中各串接环节之间均有采样开关, 如下图所示:,则上图的脉冲传递函数为:,b.开环系统中串接环节之间无采样开关, 如下图所示:,则上图的脉冲传递函数为:,需指出
18、的是,例1: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数,解:,例2: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数,解:,例3: 求下图所示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数,解: 令,则:,由Z变换的滞后定理可得:,B. 闭环系统的脉冲传递函数,由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性, 因此 闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂. 下图是一种 常见的离散闭环系统的结构图形式:,由上图经推导可得:,叫闭环系统的误差脉冲传递函数. 实际系统的输出一般是连,续信号, 故如上图所示, 在输出端虚设一采样开关, 才可得到闭 环系统输出对输入的脉冲传递函数.,因为, 所以,上式中,叫闭环系统的特征多项式,叫闭环
19、系统,的开环Z传递函数. 在有些情况下, 无法得到闭环系统的Z传递 函数, 而只能得到闭环系统输出的Z变换表达式, 见下图:,例: 求下图所示系统的Z传递函数, 采样周期T=0.07s.,解:,课外习题: P.347第7-9题, 第7-10题 (a),第7-11题,7.5 离散系统的稳定性与稳态误差,1. 离散控制系统的稳定性 1) 稳定条件 在线性连续系统理论中已知, 其稳定的充要条件是系统的 所有极点均在S平面的左半平面上. S平面的虚轴是稳定区域的 边界. 在线性离散系统中, 如用拉氏变换, 则变换式中含有,项, 从而系统的特征方程为超越方程, 其极点不好求. 但,经过Z变换后, 离散系
20、统的特征方程D(z)为Z平面上的代数方程 但在Z平面上, 离散系统的稳定条件又如何表述? 设离散系统的特征方程为D(z), 令D(z)=0, 设其极点为, 则系统稳定的充要条件是, 在Z平面上,均在以原点为圆心, 半徑为1的单位圆内, 即,当, 即只要有一个极点在单位圆周上,则系统是临界稳定的.,当, 即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定的.,上述结论的正确性可说明如下:,设在S平面上,有,经Z变换后, 它在Z平,面上的映像为:,由上式可得: 当,时, s在S平面的左半平面上, 而,z在Z平面上的单位圆内. 当,时,s在S平面的虚轴上,而,z在Z平面上的单位圆周上. 当,时, s在S平面
21、的右半平面上,而, z在Z平面上的单位圆外.,2) 劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用 劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数, 判别代数方程的 根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上, 而无法 判别代数方程的根的模是大于1还是小于1, 或是等于1.,为此需把Z平面再进行一次变换, 令:,或令:,将上述变换叫作双线性变换, 也叫Z-W变换, 即把Z平面变换 到W平面. Z和W均为复变量, 可表为:,即:,将式(2)代入式(1), 有:,由上式可见, W平面上的虚轴对应于上式中的,而,在Z平面上正好是单位圆的圆周. 由于,所以当,时, 即u0, w在W平面的左,半平面上, 而,在Z平面上即为
22、单位圆的内部. 当,时,即u0,w在W平面的右半平面上,而,在Z平面上即为单位圆的外部.,有上述ZW变换, 可将Z平面上的特征方程D(z)变换为W平面,上的特征方程D(w), 即:,从而在W平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统的稳定性 例: 设闭环离散控制系统的特征方程为:,试判断此系统的稳定性.,解: 令,代入D(z)得:,列出劳斯表为:,因为劳斯表有两次符号改变, 所以D(w)有 两个根在W平面的右半平面上, 即D(z)有 两个根在Z平面的单位圆的外部, 故此系统 不稳定.,课外习题:P.348第7.15题(1)(2)(不用朱利判据), 第7.16题(2),2. 离散控制系统稳态误差的计
23、算 非单位反馈离散控制系统的典型结构图如下图所示:,上图中,叫离散偏差信号, 其Z变换表达式为:,若令, 则上式为:,其中,叫开环Z传递函数. 当,时, 上图为单位,反馈离散控制系统,叫离散误差信号.,定义离散稳态误差(或偏差)信号为:,需强调指出的是, 上面定义的是离散误差(或偏差)信号在采样 时刻的稳态值. 计算离散稳态误差(或偏差)值的方法有下面三 种:,(1)求出,或,表达式后, 由定义求,(2)当闭环稳定时, 利用Z变换的终值定理求, 即,(3)当系统的输入信号分别为,或为这三种信号,的组合时, 用稳态误差系数法求, 为此, 将离散闭环系统按其,开环Z传递函数中含有0,1,2,个z=
24、1的极点个数而分为0型, 1型, 2型, 系统.,下面介绍在典型输入信号作用下, 用稳态误差系数法计算稳态,误差值的具体方法. (1) 阶跃(位置)输入时,令,为位置误差系数，则,，从而对于,0型系统,为有限值。,1型系统,， 2型系统,(2) 斜坡(速度)输入时,为速度误差系数，则,，从而,对于0型系统, 1型系统,为有限值。,2型系统,令,抛物线(加速度)输入时,为加速度误差系数，则,，从而,对于0型系统, 1型系统,为有限值。高于2型系统的,2型系统,由上面推导结果可见,离散系统的稳态误差值不仅与输入信号的 型式和大小有关, 与系统的结构和参数有关, 还与采样周期T的 大小有关.,例:
25、试求下图所示系统在输入信号r(t)分别为,时的稳态误差值,. 采样周期T=0.1s,解: 1) 开环S传递函数,开环Z传递函数,可证得闭环稳定, 因开环Z传递函数有一个z=1的极点, 故 系统为1型系统. 从而稳态误差系数分别为:,当,时,当,时,当,时,课外习题:P.349第7.17题 ,第7.18题,第7.19题,7.6 离散系统的动态性能分析,当离散控制系统的输入为单位阶跃函数时, 其输出的离散 函数的一般表达式可由下面方法求得:,输出的Z变换表达式,上式中,为离散控制系统的Z闭环传递函数.,为分析方便起见, 假设,无重极点, 则,上式中,为,的极点, 而,所以,上式中,由输入阶跃信号Z
26、变换表达式的极点所产生,叫,输出的稳态响应,由离散控制系统的Z传递函数的极,点所产生,叫输出的瞬态响应. 研究不同极点分布时的瞬态响 应, 就可定性地说明系统的动态性能.,对于系统的任一极点, 均可表为极坐标形式, 即,从而对应于,的瞬态响应分量为:,则(1)正实数极点时,对应的瞬态响应分量为,是单,调的.,为衰减序列;,为等幅序列;,为,发散序列.,(2)负实数极点时,对应的瞬态响应分量为,是振荡的,此时振荡频率可达最高,可证明为,当,为衰减振荡序列;,为等幅振荡序列;,为发散,振荡序列.,(3)复数极点时必为共轭,瞬态响应分量为,上式中待定系数,和,也共轭, 因而瞬态响应分量为:,由上式可
27、见, 复数极点所引起的瞬态响应分量是振荡的. 当,时, 振荡的衰减速率取决于,的大小,时,瞬态响应分量是等幅振荡的. 当,越小,衰减越快,当,时,瞬态响应,分量是发散振荡的. 且可证明振荡频率,习题参考答案,7-2/(4)解:,7-2/(5)解:,7-3/(1)解:,7-3/(2)解:,7-4/(1)解:,7-4/(2)解:,7-5/(1)解:,7-5/(2)解:,7-9/(a) 解:,7-9/(b) 解:,7-10/(a) 解:,7-11 解:,7-15/(1) 解:,所以闭环离散系统不稳定.,7-15/(2) 解:,劳斯行列表为:,因出现全零, 所以闭环离散系统不稳定.,7-16/(2) 解:,则系统稳定.,7-17 解:,7-18 解:,7-19 解:,系统稳定,故无法使稳态误差小于0.1,