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1、第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性,一、连续函数的四则运算 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性,一、连续函数的四则运算,定理1,例如,结论,三角函数在其定义域内皆连续.,二、反函数与复合函数的连续性,1.反函数的连续性,连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,定理2,(或递减),(或递减),即,(递减),(递减),证明,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,同理,结论,定理3,2.复合函数的连续性,定理的意义：,(2) 连续函数极限符号可以与函数符号互换.,证明,f 连续,f 连续,例1,解:,特别地,连续,例2,解:,同理可得,例3,解:,定理4,即 连续函数的复合
2、函数是连续的.,证明,由定理3，可得,f 连续,g连续,例如,三、初等函数的连续性,(1) 三角函数在它们的定义域内是连续的.,已有结果：,(2) 反三角函数在它们的定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续 ),基本初等函数在定义区间内连续.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,(端点为单侧连续),说明,(1) 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内,不一定连续，,例如,(孤立点),在0点的邻域内没有定义.,因此它无连续点.,注意定义区间与定义域的区别;,(2) 初等函数求极限的方法代入法.,例4,解:,例5,解:,-求极限的又一种方法.,分子有理化,例6,解:,等价无穷小代换,说明,说明,如例6,大于0常数,常数,注意使用条件,练习,解:,解:,小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,作业：,P69-70 习题1-9 1. 3.(4)(5)(7) 4.(1)(3)(4)(5)(6) 6.,反例,反之是否成立?,提示:,“反之” 不成立 .,思考与练习,狄利克雷函数,证明,返回,2.复合函数的连续性,定理3,证明,返回,