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1、第九章 行列式与矩阵,本章主要内容 9.1 二阶、三阶行列式 9.2 三阶行列式的性质 9.3 高阶行列式 克莱姆(Gramer)法则 9.4 矩阵的概念及其运算 9.5 逆矩阵 9.6 分块矩阵 9.7 矩阵的初等变换,学习目标,1、掌握二阶、三阶行列式的计算 2、理解n阶行列式的定义和性质 3、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法 4、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 5、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 6、了解几种特殊的矩阵及其性质 7、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 8、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和
2、逆矩阵的关系；当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵,9.1 二阶、三阶行列式,2. 三阶行列式,1. 二阶行列式,时,方程组()有唯一解,1. 二阶行列式,（）,二阶行列式,:行列式的元素.,线性方程()的解可以表示为:,二阶行列式的展开式,如果记:,则线性方程()的解可以简单的表示为:,行列式D是方程组()的系数行列式.,例1 用行列式解二元一次方程组:,解,(),2. 三阶行列式,三阶行列式,三阶行列式的展开式,于是方程组的解可以简单表示为:,例2 计算下列行列式:,解,三角行列式,例3 用行列式解三元线性方程组:,解,9.2 三阶行列式的性质,把行列式,的行和列依次互换,得到行列式,D的转置行
3、列式,性质 1 行列式和它的转置行列式相等,即,例如,性质2 交换行列式的任意两行(列),行列式仅改变符号.,推论 如果行列式有两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零,性质3 把行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数,等于以数乘以此行列式,推论1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论2 如果行列式某行（列）的元素全为零，则此行列式的值等于零,推论3 如果行列式某两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值等于零.,性质4 如果行列式的某一行（列）的各元素都是二项的和，则这个行列式等于两个行列式的和.,性质 5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以常数k,加
4、到另一行上,行列式的值不变.,(性质4、推论3),例1 计算行列式,解,(性质4的推论3 ),例2 计算行列式：,解,注意,:互换第i、j两行,:互换第i、j两列,:将行列式的第行i（i列）乘以数k,:将行列式的第j行(j列)乘以k加到第i行(i列),余子式,代数余子式,性质 6 行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应的代数余子式的乘积的和.,(行列式的展开性质),例3 用行列式的展开性质计算行列式,解,性质 7 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积的和等于零.,例如,9.3 高阶行列式 克莱姆法则,1. 高阶行列式,2. 克莱姆(Gramer)法则,划去元素
5、 所在的第i行第j列上所有的元素后形成的n-1阶行列式,9.3 高阶行列式 克莱姆法则,1. 高阶行列式,n阶行列式,代数余子式,主对角线上元素,次对角线上元素,阶数n大于3的行列式称为高阶行列式.,三阶行列式的所有性质对于高阶行列式都成立.,例1 计算,解 将行列式按第1行展开,得,例2 计算下列三角行列式(即主对角线上方的所有元素都为零的行列式):,解 按第一行展开,得,对上式中的右边的n-1阶行列式再按第一行展开,得,如此下去做n次,得,2. 克莱姆(Gramer)法则,n元线性方程组,(),系数行列式为,定理,(克莱姆法则) 如果线性方程组（）的系数行列式,则该方程组有且只有惟一解,证
6、,行列式的展开性质,例3 用克莱姆法则解方程组,解,且,注意 克莱姆法则有两个条件：一是方程组的未知数的个数等于方程的个数，二是系数行列式不等于零,当方程组()的常数项 不全为零时,称为非齐次线性方程组.,(),齐次线性方程组,零解,推论2 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式D必为零.,推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式 ,则它只有零解.,例4 k取何值时,齐次线性方程组,有非零解?,解,9.4 矩阵的概念及其运算,1. 矩阵的概念,定义1,mn 矩阵,:矩阵的第i 行j 列的元素.,如果矩阵A的元素全为实数,则称A为实矩阵. 如果全为复数,则称为复矩阵. 如果全为零,则称为零矩
7、阵,记作0.,行矩阵,列矩阵,当 m=n 时, 即矩阵的行数与列数相同时, 称矩阵为方阵.,对角矩阵,数量矩阵,n阶单位矩阵,上三角矩阵,下三角矩阵,如果 都是mn矩阵,并且它们的对应元素都相等,则称矩阵A和矩阵B相等,记作A=B.,例1 已知,且A=B,求a, b, c, d.,解,定义2,两个mn矩阵 对应的元素相加得到mn矩阵,称为矩阵A与矩阵B的和,记作A+B.,2. 矩阵的运算,(1) 矩阵的加法与减法,定义3,例如,求两个矩阵和的运算叫作矩阵的加法.,把mn矩阵 中各元素变号得到的矩阵,称为矩阵B的和负矩阵,记作B.,矩阵的减法,例如,注意 只有当两个矩阵的行数和列数都分别相同时,
8、才能进行加减运算,矩阵运算满足以下运算规律：,（1）交换律 A+B=B+A. （2）结合律 (A+B)+C=A+(B+C). （3）A+0=A. （4）A+ (A) =0,规定: kA=Ak.,以数 k 乘以矩阵 的每一个元素所得的矩阵，称为数k 与矩阵A的乘积，记作kA.,（2）数与矩阵相乘,定义4,矩阵运算满足以下运算规律：,例2 已知,解,（3）矩阵的乘法,定义5,例3 已知,求AB与BA,解,矩阵的乘积不满足交换律.,矩阵的乘法满足以下规律（假设运算是可行的）：,（其中k为常数）,注意 两矩阵的乘法与两数的乘法有很大的差别.,（1）结合律,（2）分配律,在矩阵运算中，如果 且 也不能推
9、出 成立.,解,.,例4 设,一般地有,定义6,设A是n阶方阵，k为正整数，则我们称,为方阵A的k次方幂，简称为A的k次幂,矩阵A的方幂满足以下运算法则：,(k, l为正整数 ),一般来说,.,例5 计算,解,所以，由二项式定理，得,把矩阵A所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为A的转置矩阵.,（4）矩阵的转置,定义7,矩阵的转置满足下列运算法则：,例6 设,解法一,解法二,由n阶方阵A的元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式.,（5）矩阵的行列式,定义8,矩阵A的行列式满足下法则:,解,注意 一般来说,例7 设,9.5 逆矩阵,设A是一个n阶方阵,E是一个n阶单位矩阵.如果存
10、在一个n阶方阵B,使 AB=BA=E,则称B为A的逆矩阵,简称为A的逆阵,或A的逆这时称A为可逆矩阵,简称可逆阵.,1. 逆矩阵的概念,定义1,例如,并非任意一个非零方阵都有逆矩阵.,例如,因此，矩阵A不可逆.,性质1 如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是惟一的,设B，C都是A的逆矩阵，,所以A的逆矩阵是惟一的,B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C,性质2 可逆矩阵A的逆矩阵,证,证,性质3 可逆矩阵A的转置矩阵,证,性质4 两个同阶可逆矩阵A、B的乘积是可逆矩阵，且,证,注意 一般来说，,若n阶矩阵A的行列式 则称A为非奇异矩阵.反之,若 则称A是奇异矩阵.,2. 逆矩阵
11、的求法,定义2,定理1,若方阵A可逆，则A为非奇异矩阵.,证,的行列式 中元素 的代数余子式 所构成的方阵,A的伴随矩阵,定义3,例1 求下列三阶矩阵A的伴随矩阵,解,定理2,推论 设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B,使AB= E(或BA= E),则,证,例2 求例1中矩阵A的逆矩阵.,解,例3 求下列矩阵的逆矩阵：,解,例4 求 的逆矩阵，其中,解,例5 若A是非奇异矩阵，且AB=AC,则B=C.,证,因为A为非奇异矩阵，所以A可逆.,系数矩阵,解,例6 解线性方程组,1分块矩阵的概念,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.,例如,9.6 分块矩阵,2分块矩阵的运算,(1) 分块矩阵的加法和减法.
12、,两个分块矩阵的加法和减法可分别定义为,例1 求下列分块矩阵的和：,解,（2）分块矩阵的数乘.,例如,（3）分块矩阵的乘法.,例2 求例1中两矩阵的乘积矩阵AB.,解,作分块矩阵的乘法时,在划分块时,必须满足下面的要求：,（1）左矩阵分块后的列组数等于右矩阵分块后的行组数. （2）左矩阵每个列组所含列数与右矩阵相应行组所含行数相等.,例3 设A、B为二个分块对角矩阵，即,例4 设A为一个分块对角矩阵,证,例5 求矩阵 的逆矩阵.,解,例6 求分块矩阵,的逆矩阵，其中A、B分别为r阶与k阶可逆方阵，C是 rk 阶矩阵，0是 kr 阶矩阵.,解,例7 设矩阵,解,9.7 矩阵的初等变换,1. 矩阵
13、的初等变换,定义1,下面的三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：,(1) 交换矩阵的两行（列）； (2) 用非零数k乘以矩阵的某行（列）； (3) 把矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）,矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换,例如,如果矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价.,任意一个矩阵 经过若干次初等变换，均可化为下面的标准形式：,定义2,D矩阵,例1 将下列矩阵A化为D矩阵的形式：,解,对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵,2初等矩阵,定义3,（1）交换E的第行（列）与第行（列）得到的初等矩阵.,第2、3行交换，得到的初等矩阵是,
14、例如,第3行乘以k，得到的初等矩阵是,(3) 用数k乘E的第j行( i列)加到第i行( j列)上得到的初等矩阵.,第3行乘以数k加到第2行，得到的初等矩阵是,例如,例2 设,解,行初等变换 :左乘,列初等变换 :右乘,化为D矩阵的形式.,3. 用矩阵的初等变换求逆矩阵,解,例3 用初等变换，将矩阵,用初等行变换求逆阵的方法：,作一个n2n阶矩阵(AB)，然后对此矩阵施以行的初等变换，使A化为E，则同时E就化为 .,例4 用初等行变换求方阵 的逆阵.,解,例5 求下列n阶方阵的逆矩阵：,解,课堂小结,一 内容提要 本章主要内容有矩阵的概念及其运算，逆矩阵的概念及其计算方法， 分块矩阵及其运算，矩阵的初等变换等. 二 基本要求 1理解矩阵的概念及其性质，了解几种常见的特殊矩阵. 2掌握矩阵的加法、减法、数乘矩阵、矩阵的乘法及转置运算. 3熟练掌握可逆矩阵的判别法及求逆矩阵的方法，会用伴随矩阵求二阶、 三阶矩阵的逆矩阵. *4了解分块矩阵及其运算. 5理解初等变换的概念，了解初等矩阵的概念，会用初等变换求矩阵的 逆矩阵 .,