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1、 【课题】 定积分的应用的单元复习 (1) 图中x为积分变量的阴影部分的面积微元为 错处: 窄条的近似高 在积分区间 -2,2内, 故 错处: 中的面积微元 和 缺少对称部分的面积 故 (2) 图中阴影部分的面积为 i)直角坐标系中图形的面积 平面图形面积计算法 ()xf ()xf ()y f ( )yj ii)极坐标下平面图形的面积 【纠错导入复习】 指出下列作业中答案的错误之处,说明为什么,并纠正错误. 、纠正作业错误 (3) 图中阴影部分绕Y轴旋转的体面积为 错处: 的积分限 故 错处: 非平面曲线求弧长公式 故 直角坐标曲线弧长公式 参数式曲线弧长公式 极坐标曲线弧长公式 旋转体体积
2、(4) 图中星形线在第一象限的全长为 3 3 cos sin tax tay = = 2 1 ,2a 、复习要求 以上作业的错误,分析其产生的原因,有的是计算公式运用不当造成的,但更主要 的是未能在理解元素法的基础上就予以运用而产生的.本课将通过解答学习疑难、系 统回顾知识、巩固重要方法、提高运用能力等方面的教学，发挥复习对知识进行深化 、精炼和概括的作用,帮助同学们明确单元中主要知识间的内在联系,能营造出知识结 构；加深对定积分元素法的理解,明确什么条件下的量可以从具体问题表达为定积分, 并掌握把所求量表示为定积分的方法和步骤;学会建立适当的坐标系来讨论和解决 定积分元素法的运用问题,能综合
3、运用相应的知识将实际问题化为数学问题,通过元素 法写出积分形式后进行计算. 为此,提出几点要求: 1、对本章的复习不能仅停畄在对己学的知识温习记忆一遍的要求上,而要去努力思 考新知识是怎样产生的?是如何展开的?其实质是什么?怎样应用它?等. 2、要通过讨论归纳出定积分的应用的知识结构, 把知识有机地串联起来.在理 解教材的基础上，沟通知识间的内在联系，找出重点、关键,然后提炼概括,组成一 个知识系统,从而形成或发展扩大认知结构. 3、在复习过程中要增強元素法运用规律的总结和提高迅速计算的能力. 【营造单元的知识结构】 前面几节课我们已经用定积分的元素法解决了许多问题,现在要问: 怎样理解定积分
4、的元素法？ 几何量、物理量定积分的表示与元素法之间的知识联系是怎样的？ 本单元知识结构图如何构建? 如何正确地用定积分表达和计算一些几何量、物理量呢? 、元素法与定积分几何意义之间知识联系的回顾 定积积分几何 意义义 分析与说明 定积积分的 元素法 、定积分元素法的理解 对定积分元素法的理解: (1)、元素法中的量I是可化为定积分的量,并且是在区间a ,b上变化的量. 注:在I微小的局部上,微区间x ,x+dx中的dx其长度很短，几乎为零. (3)、 运用元素法解决实际问题(如求量I)的关鍵是在I微小的局部上进行数量分析,寻找正确的元素表 达式. 什么是定积分的元素法? (2)、上述所求量I,
5、若在a ,b内的任一小区间 上,用 “以直代曲、以不变代变”找到这个量 I的微分 (即I的元素表达式),则求I的问题可转化为计算定积分 定积分元素法的元素,是在微区间 上用“以直代曲、以不变代变”替换后得到的,这里的 与 相差一个比 高阶的无穷小. 积分号 实际是元素状态下的加法器, 表示从a处的dI加到b处的dI. 设一积分变量x在区间a ,b 上变化，把区间a ,b分成n个小区间，取其中任一小区间 ,求出这小区间上所求量I 能近似地表示为a ,b上的一个连续函数在x处的值f (x) 与 d x 的乘积 ，就把 f (x) d x 称为量的元素,记作d I. 即d If (x )d x .
6、所求量的元素 f (x) d x 在a ,b 上作定积分 得 这种方法通常叫积分元素法. 、具体问题导致定积分的条件 具体问题的量I能用定积分表示,必须具备两个特征: I是一个与其变量x的变化区间x ,x+dx有关的量. I对于区间a ,b具有可加性,即 由具体问题导致定积分的条件可知,除了曲边梯形的面积以外，像一些比较复杂的平面图形 的面积、特殊的体积、平面弧长等几何量和变力所做功、液体侧压力等物理量也具备这种特性 ，所以它们也都能用定积分来表示. 、可归结为定积分计算的量I表示为定积分的方法和步骤 (即用元素法解题的程序) 于是 从而有 具体步骤是： （1）建立坐标系； （2）建立元素 （
7、3）确定上、下限； （4）计算定积分。 ; 在a ,b的任一子区间 上 写出 、几何量、物理量的定积分表示与元素法之间的知识联系 定积分的元素法 几何量、物理量的定 积分表示 用具体问题导致定积分的条件判定 用元素法解题的程序 6、单元知识结构 定积积分几 何意义义 分析与 说明 定积积分的 元素法 几何应用 用具体问 题导致定 积分的条 件判定 表示为定 积分的方 法和步骤 物理应用 ? ? ? 课后自己完成 （1）平面图形面积的计算方法 (ii)极坐标下平面图形的面积 （2）平面曲线弧长的计算公式 极坐标曲线 参数式曲线 直角坐标曲线 ( )xf ( )xf ( )yf( )yj (i)直
8、角坐标系中图形的面积 【元素法的几何应用】 、基本内容的回顾 (3)立体体积的计算方法 (i)平行截面面积为已知的立体体积 (ii) 旋转体体积 a ( ) xA 几何应用平面图图形的面积积 平面曲线线的弧长长 立体体积积 直角坐标标系中图图形面积积的计计算 方法 极坐标标下平面图图形面积积的计计算 方法 直角坐标标曲线线弧长长的计计 算公式 参数式曲线线弧长长的 计计算公式 极坐标标曲线线弧长长的 计计算公式 平行截面面积为积为 已知的 立体体积积的计计算方法 旋转转体体积积的 计计算方法 、计算方法系统表 讨论并构建几何应用 计算方法的系统表 为了计算方便 , 如何选择积分变量和积分区间
9、? 两种解法进行对比,对积分变量和积分区间的选取 有何新发现 ? 为了定出图形所在范围 ，应先求两抛物线的交点 . 分析与提示 : 例 1 : 计算两抛物线 所成的平面图形的面积. 、几何应用举例 例 1 的解答 解法1 由 ,解之得两曲线的交点为 所以 S = 解法2 取x为积分变量 点评: 取为积分变量,积分要分成两项之和,计算较繁. 积分变量选取得当,会使计算简化. 取y为积分变量 , 则面积微元为 则 在 时, 在 时, 【分析与提示】 本题是在极坐标系下给出的曲线,能用极坐标系下的求面积公式进行计算. 对极坐标系下给出的曲线,也可把它化为在直角坐标系下的曲线进行计算. 解法1 对极坐
10、标系下给出的曲线直接用求面积公式进行计算.由 解之得r = 2 , = 则 例 2: 计算由曲线 和直线 所围成的平面图形的面积 . 例 2 解法2 : 若 取y为积分变量,则 【点评】解法2计算简便,若只会根据题中所给出极坐标系下的曲线方方程和极坐标系下求面积的公式进行解答,就会弃简就难. 选取能使计算较简便的坐标系,对曲线方程进行互换, 能使定积分计算简化. 在直角坐标系下,这两曲线就是抛物线 x = 和直线 x = 1 ,其交点为 , . 先化极坐标系下的曲线方程为直角坐标系下的曲线方程,再进行计算. 【元素法的物理应用】 1、引力问题 例 3: 证明: 把质量为m的物体从地球表面升高到
11、h处所做的功是 分析 合理推算的方法也是一种证法.由题意可知本命题属物理的引力问题.从物理学知道, 质量分别为M、m ,相距为r的两质点间的引力的大小为 ,其中 k为引力系数,引 力的方向沿着两质点的连线方向. 证: 因为质量为m的物体与地球中心相距x时,引力为 . 由于引力是变力,而在微区间 上, 微引力近似为 . 故功元素为 , (功 = 力 距离) 距离x的范围为 . 则所做的功为 . 分析与提示:由物理学知道,深入液体的物体的表面所受的压力是随液体深度不同而变化的. 在液体深h处的压強为 ( 为液体的密度).如一平板面积为A,水平地置入液体中深h 处,则平板一侧所受压力为 .如果将平板
12、垂直地插入液体中,由于深度不同处的压強 不相同,平板一侧所受的压力就不可用上述方法计算.但由于整个侧立的平板所受的压力对深 度具有可加性,因此可用定积分计算. 2、液体静压力的问题 例 :三角形薄板铅直地沉没在水中,其底与水面平齐,且薄板的底长为a,高为h. (1) 计算薄板的侧压力. (2) 若倒转薄板顶点于水面,试问水对薄板的侧压力增大 几倍? (3) 若薄板沉入水中一部分,顶点朝下,底平行于水面,且在水面之下的距离 为 ,试求此时的侧压力. 例 4 的解答 解: (1)建坐标系如图(1)所示(设:沿液体表面作y轴,x轴铅直向下的 坐标系) 取液深x为积分变量. 于是整个薄板的侧压力为 P
13、 = (2)倒转薄板取坐标系如图(2)所示. 由于 所以 从而说明水对薄板的侧压力比(1)中的情形增大了一倍 . (3)薄板沉入水中时,取坐标系如图(3)所示 . 于是 P = y x (1) x y (2) 由于 x y (3 ) X的变化区间为 0,h 在0 ,h上任取一小区间 则在其上有 (由三角形的相似性) 微面积为 . 微压力 (压力=压強 面积)为 从本章的知识结构可知, 在定积分的应用中,经常采用的是元素法,并且定积分的应 用中主要是元素法在几何、物理方面的应用.因此,要求正确理解定积分的元素法, 要求 熟练掌握定积分元素法的几何应用和物理应用.从具体问题导致定积分的条件可知,量
14、I能 用定积分表示,必须具备两个特征:I是一个与其变量x变化区间 有关的量; I对于 区间a ,b具有可加性,即 .定积分的元素法,其实质是在微区间 上“以直 代曲、以不变代变”,同时也揭示了定积分就是微分无限求和的这一本质. 例3、例的点评: 【归纳总结】 定积分在物理中的应用还有: 变力沿直线所作的功、重心、转动惯量、质量等问题. 解决这类问题的关键是要把实际问题化为数学问题,即由相应的物理原理通过元素法写出 积分形式.在元素法的具体运用中:首先要求实际问题具有导致定积分的条件;其次要结合 具体实际,选取适当的积分变量和建立能使计算较简便的坐标系; 再就是要寻找正确的元 素表达式,利用其物理意义写出所求量的元素 ,以及变量的变化区间,最后对 元素积分. 定积分的应用中:要结合具体实际,选取适当的积分变量和建立能使计算较简便的坐 标系,写出所求量的元素 ,以及变量的变化区间,再计算元素的定积分.