2018年中考数学真题分类汇编第一期专题30圆的有关性质试题含解析20190125372.doc

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1、1 圆的有关性质圆的有关性质 一、选择题一、选择题 1 （2018山东枣庄3 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP=2，BP=6，APC=30，则 CD 的长为（ ） AB2C2D8 【分析】作 OHCD 于 H，连结 OC，如图，根据垂径定理由 OHCD 得到 HC=HD，再利用 AP=2，BP=6 可计算出半径 OA=4，则 OP=OAAP=2，接着在 RtOPH 中根据含 30 度的直角三 角形的性质计算出 OH=OP=1，然后在 RtOHC 中利用勾股定理计算出 CH=，所以 CD=2CH=2 【解答】解：作 OHCD 于 H，连结 OC，如图， OHCD，

2、 HC=HD， AP=2，BP=6， AB=8， OA=4， OP=OAAP=2， 在 RtOPH 中，OPH=30， POH=60， OH=OP=1， 在 RtOHC 中，OC=4，OH=1， CH=， CD=2CH=2 故选：C 2 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也 考查了勾股定理以及含 30 度的直角三角形的性质 2 （2018四川凉州3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，已知ABO=50，则ACB 的大 小为（ ） A40 B30 C45 D50 【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出AOB 的度数，再利用圆周角 与圆心角的

3、关系求出ACB 的度数 【解答】解：AOB 中，OA=OB，ABO=50， AOB=1802ABO=80， ACB=AOB=40， 故选：A 【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及 三角形内角和定理 3. （2018山东菏泽3 分）如图，在O 中，OCAB，ADC=32，则OBA 的度数是（ ） A64 B58 C32 D26 【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质 【分析】根据垂径定理，可得=，OEB=90，根据圆周角定理，可得3，根据直角三 角形的性质，可得答案 3 【解答】解：如图， 由 OCAB，得 =，OEB=90 2=3 2

4、=21=232=64 3=64， 在 RtOBE 中，OEB=90， B=903=9064=26， 故选：D 【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，OEB=90是解题关键，又利 用了圆周角定理 4. （2018江苏盐城3 分）如图， 为 的直径， 是 的弦， ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7.【答案】C 【考点】圆周角定理 【解析】 【解答】解： ，ADC 与B 所对的弧相同，B=ADC=35， AB 是O 的直径， ACB=90， CAB=90-B=55， 故答案为：C 【分析】由同弧所对的圆周角相等可知B=ADC=35；而由圆周角的推论不难得知 ACB=90，则

5、由CAB=90-B 即可求得。 4 5 （20182018湖北省宜昌湖北省宜昌3 分）如图，直线 AB 是O 的切线，C 为切点，ODAB 交O 于点 D，点 E 在O 上，连接 OC，EC，ED，则CED 的度数为（ ） A30 B35 C40 D45 【分析】由切线的性质知OCB=90，再根据平行线的性质得COD=90，最后由圆周角定 理可得答案 【解答】解：直线 AB 是O 的切线，C 为切点， OCB=90， ODAB， COD=90， CED=COD=45， 故选：D 【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆 周角定理 6 （20182018湖

6、北省武汉湖北省武汉3 分）如图，在O 中，点 C 在优弧上，将弧沿 BC 折叠后刚好 经过 AB 的中点 D若O 的半径为，AB=4，则 BC 的长是（ ） A B C D 【分析】连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图，利用垂径定理得到 ODAB，则 AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出 OD=1，再利用折叠的性质可判断弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以 AC=DC，利用等腰三角形的 性质得 AE=DE=1，接着证明四边形 ODEF 为正方形得到 OF=EF=1，然后计算出 CF 后得到 CE=BE=3，于是

7、得到 BC=3 5 【解答】解：连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图， D 为 AB 的中点， ODAB， AD=BD=AB=2， 在 RtOBD 中，OD=1， 将弧沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D 弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆， =， AC=DC， AE=DE=1， 易得四边形 ODEF 为正方形， OF=EF=1， 在 RtOCF 中，CF=2， CE=CF+EF=2+1=3， 而 BE=BD+DE=2+1=3， BC=3 故选：B 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连 过切点的半径，

8、构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和垂径定理 7.（2018山东青岛3 分）如图，点 A、B、C、D 在O 上，AOC=140，点 B 是的中 点，则D 的度数是（ ） A70 B55 C35.5D35 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOB=AOC，再根据圆周角定理解答 6 【解答】解：连接 OB， 点 B 是的中点， AOB=AOC=70， 由圆周角定理得，D=AOB=35， 故选：D 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键 8.（2018山东威海3 分）如图，O

9、 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为的中点，若 ABC=30，则弦 AB 的长为（ ） AB5CD5 【分析】连接 OC、OA，利用圆周角定理得出AOC=60，再利用垂径定理得出 AB 即可 【解答】解：连接 OC、OA， ABC=30， AOC=60， AB 为弦，点 C 为的中点， OCAB， 在 RtOAE 中，AE=， AB=， 7 故选：D 【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出AOC=60 9. （2018甘肃白银，定西，武威3 分） 如图，过点，点 是 轴下方上的一点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】连接CD，根据圆周角

10、定理可知OBD=OCD,根据锐角三角形函数即可求出 OCD的度数. 【解答】连接CD， OBD与OCD是同弧所对的圆周角， OBD=OCD. 故选 B. 【点评】考查圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相 等是解题的关键. 10. （2018四川自贡4 分）如图，若ABC 内接于半径为 R 的O，且A=60，连接 OB、OC，则边 BC 的长为（ ） 8 ABCD 【分析】延长 BO 交圆于 D，连接 CD，则BCD=90，D=A=60；又 BD=2R，根据锐角三 角函数的定义得 BC=R 【解答】解：延长 BO 交O 于 D，连接 CD， 则BCD=90，D=A

11、=60， CBD=30， BD=2R， DC=R， BC=R， 故选：D 【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形 30角的性质、勾股定理，注意：作直径 构造直角三角形是解决本题的关键 11 （2018台湾分）如图，坐标平面上，A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交点，有一 直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直，C 点为 L 与 y 轴的交点若 A、B、C 的坐标分别为（a，0） ， （0，4） ， （0，5） ，其中 a0，则 a 的值为何？（ ） 9 A2B2C8D7 【分析】连接 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA，得到答 案 【解答】

12、解：连接 AC， 由题意得，BC=OB+OC=9， 直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直， 直线 L 是线段 AB 的垂直平分线， AC=BC=9， 在 RtAOC 中，AO=2， a0， a=2， 故选：A 【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是 解题的关键 12 （2018浙江临安3 分）如图，O 的半径 OA=6，以 A 为圆心，OA 为半径的弧交O 于 B、C 点，则 BC=（ ） ABCD 【考点】垂径定理和勾股定理 【分析】根据垂径定理先求 BC 一半的长，再求 BC 的长 【解答】解：设 OA 与 BC 相交于 D 点 AB=OA=OB

13、=6 OAB 是等边三角形 又根据垂径定理可得，OA 平分 BC， 10 利用勾股定理可得 BD=3 所以 BC=6 故选：A 【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理 13.（2018浙江衢州3 分）如图，点 A，B，C 在O 上，ACB=35，则AOB 的度数是 （ ） A75 B70 C65 D35 【考点】圆周角定理 【分析】直接根据圆周角定理求解 【解答】解：ACB=35，AOB=2ACB=70 故选 B 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半 14 （2018浙江衢州3 分）如图，AC 是O 的直径，弦 BDAO

14、 于 E，连接 BC，过点 O 作 OFBC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF 的长度是（ ） A3cm B cm C2.5cm D cm 【考点】垂径定理 【分析】根据垂径定理得出 OE 的长，进而利用勾股定理得出 BC 的长，再利用相似三角形的 判定和性质解答即可 11 【解答】解：连接 OB， AC 是O 的直径，弦 BDAO 于 E，BD=8cm，AE=2cm在 RtOEB 中，OE2+BE2=OB2，即 OE2+42=（OE+2）2 解得：OE=3，OB=3+2=5，EC=5+3=8在 RtEBC 中，BC= OFBC，OFC=CEB=90 C=C，OFCBEC，即，

15、解得：OF= 故选 D 【点评】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出 OE 的长 15. （2018广东深圳3 分）如图，一把直尺， 的直角三角板和光盘如图摆放， 为 角与直尺交点， ,则光盘的直径是( ) A.3 B. C. D. 【答案】D 【考点】切线的性质，锐角三角函数的定义，切线长定理 【解析】 【解答】解：设光盘切直角三角形斜边于点 C，连接 OC、OB、OA（如图）, 12 DAC=60, BAC=120. 又AB、AC 为圆 O 的切线， AC=AB，BAO=CAO=60, 在 RtAOB 中， AB=3, tanBAO= , OB=ABtan60=3 ， 光盘的直径为

16、6 . 故答案为：D. 【分析】设光盘切直角三角形斜边于点 C，连接 OC、OB、OA（如图）,根据邻补角定义得 BAC=120，又由切线长定理 AC=AB，BAO=CAO=60；在 RtAOB 中，根据正切定义得 tanBAO= ,代入数值即可得半径 OB 长，由直径是半径的 2 倍即可得出答案. 16. （2018广东广州3 分）如图，AB 是圆 O 的弦，OCAB，交圆 O 于点 C，连接 OA，OB，BC，若ABC=20，则AOB 的度数是（ ） A.40 B.50 C.70 D.80 【答案】D 【考点】垂径定理，圆周角定理 【解析】 【解答】解：ABC=20, AOC=40, 又O

17、CAB， OC 平分AOB， AOB=2AOC=80. 13 故答案为：D. 【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍得AOC 度数，再由垂径定理得 OC 平分 AOB，由角平分线定义得AOB=2AOC. 17（2018 年四川省南充市）如图，BC 是O 的直径，A 是O 上的一点，OAC=32，则 B 的度数是（ ） A58 B60 C64 D68 【考点】M5：圆周角定理 【分析】根据半径相等，得出 OC=OA，进而得出C=32，利用直径和圆周角定理解答即 可 【解答】解：OA=OC， C=OAC=32， BC 是直径， B=9032=58， 故选：A 【点评】此题考查了圆周角的性质与

18、等腰三角形的性质此题比较简单，解题的关键是注意 数形结合思想的应用 二二. .填空题填空题 14 1. （2018广东3 分）同圆中，已知弧 AB 所对的圆心角是 100，则弧 AB 所对的圆周角 是 50 【分析】直接利用圆周角定理求解 【解答】解：弧 AB 所对的圆心角是 100，则弧 AB 所对的圆周角为 50 故答案为 50 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半 2. （2018广东3 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相 切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积

19、为 （结果保留 ） 【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，先 利用扇形面积公式，利用 S正方形 OECDS扇形 EOD计算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然 后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积 【解答】解：连接 OE，如图， 以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E， OD=2，OEBC， 易得四边形 OECD 为正方形， 由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积=S正方形 OECDS扇形 EOD=22=4， 阴影部分的面积=24（4）= 故答案为 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂

20、直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连 过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了矩形的性质和扇形的面积公式 15 3.（2018湖北黄冈3 分）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，CAB=60，弦 AD 平 分CAB，若 AD=6，则 AC=_. （第 11 题图） 【考点】圆，角平分线，30角所对的直角边等于的一半，勾股定理. 【分析】连结 BD，根据 30角所对的直角边等于的一半，易得出 BD=AC= 2 1 AB；再通过勾股 定理可求得 AB 的长，从而得出 AC 的长。 【解答】解：连结 BD， AB 为O 的直径，CAB=60，弦 AD 平分CAB， ABC=DAB=3

21、0 在 RtABC 和 RtABD 中，BD=AC= 2 1 AB 在 RtABD 中，AB2=BD2+AD2，即 AB2=（ 2 1 AB）2+62， AB=43， 16 AC=23. 故答案为：23. 【点评】本题考查了圆，角平分线，30角所对的直角边等于的一半，勾股定理. 熟练掌握 定理是解题的关键。 4 （2018新疆生产建设兵团5 分）如图，ABC 是O 的内接正三角形，O 的半径为 2，则图中阴影部的面积是 【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公 式计算即可 【解答】解：ABC 是等边三角形， C=60， 根据圆周角定理可得AOB=2C=1

22、20， 阴影部分的面积是=， 故答案为： 【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求 得圆心角度数是解题的关键 5. （2018四川宜宾3 分）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点， DEAB 于点 E 且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G，若=，则= 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理 【分析】由 AB 是直径，推出ADG=GCB=90，因为AGD=CGB，推出 17 cosCGB=cosAGD，可得=，设 EF=3k，AE=4k，则 AF=DF=FG=5k，DE=8k，想办法求出 DG、AG

23、 即可解决问题； 【解答】解：连接 AD，BC AB 是半圆的直径， ADB=90，又 DEAB， ADE=ABD， D 是 的中点， DAC=ABD， ADE=DAC， FA=FD； ADE=DBC，ADE+EDB=90，DBC+CGB=90， EDB=CGB，又DGF=CGB， EDB=DGF， FA=FG， =，设 EF=3k，AE=4k，则 AF=DF=FG=5k，DE=8k， 在 RtADE 中，AD=4k， AB 是直径， ADG=GCB=90， AGD=CGB， cosCGB=cosAGD， =， 在 RtADG 中，DG=2k， =， 故答案为： 【点评】本题考查的是圆的有关性

24、质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 18 6（2018 年江苏省泰州市3 分）如图，ABC 中，ACB=90，sinA=，AC=12，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到ABC，P 为线段 AB上的动点，以点 P 为圆心，PA长 为半径作P，当P 与ABC 的边相切时，P 的半径为 或 【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当 P 与 AB 相切于点 T 时， 【解答】解：如图 1 中，当P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ 设 PQ=PA=r， PQ

25、CA， =， =， r= 2.如图 2 中，当P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A、B、T 共线， 19 ABTABC， =， =， AT=， r=AT= 综上所述，P 的半径为或 【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行 线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问 题 7 （2018北京2 分） 如图，点A，B，C，D在OA上，A A CBCD，30CAD， 50ACD，则ADB_ O A C B D 【答案】70 【解析】A A CBCD，30CABCAD ，60BAD， 50ABDACD ，18070ADBB

26、ADABD 【考点】圆周角定理，三角形内角和定理 8 （20182018湖北省孝感湖北省孝感3 分）已知O 的半径为 10cm，AB，CD 是O 的两条弦， 20 ABCD，AB=16cm，CD=12cm，则弦 AB 和 CD 之间的距离是 2 或 14 cm 【分析】分两种情况进行讨论：弦 AB 和 CD 在圆心同侧；弦 AB 和 CD 在圆心异侧；作出 半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解 【解答】解：当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图， AB=16cm，CD=12cm， AE=8cm，CF=6cm， OA=OC=10cm， EO=6cm，OF=8cm， EF=O

27、FOE=2cm； 当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图， AB=16cm，CD=12cm， AF=8cm，CE=6cm， OA=OC=10cm， OF=6cm，OE=8cm， EF=OF+OE=14cm AB 与 CD 之间的距离为 14cm 或 2cm 故答案为：2 或 14 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用此题难度适中，解题的关键是注意掌握数 形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解 9. （2018江苏扬州3 分）如图，已知O 的半径为 2，ABC 内接于O，ACB=135，则 AB= 2 【分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得AOB

28、21 的度数，然后根据勾股定理即可求得 AB 的长 【解答】解：连接 AD、AE、OA、OB， O 的半径为 2，ABC 内接于O，ACB=135， ADB=45， AOB=90， OA=OB=2， AB=2， 故答案为：2 【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要 的条件，利用数形结合的思想解答 三三. .解答题解答题 (要求同上一) 1. （2018山东淄博8 分）如图，以 AB 为直径的O 外接于ABC，过 A 点的切线 AP 与 BC 的延长线交于点 P，APB 的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E，其中 AE，BD（AEBD）的长是 一元二

29、次方程 x25x+6=0 的两个实数根 （1）求证：PABD=PBAE； （2）在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其 面积；若不存在，说明理由 【考点】MR：圆的综合题 【分析】 （1）易证APE=BPD，EAP=B，从而可知PAEPBD，利用相似三角形的性 质即可求出答案 （2）过点 D 作 DFPB 于点 F，作 DGAC 于点 G，易求得 AE=2，BD=3，由（1）可知： 22 ，从而可知 cosBDF=cosBAC=cosAPC=，从而可求出 AD 和 DG 的长度，进而证 明四边形 ADFE 是菱形，此时 F 点即为 M 点，利

30、用平行四边形的面积即可求出菱形 ADFE 的面 积 【解答】解：（1）DP 平分APB， APE=BPD， AP 与O 相切， BAP=BAC+EAP=90， AB 是O 的直径， ACB=BAC+B=90， EAP=B， PAEPBD， ， PABD=PBAE； （2）过点 D 作 DFPB 于点 F，作 DGAC 于点 G， DP 平分APB， ADAP，DFPB， AD=DF， EAP=B， APC=BAC， 易证：DFAC， BDF=BAC， 由于 AE，BD（AEBD）的长是 x25x+6=0， 解得：AE=2，BD=3， 由（1）可知：， cosAPC=， cosBDF=cosAP

31、C=， ， DF=2， DF=AE， 四边形 ADFE 是平行四边形， 23 AD=AE， 四边形 ADFE 是菱形， 此时点 F 即为 M 点， cosBAC=cosAPC=， sinBAC=， ， DG=， 在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形 其面积为：DGAE=2= 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判 定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能 力 2 、 （20182018湖北省宜昌湖北省宜昌8 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D， 交

32、 BC 于点 E，延长 AE 至点 F，使 EF=AE，连接 FB，FC （1）求证：四边形 ABFC 是菱形； （2）若 AD=7，BE=2，求半圆和菱形 ABFC 的面积 【分析】 （1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边 相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设 CD=x，连接 BD利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【解答】 （1）证明：AB 是直径，AEB=90，AEBC，AB=AC， BE=CE，AE=EF，四边形 ABFC 是平行四边形， 24 AC=AB，四边形 ABFC 是菱形 （2）设 CD=x连接 BDAB 是直径， ADB=BDC=9

33、0，AB2AD2=CB2CD2， （7+x）272=42x2，解得 x=1 或8（舍弃）AC=8，BD=， S菱形 ABFC=8 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定 理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角 形解决问题，属于中考常考题型 3（2018安徽分） 如图，O 为锐角ABC 的外接圆，半径为 5. （1）用尺规作图作出BAC 的平分线，并标出它与劣弧 BC 的交点 E(保留作图痕迹，不写作 法)； （2）若（1）中的点 E 到弦 BC 的距离为 3，求弦 CE 的长. 【答案】 （1）画图见解析；（2

34、）CE= 【解析】 【分析】 （1）以点 A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别与 AB、AC 有交点，再分别 以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点 A 与这点 作射线，与圆交于点 E ，据此作图即可； （2）连接 OE 交 BC 于点 F，连接 OC、CE，由 AE 平分BAC，可推导得出 OEBC， 然后在 RtOFC 中，由勾股定理可求得 FC 的长，在 RtEFC 中，由勾股定理即可求 得 CE 的长. 【详解】 （1）如图所示，射线 AE 就是所求作的角平分线； 25 （2）连接 OE 交 BC 于点 F，连接 OC、CE， AE 平分BAC， ，

35、OEBC，EF=3，OF=5-3=2， 在 RtOFC 中，由勾股定理可得 FC=， 在 RtEFC 中，由勾股定理可得 CE=. 【点睛】本题考查了尺规作图作角平分线，垂径定理等，熟练掌握角平分线的 作图方法、推导得出 OEBC 是解题的关键. 4.（2018 年江苏省南京市）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，连接 DE过点 A 作 AFDE，垂足为 F，O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G （1）求证：AFGDFC； （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，AE=1，求O 的半径 【分析】（1）欲证明AFGDFC，只要证明FAG=FDC，AGF=FCD； （2）

36、首先证明 CG 是直径，求出 CG 即可解决问题； 【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，ADC=90， CDF+ADF=90， AFDE， AFD=90， DAF+ADF=90， DAF=CDF， 四边形 GFCD 是O 的内接四边形， FCD+DGF=180， FGA+DGF=180， 26 FGA=FCD， AFGDFC （2）解：如图，连接 CG EAD=AFD=90，EDA=ADF， EDAADF， =，即=， AFGDFC， =， =， 在正方形 ABCD 中，DA=DC， AG=EA=1，DG=DAAG=41=3， CG=5， CDG=90， CG 是O 的直径， O 的半

37、径为 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关 键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 5.（2018株洲市）如图，已知 AB 为O 的直径，AB=8，点 C 和点 D 是O 上关于直线 AB 对 称的两个点，连接 OC、AC，且BOC90，直线 BC 和直线 AD 相交于点 E，过点 C 作直线 CG 与线段 AB 的延长线相交于点 F，与直线 AD 相交于点 G，且GAFGCE （1）求证：直线 CG 为O 的切线； （2）若点 H 为线段 OB 上一点，连接 CH，满足 CBCH， CBHOBC 求 OHHC 的最大值

38、27 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；5. 【解析】分析：（1）由题意可知：CAB=GAF，由圆的性质可知：CAB=OCA，所以 OCA=GCE，从而可证明直线 CG 是O 的切线； （2）由于 CB=CH，所以CBH=CHB，易证CBH=OCB，从而可证明CBHOBC； 由CBHOBC 可知：，所以 HB=，由于 BC=HC，所以 OH+HC=4+BC，利用 二次函数的性质即可求出 OH+HC 的最大值 详解：（1）由题意可知：CAB=GAF， AB 是O 的直径， ACB=90 OA=OC， CAB=OCA， OCA+OCB=90， GAF=GCE， GCE+OCB=OCA+

39、OCB=90， OC 是O 的半径， 直线 CG 是O 的切线； （2）CB=CH， CBH=CHB， OB=OC， CBH=OCB， CBHOBC 由CBHOBC 可知： AB=8， BC2=HBOC=4HB， HB=， 28 OH=OB-HB=4- CB=CH， OH+HC=4+BC， 当BOC=90， 此时 BC=4 BOC90， 0BC4， 令 BC=x 则 CH=x，BH= 当 x=2 时， OH+HC 可取得最大值，最大值为 5 点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判 定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识 6.（2018 年江苏省

40、宿迁）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D，过点 A 作 O 的切线与 OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F. （1）求证：PC 是O 的切线； （2）若ABC=600,AB=10,求线段 CF 的长， 29 【答案】 （1）证明：连接 OC， OA=OC,ODAC， OD 是 AC 的垂直平分线， PA=PC, 在PAO 和PCO 中， , PAOPCO（SSS） ， PAO=PCO=90, PC 是O 的切线. （2）解：PC 是O 的切线.FCO=PCO=90, ABC=60,OB=OC， OCB 是等边三角形， 又AB=10, OB=OC=5,

41、 在 RtFCO 中， tan60= = , CF=5 . 【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，锐角三 角函数的定义，线段垂直平分线的判定 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，根据垂直平分线的判定得 OD 是 AC 的垂直平分线，再由垂直 平分线的性质得 PA=PC,根据 SSS 得PAOPCO（SSS） ，由全等三角形性质得 PAO=PCO=90,即 PC 是O 的切线. （2）由切线性质得FCO=PCO=90,根据有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形得 OCB 是等边三角形，在 RtFCO 中，根据正切的三角函数定义即可求出 CF 值. 7（

42、2018 年江苏省泰州市10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ABC 的平分线 30 交O 于点 D，DEBC 于点 E （1）试判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）过点 D 作 DFAB 于点 F，若 BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积 【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出DEB=EDO=90，进 而得出答案； （2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案 【解答】解：（1）DE 与O 相切， 理由：连接 DO， DO=BO， ODB=OBD， ABC 的平分线交O 于点 D， EBD=DBO， EBD=BDO， DOBE，

43、 DEBC， DEB=EDO=90， DE 与O 相切； （2）ABC 的平分线交O 于点 D，DEBE，DFAB， DE=DF=3， BE=3， BD=6， sinDBF=， DBA=30， DOF=60， sin60=， DO=2， 31 则 FO=， 故图中阴影部分的面积为：3=2 【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出 DO 的长是解题 关键 8（2018天津10 分）已知是的直径，弦与相交，. （）如图，若 为的中点，求和的大小； （）如图，过点 作的切线，与的延长线交于点 ，若，求的大小. 【答案】 （1）52，45；（2）26 【解析】分析：（）运用

44、直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数 求解即可； （）运用圆周角定理求解即可. 详解：（）是的直径，. . 又，. 由 为的中点，得. . . 32 （）如图，连接. 切于点 ， ，即. 由，又， 是的外角， . . 又，得. . 点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解 题的关键 9 9（2018浙江衢州10 分）如图，已知 AB 为O 直径，AC 是O 的切线，连接 BC 交O 于 点 F，取的中点 D，连接 AD 交 BC 于点 E，过点 E 作 EHAB 于 H （1）求证：HBEABC； （2）若 CF=4，BF=5，求 A

45、C 和 EH 的长 【考点】圆周角定理、切线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质 【分析】 （1）根据切线的性质即可证明：CAB=EHB，由此即可解决问题； 33 （2）连接 AF由CAFCBA，推出 CA2=CFCB=36，推出 CA=6，AB=3，AF=2，由 RtAEFRtAEH，推出 AF=AH=2 ，设 EF=EH=x在 RtEHB 中，可得（5x）2=x2+（）2，解方程即可解决问题； 【解答】解：（1）AC 是O 的切线，CAAB EHAB，EHB=CAB EBH=CBA，HBEABC （2）连接 AF AB 是直径，AFB=90 C=C，CAB=AFC，CAFCBA，CA2=CFCB=36，CA