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1、三、其它类型的未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,洛必达法则,第三章,通常把这种极限叫做未定式,例如,其它类型的未定式,本节主要研究这些未定式极限,一、,存在 (或为 ),定理 1.,型未定式极限,(洛必达法则),若,那么,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限,来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,证：,则有,存在 (或为 ),洛必达法则,若,则,不妨假设,( 介于x与a之间),证：,定义辅助函数,则有,推论1.,定理 1 中,洛必达法则,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,推论 2.,若,理1条件,则,推论 2.,若,理1条件,则,直至求出极
2、限值，,若永远是不定式，则方法失效，,改用其他求极限方法,如果有必要可连续应用有限次洛必达法则，,或找出不符合法则的情形为止，,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解:,原式,例3. 求,注意：,洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法，,但与其它求极限方法结合使用，效果会更好.,解:,注意到：,原式,例4. 求,解,原式,例5. 求,解:,原式,思考: 如何求,( n 为正整数) ?,例6. 求,原式,解:,注意到：,二、,型未定式极限,定理 2.,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 ,定理仍然成立.,存在 (或为 ),例7. 求,解:,原式,例8. 求,解:
3、,原式,例7 , 例8 表明,时,后者比前者趋于,更快 .,例9. 求,解:,原式,三、其他未定式:,解决方法: 关键将其他类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型： .,步骤:,例10. 求,解: 原式,例11. 求,步骤:,解: 原式,例12.,解: 原式,又,原式,例13. 求,解:,原式 =,(用洛必达法则),(继续用洛必达法则),例14. 求,步骤:,幂指函数求极限,转化为,例14. 求,解:,步骤:,幂指函数求极限,转化为,例14. 求,解:,步骤:,幂指函数求极限,转化为,又,例14. 求,解:,又,例14. 求,解:,步骤:,幂指函数求极限,转化为,又,例14. 求,解:,又,内容小结,洛必达法则,幂指函数求极限,转化为,注意:,1洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能,与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能,先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽可能应用 这样可以使运算简捷,2不是未定式不能用洛必达法则,3. 在满足定理条件的某些情况下,洛必达法则不能解决,计算问题,例如，,而,-失效,4. 若,例如,极限不存在,