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1、三、多维随机变量及其分布,随机变量 随机变量的分布函数的概念及性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布,考试内容,设X1,X2,Xn为定义在同一样本空间上的随机变 量，则称这n个随机变量的整体(X1,X2,Xn)为n维 随机变量(或n维随机向量).,（一）n维随机变量与联合分布函数,1.n维随机变量的定义,2.联合分布函数与边缘分布函数,设(X1,X2,Xn)为n维随机变量,则称Rn上的n元 函数,F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2, Xnxn) (x1,x2,xn)Rn,为n维随机变量(X1,X2,Xn)的联合分布函数.,n
2、维随机变量(X1,X2,Xn)中每个变量Xi的分布 函数FX(xi)称为边缘分布函数，i=1,2, ,n.,3.联合分布函数与边缘分布函数之间的关系,设F(x,y)为联合分布函数，关于X和Y的边缘分布 函数分别为FX(x)和FY(y) ，则有,1. 联合概率分布 如果二维随机变量(X,Y)的每个分量X和Y都是离 散型的, 则称(X,Y)为二维离散型随机变量.,(二)二维离散型随机变量,(X,Y)的联合概率分布有两种表示：,2.联合概率分布,(1)设(X,Y)的一切可能值为,则称,为(X,Y)的联合分布律，或联合概率分布.,（2） (X,Y)的联合分布律（表）,3. 联合概率分布的性质,（非负性
3、）,（归一性）,4.边缘分布,(X,Y)的分量X和Y的分布律称为其边缘分布律.,它与联合分布的关系为,5.条件分布,对固定的j，若 则称,为X关于 的条件分布.,类似地，若 则称,为Y关于 的条件分布.,注：,（三）二维连续型随机变量,1.定义 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),如果存在 非负可积函数f(x,y),使得对任意实数x,y,有,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为其联合 密度函数.,2.联合密度函数的性质,（非负性）,（归一性）,x,y,f(x,y),二元概率密度函数f(x,y)从图形上看是在xoy平面上方的一个曲面, 包围着下方的体积为1.,3. 二维连续随
4、机变量的性质,设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),密度函数为f (x,y)， 则,（1） F(x,y)为二元连续函数； （2）对于任何平面曲线L，有 （3）对于平面区域D，有概率计算公式： （4）对于f(x,y)的连续点(x,y)，有,4.边缘分布 设(X,Y)的密度函数为f(x,y)，则X和Y的分布函数 可表示为,分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘分布函数，而,分别称为(X,Y)的关于X和Y的边缘密度函数.,5.条件分布,对于给定的x，若fX(x)0,则称,为Y关于X=x的条件密度函数.,为X关于Y=y的条件密度函数.,类似地，若fY(y)0,则称,条件密度函数 同样满足密度函 数的
5、所有性质.,注：,（四）随机变量的独立性,1.一般情形,设n维随机变量 的联合分布函数为,关于Xi 的边缘分布函数为,若对任意实数 有,则称随机变量 相互独立.,2.离散型,设 为n维离散型随机变量，若对 一切可能的值 有,则称随机变量 相互独立.,特殊：二维情形,3.连续型,设 为n维离散型随机变量，若对任意实数 有,其中 是联合密度，,为Xi 的边缘密度，,则称随机变量 相互独立.,特殊：二维情形,（五）随机变量函数的分布(重点),1.一般情形,随机变量Z为随机变量X,Y的函数，即Z=g(X,Y),则Z的分布函数为,2.离散型,已知,则Z的分布为,3.连续型,已知(X,Y)的密度函数为 f
6、 (x,y)，Z=g(X,Y),则Z的 分布函数为,若Z任为连续型随机变量，则Z的密度函数为,4. X与Y的和、商与极值的分布,（1）和的分布,设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则Z=X+Y的密度函数为,当X,Y独立时，有卷积公式：,(2) 商的分布,设(X,Y)的密度函数为f(x,y),则 的密度函数为,当X,Y独立时，有,（3）极值分布,当X,Y相互独立时,其分布函数分别为FX (x),FY(y), 则,的分布函数为,可推广为n个相互独立的随机变量：,若X与Y独立同分布？,（六）两个常见的二维分布,1.二维均匀分布,设(X,Y)的密度函数为,则,(X,Y)U（D）.,性质：,设(X,Y
7、)服从矩形域,上的均匀分布，则两个边缘分布都是均匀分布，即,XUa,b ,YUc,d,且两个条件分布也是均匀分布.,2.二维正态分布的性质：,(1)两个边缘分布为正态分布,(2) X与Y的线性组合仍服从正态分布，即,（任意两个正态分布的和不一定服从正态分布）,两个边缘分布都是正态分布的二维随机变量 不一定服从二维正态分布,此时，,(4) X关于Y=y(Y关于X=x)的条件分布仍为正态分布:,注：当 时,两个条件分布就是相应的边缘分布.,几点注意：,1.几个常用的事件的关系,2.联合分布、边缘分布和条件分布的关系,联合分布,边缘分布和条件分布,此时，离散型：,连续型：,考点与例题分析,考点一：联
8、合分布、边缘分布与条件分布的计算,考点二:利用已知分布求相关事件的概率,考点三: 随机变量的独立性,考点四：随机变量函数的分布,考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算,利用联合分布与边缘分布之间的关系、概率 密度或分布律自身的性质如归一性等.,例1 同一品种的5个产品中, 有2个正品, 每次从中 取1个检验质量, 不放回地抽取, 连续2次.记“Xk=0” 表示第k次取到正品, 而“Xk=1”为第k次取到次品 (k=1,2). 写出(X1, X2)的联合分布律和边缘分布.,解 X1, X2可能取值均为0,1, 按乘法公式有,故联合分布律为,0.4,0.4,+,0.6,+,同理，,0.4 0.
9、6,0.4,0.6,求边缘分布:因为,0.6,问随机变量X1, X2 独立吗？,不独立！,求例1的X1关于X2的 条件分布,PX1=0|X2=1=0.3/0.6=0.5, PX1=1|X2=1=0.5,由,PX1=0|X2=0=0.1/0.4=0.25,PX1=1|X2=0=3/4,0.4,0.6,0.4,0.6,由,例2 设随机变量XU(0,1),在X=x (01.,解 (1)依题意，有,在 时,X和Y的联合密度为,在其它点处，f (x,y)=0, 即,(2) 当0y1时,Y 的概率密度为,在其它点(x,y)处，,因此,(3),由图,考点二:利用已知分布求相关事件的概率,搞清楚随机变量所表示
10、的事件,利用概率的基本 性质和重要公式以及常见分布的定义和性质求解.,记住几个常见分布,例3 设X和Y均服从 且,则,解,例4 设Xi(i=1,2)的分布律均为,(i=1,2),且满足 则,由表p12=1/4, p32=1/4,从而p22=0, 故,解 由 易知 即,Xi都不取零,列出联合分布律：,考点三: 随机变量的独立性,1.一般型：,2.离散型：,3.连续型：,例5 设二维随机变量,则,解 因(X,Y)服从二维正态分布,且,故X和Y相互独立,且,例6 设随机变量X和Y独立同分布,试证明,证明：设X和Y的分布函数为F(x)和F(y),密度函数为 f (x)和f (y),由独立性知X和Y的联
11、合密度函数为f (x,y) =f (x) f (y),故,考点四：随机变量函数的分布,掌握利用分布律或分布函数的定义求解的方法.,求解时注意随机变量独立性的条件.,(重点和难点：求二维随机变量的函数的分布),注意处理分段多元函数的积分.,例7 将两封信随机地往编号为1,2,3,4的4个邮筒内 投. Xi表示第i个邮筒内信的数目(i=1,2). (1)写出(X1,X2)的联合分布及(X1,X2)中关于X1的边缘 分布；(2)两个邮筒内信的数目之和X1+X2的分布律.,解 (1) Xi所有可能取值：0,1,2.,试验共有42=16种不同的等可能结果:,上表计算出 的边缘分布,计算结果列于下表并计算
12、X1的边缘分布,(2) 求X1+X2的分布律：所有可能取值0,1,2,3,4.,因此，X1+X2的分布律：,用斜线法计算 的分布律：,因此,例8(0713) 设二维随机变量(X1,X2)的概率密度为,求（1）,（2）Z=X+Y的概率密度fZ(z).,解 (1),(2) 法1 先求Z的分布函数，如图,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,故,法2 利用卷积公式：,当 或 时，,当 时，,当 时，,故,例9 设随机变量X的概率分布为,令Y=X2，F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数，,求(1)Y的概率密度fY(y);,解 (1)Y的分布函数为,当 时，,当 时，,（06134）,当 时
13、，,当 时，,故Y的概率密度,当 时，,当0 y1时,当1 y4时,另解：不需先求出分布函数的具体表达式,注意：,（因为X,Y 不独立）,考研题与练习题,1.(02103) 设随机变量 且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为 则,应填4.,解 二次方程的判别式为42-4X4,依题意有,4,2.(08134) 设X,Y相互独立,X的概率分布为,Y的概率密度为,记Z=X+Y ，求,(1) (2)Z的概率密度.,考查：随机变量的独立性和全概公式.,解 (1)由于X,Y相互独立，于是,错解：,另解：,（没有过程）,（X与Y不独立）,(2) 先求Z的分布函数.由于,构成一个完备事件组，因此根据全概率公式得,故Z的概率密度,3.(08134)设随机变量X和Y独立同分布,分布函数 为F(X),则 的分布函数为,解 选A.,因X和Y独立同分布，设Z的分布函数为F(x).,一般地,考查：随机变量函数的分布、独立性,1.选B. 应注意到Z的分布函数是一元函数.,2.选C. 实际上这是minX,Y的答案.,错解：,4.（06134）,设随机变量X和Y独立,且服从区间0,3上的均匀 分布，则,考查：独立性和均匀分布,5.（07134）,若(X,Y)服从二维正态分布，则,考查：二维正态分布,独立性,不相关,二维概率密 度，边缘密度和条件密度，是一道综合题。,注：,