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1、四川省成都外国语学校 20192019届高三数学下学期入学考试试题 文 第 卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1已知集合 ，则 AB 的元素有( ) A (x, y) y log x , B (x, y) y x2 2x 2 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2已知复数 1 2i ( 为虚数单位)，则的虚部为( ) z i 2 i A1 B0 C1 Di 3.已知双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x ，且经过点 (2, 2) ，则 C 的方程为( ) x y x y y x y x 1 1 1 1
2、 A. B. C. D. 2 2 2 2 2 2 2 2 3 12 12 3 3 12 12 3 log x x 0 f x ( ) 2 4函数 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) a 2x x 0 A a 0 B 0 1 C. 1 1 D a a a 0 或 a 2 2 5.已知函数 f (x) sin(x ) ，且 cos( 2 ) cos ，则函数 的图象的一条对称轴 f (x) 3 是( ) A 5 B 7 C D x x x x 6 12 3 6 6. 已知 a 1，b (0,2)，且 a b 1，则向量a 与 b 夹角的大小为 A. B. C. D. 6 4 3 2 7某几何
3、体的正视图和侧视图如图所示，它的俯视图的直观图是 AB C ，如图所示，其 中OA OB 2，OC 3 ，则该几何体的表 面积为( ) A3612 3 B 248 3 C 2412 3 D368 3 C x 2 y 2 8 已 知 圆 和 两 点 A(m, 0), Bm,0m 0 C P 若圆 上存在点 使， 得 APB 90，则 m的最大值为( ) A7 B6 C5 D4 9如图所示，已知点 G 是 ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB, AC 两 边 分 别 交 于 M , N 两 点 ， 且 AM x AB, AN yAC xy ，则 的值为( ) x y 1 1 A3 B. C2
4、D. 3 2 - 1 - 10.如果执行右边框图，则输出的数 s与输入的 N 的关系是（ ） A. (N 1) 2N 1 2 B. N 2N 1 2 C. (N 1) 2N 1 2 D. N 2N 1 2 a 11.已知函数 f (x) 2 ，其在区间0,1 上单调递增，则 x 2 x a 的取值范围为( ) A 0,1 B 1, 0 C 1, 1 D. 1 1 , 2 2 y2 4x AB F 12如图，抛物线 的一条弦 经过焦点 ，取线段 OB D OA C OA AC C, D 的中点 ，延长 至点 ,使 ,过点 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 E,G ,则 EG 的最小值为 ( )
5、A 2 3 B 2 2 C 4 2 D. 4 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案 填在答题卷的横线上。. 13某班级有 50名学生，现要采取系统抽样的方法在这 50名 学生中抽出 10名学生，将这 50 名学生随机编号 150 号，并 分组，第一组 15 号，第二组 610号，第，十 组 4650 号 若， 在第三组中抽得号码为 12 的学生，则在第八组中抽得号码为 _的学生 14.若 f (cos x) cos 2x ，则 (sin ) _. f 12 15.已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， 1 SC O ABC 是 边 长
6、为 的 正 三 角 形 ， 为 球 的 直 径 ， 且 SC 2 ，则此棱锥的体积为 10 16.ABC 中，角 A ， B ， C 所对边分别为a，b，c.D 是 BC 边的中点，且 AD ， 2 8asinB 3 15c cos 1 A ABC ， ，则 面积为 4 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分）已知数列 a 的前 n 项和为 n S ，且 n ， n a ， n S 成等差数列， n - 2 - b 2 log 1 a 1 n 2 n （l）求数列 a 的通项公式； n （2）若数列b 中去掉数列a 的
7、项后余下的项按原顺序组成数列 c ，求 c c c n n n 1 2 100 的值 18.（本小题满分 12分） 如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 AA1 B1 B 平面 ABC，D 是 AC 的中点. ()求证： B1C / 平面 A BD ； 1 A AB ACB AB BB AC BC 1 () 若 60 , , 2, 1， 1 求三棱锥 A ABD 的体积. 1 19.“”大众创业，万众创新 是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号某 生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品 按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
8、 (x , y )（i i i 1,2，6），如表所示： 试销单价 x（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 y （件） q 84 83 80 75 68 1 6 80 y y 已知 i 6 i1 （ ）求出q的值； （ ）已知变量 x， y 具有线性相关关系，求产品销量 y （件）关于试销单价 x（元）的线 - 3 - 性回归方程 y bxa ； （）用 Ay 表示用（ ）中所求的线性回归方程得到的与 xi 对应的产品销量的估计值当销 i 售数据 ( , )对应的残差的绝对值 y y 时，则将销售数据 (x , y )“称为一个 好数 x y | A | 1 i i i i i i 据”现
9、从 6 个销售数据中任取 2“”个，求 好数据 至少有一个的概率 n x y nxy i i （参考公式：线性回归方程中b，a的最小二乘估计分别为 ,a y bx ) b i1 n 2 x2 nx i i1 x y a b 2 2 1 2 2 1( 0) 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率 e ，过焦点且垂直于 x a b 2 轴的直线被椭圆截得的线段长为 3 （1）求椭圆的方程； （2）动直线 : 1 与椭圆交于 A,B 两点，在平面上是否存在定点 P，使得当直线 PA l y x m 2 与直线 PB 的斜率均存在时，斜率之和是与 m无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定
10、点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 21.（本小题满分 12分） f x e a x 已知 cos （e 为自然对数的底数) x （1）若 f x在 x 0 处的切线过点 P1, 6，求实数a的值 （2）当 x 0, 时， 恒成立，求实数 的取值范围 f x ax a 2 请考生在第 2222、2323题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B2B铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 3 x t 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 （t 为参数）以 O 为极点， x 2 1 y 3 t 2 - 4
11、 - 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2a cos （ a 0 ），且曲线 C l 与直线 有且仅有一个公共点 （ ）求a； （ ）设 A 、 B 为曲线 C 上的两点，且 ，求| OA | | OB | 的最大值 AOB 3 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f (x) | x 1| 2 | x 1| 的最大值a（ aR ） （ ）求a的值； （ ）若 1 1 （ ， ），试比较 与 的大小 m 0 n 0 m 2n 2 a m 2n - 5 - 成都外国语学校高 2016级高三下入学考试答案 数学（文科） 第 卷 一、选择题 1-5 BCAAA 6-10
12、CCBBA 11-12 CD 二、填空题： 3 2 3 15 13、37 14、 15、 16、 2 6 4 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【解析】（1）因为 n ， a ， S 成等差数列，所以 S n 2a ，2 分 n n n n 所以 S n a n 1 1 2 1 2 n n ，得 1 2 2 1 2 1 2 a a a ，所以 a a n 4分 n n n 1 n n 1 又当 n 1 时， S a ，所以 a ，所以 1 1 2 1 1 1 a1 1 2 ， 故数列 1 a 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， n
13、 所以 a 1 2 2n1 2n ，即 a 2n 16分 n n （2）根据（1）求解知， b 2 log 1 2n 1 1 2n 1，b ，所以 n 2 n n 1 1 b 1 b 2 ， 所以数列 b 是以1为首项， 2 为公差的等差数列7 分 n 又因为 1 1 3 7 4 15 a ， a ， a ， a ， 2 3 a ， 5 31 a6 63 ， a ， 7 127 a ， 8 255 b64 127 ， 106 211 b ，b107 213 ，9 分 所以 c c c b b b a a a 1 2 100 1 2 107 1 2 7 1071 213 2 2 2 7 1 2
14、7 2 2 1 2 7 107 214 2 1 2 7 2 8 11202 12 分 107 2 9 18. 解：（1 1）连结ABAB1 1交A A1 1B B 于点O O，则O O 为ABAB1 1中点， D是AC 的中点 OD AB C 又CD 平面A B D，B C 平面A BD B C A 平面A BD - 6 - 1 6 q 90 y y 80 19.解：（ ） ，可求得 i 6 i1 6 x y nxy i i 3050 66.580 70 b 4 i1 （ ） ， 6 271 253.5 17.5 x n(x) 2 2 i i1 a y bx 80 46.5 106 ， 所以所
15、求的线性回归方程为 y 4x 106 （）利用（ ）中所求的线性回归方程 y 4x 106可得，当 时， ；当 x A 1 4 y 1 90 x 2 5 时， A ；当 x 时， A ；当 x 时， A ；当 x 时， A ；当 y2 86 5 74 3 6 y3 82 x 6 9 4 7 y 5 8 4 78 y 时， A y 6 70 与销售数据对比可知满足| A | 1（ 1,2，6）的共有 3“”个 好数据 ： 、 y y i (4,90) i i (6,83) (8, 75) 、 设所求事件用 A 表示 ，则 ( ) 1 ( ) 1 3 4 ； （基本事件略） P A P A 15
16、5 x c, 20. 解：(1) 设椭圆的半焦距为 c，则 c2 a2 b2 ，且 1 由 解得 c e 2 2 x y a 2 1, 2 2 a b - 7 - y b 2 a 2b x y 2 2 2 3 1 依题意， ，于是椭圆的方程为 4分 a 4 3 A x 1 x t B x 1 x t , , , l y x t 1 (2)设 1 1 2 2 ， 设 : ， 与 椭 圆 方 程 联 立 得 2 2 2 x2 tx t 2 3 0. x1 x2 t,x1x2 t 3. 2 则有 6 分 直线 PA,PB 的斜率之和 k k PA PB 1 1 m x t (m x ) n x t
17、(m x ) 1 2 2 1 2 2 (m x )(m x ) 1 2 3 n m t 2mn 3 2 . t2 mt m2 3 9分 当 3 , 2 3 时 斜 率 的 和 恒 为 0， 解 得 n m mn 2 m m 1, 1, 3 3 或 11 分 n . n . 2 2 3 3 1, 1, 综上所述，所有满足条件的定点 P 的坐标为 或 12分 2 2 21. - 8 - - 9 - 22.解：（ ）直线l 的普通方程是 x 3y3 0， (xa) y a 2 2 2 曲线 C 的直角坐标方程是 ， 依题意直线l 与圆相切，则 | 3| ，解得 a d a a 3 2 或 a 1，
18、因为 a 0 ，所以 a 1 （ ）如图，不妨设 A(1,)， ，则 B( , ) 2 3 1 2 cos ， 2 2 cos( ) ， 3 - 10 - |OA| |OB| 2 cos 2 cos( ) 3cos 3 sin 2 3 cos( ) 1 2 3 6 所以 2k ，即 2k ， k Z 时，| OA | | OB | 最大值是 2 3 6 6 ， 23.解：（ ）由于 x 3, x 1, f (x) 3x 1, 1 x 1, x 3, x 1. f x f (1) 2 a 2 ( ) 的最大值为 ，故 . （ ） 1 1 2 ，且 ， ， m 0 n 0 m 2n 1 m 2n 2 ( 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 (2 2 ) ， m n m n m n (2 2 ) 2 2 m 2n 2 2n m 2 2n m 当且仅当 2 ，即 m 1， 1 等号成立 m n n 2n m 2 所以 m2n 2. - 11 -