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1、 第 八章 应力应变状态分析 一.研究应力状态的意义 8-1 引言 （1）同一点各个方向的应力不同； (2)相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与低 碳钢的压缩破坏。 二、一点的应力状态 1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面 上的应力情况。 2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力 数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。 三、研究应力状态的方法单元体法 1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。 应力与应变分析 x O z y dz dx dy X Y Z O sy sy sz sz tzy tyz tyz tzy tyx tyx txy t
2、xy sx sx tzx txz tzx txz 应力与应变分析 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示 3.截取原始单元体的方法、原则 用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体 单元体各个面上的应力已知或可求； 几种受力情况下截取单元体方法： 2.单元体上的应力分量 应力与应变分析 P Me Me P P Me Me c) 同b)，但从 上表面截取 C t ss b) 横截面，周向面，直径面各一对 B a) 一对横截面，两对纵截面
3、 A s=P/Ast=Me/Wn A B C B C A P C A B tB tC sCsC sAsA 低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。 铸铁低碳钢 为什么要研究一点的应力状态？ CL10TU2 主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向：主平面的法线方向 可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用1、 2 、 3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 1 2 3 二.基本概念 应力状态的分类： 单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零； 二向和三向应力状态统称为复杂应力状态 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零； 三向应力状
4、态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零 8-2 平面应力状态下的应力分析 CL10TU8 一.应力单元体 二. 应力分析的解析法 （1）斜截面应力 ：拉应力为正 ：顺时针转动为正 ：逆时针转动为正 平衡对象用斜截 面截取的微元局部 平衡方程 t yx 参加平衡的量 应力乘以其作用的面积 A ， 2.斜面上的应力微元体的平衡方程 - cos)cos( A x - y A(sin )sin t yx A +t A(cos )sin xy +tA(sin )cos yx n n 法向的平衡 -tA + x A(cos )sin +t xy A(cos )cos - y A(sin )cos -t
5、yx A(sin )sin t yx t t 切向平衡 注：三角公式 讨论： 8-3.主应力 由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应力 和最小主应力。 由 由： 8-4 应力分析的图解法应力圆 1.莫尔(Mohr)圆 在t-坐标系中，标定与微元垂直的A 、D面上 应力对应的点a和d 连ad交 s 轴于c点，c即为圆心，d应力 圆半径。 A D a(x ,txy) d (y ,tyx) c R 2.应力圆的画法 3.应力圆的几种对应关系 (3)转向对应半径旋转方向与方向面 法线旋转方向一致； (4)二倍角对应半径转过的角度是方向面 旋转角度的两倍。 (1)单元体与应力圆对应 单元体的应力 分量
6、已知一般来说对应着唯一的应力圆； (2)点面对应应力圆上某一点的坐标 值对应着微元某一方向上的正应力和 切应力； 点与面对应 c a A 圆与单元体对应 初始面 C q 2q a A A a y x 转向对应、二倍角对应 A D c 主应力与主切应力 d (y ,tyx) a(x ,txy) (1)根据单元体上的应力x、y 、x画应力圆: 4.用应力圆求任意斜截面上的应力 （2）求任意斜截面上的应力 例8-1分别用解析法和图解法求图示单元 体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。 解：()使用解析法求解 =105MPa, 1 ,
7、=02= -65MPa 3 1 t tan=- - = x xy 2 2 0 ()使用图解法求解 t = = 102 22 = 105 max 65 = -min t = 85 max 5 =22 0 . 作应力圆，从应力圆上可量出： 例8-3一点处的应力状态如图所示，试用 应力圆求主应力。 CL10TU71 例8-3一点的应力状态如图所示（应力单位 MPa），试作应力圆求主应力及其作用平面。 327，-237 127，-73 低碳钢 铸铁 例8-4 讨论圆轴扭转时的应力状态，并 分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象 。 圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为 t，承 受内力p作用 CL10T
8、U4 )tDp( m m t 承受内压p作用薄壁圆筒的应力计算 )tDp( m 84 梁的主应力及其主应力迹线 1 2 3 4 5 P1P2q 如图，已知梁发生剪切弯 曲（横力弯曲），其上M、 Q0，试确定截面上各点主 应力大小及主平面位置。 单元体： 2 1 1 3 3 3 1 3 4 1 1 3 5 0 45 0 t A1A2D2D1 CO A2 D2 D1 C A1 O t 20 t D2 D1 C D1 O 20= 90 D2 A1 O t 20 C D1 A2 t A2D2D1 C A1 O 拉力 压力 主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线
9、上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。 实线表示拉主应力迹线 ； 虚线表示压主应力迹线 。 1 3 1 3 q x y 主应力迹线的画法： 1 1 截面 2 2 截面 3 3 截面 4 4 截面 i i 截面 n n 截面 b a c d 1 3 3 1 1.三向应力状态应力圆： 平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定； 平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定； 平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。 一、三向应力状态下的应力圆 2.三向应力状态下的最大剪应力 tmax所在平面
10、与s1和s3两个主平面夹角为45o。 二、例题 8-5 三向应力状态下的最大应力 三向应力状态研究应力圆法 2 1 x y z 3 1、空间应力状态 2、三向应力分析 弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应 力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 图a 图b 整个单元体内的最大剪应力为： t max 2 1 x y z 3 例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa） 解：由单元 体图知：y z面为主面 建立应力坐标系如 图，画应力圆和 点1,得: 5040 x y z 30 10 (M Pa) （M Pa ） t A B C A B 123 tmax s3 s2 s1 s
11、2 s3 s1 s2 s1 s3 s3 C1 C3 s1s2 O t s t12 t23 t13 C2 例8-4 试确定左图所示应力状态的 主应力和最大剪应力，并确定主平 面和最大剪应力作用面位置。 x 300 150 y 140 z 90 解： 给定应力状态中有一个主 应力是已知的，即sz=90MPa。 因此，可将该应力状态沿z方向投 影，得到平面应力状态，可直接 求主应力及其方位。 sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此： 根据s1、s2、s3的排列顺序，可知： s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa x z yx z y 90 300 150
12、 140 A sy=140 txy=150 sx=300 A视 s2 y31o 31o s1 x s3 主应力方位： 最大剪应力所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o 或-14o。 单元体内的最大剪应力： 86 平面内的应变分析 x y O 一、叠加法求应变分析公式 ab c d A O B 剪应变： 直角的增大量！ （只有这样，前后才对应） D D1 E E1 x y O ab c d A O B D D2 E E2 D D3 E E3 x y O ab c d A O B 2、已知一点A的应变（ ），画应变圆 二、应变分析图解法应变圆（ Strain Circle） 1、应变圆与
13、应力圆的类比关系 建立应变坐标系如图 在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2) AB与 轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆 。 /2 A B C /2 三、方向上的应变与应变圆的对应关系 maxmin 20 D(，/2) 2 n 方向上的应变( ， /2) 应变圆上一点(， /2) 方向线 应变圆的半径 两方向间夹角 两半径夹角2 ；且转向一致 。 A B C 四、主应变数值及其方位 例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1 、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。 解：由 i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后
14、在求主应变。 例6 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。 x y u 45o0 max 一、广义虎克定律 1.有关概念： 主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变； 2.广义虎克定律： 推导方法：叠加原理 主应变与主应力关系 ： 一般情况： 8- 广义虎克定律 s1 s2 s3 s1s1 I s2 s2 II s3 III s1 I s1 s2 II s2 s1方向上的应变： s2方向上的应变： s3方向上的应变： III s3 用应变表示应力 ： 上式中 ： 二、例题 例9-5 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的
15、凹座， 凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到 P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。 取E=200GPa，n=0.30。 P p P P/A p p p p 柱内各点的三个主应力为： 求得： 由广义虎克定律： 在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹 座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压 应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座 之间的间隙，可得应变e2的值为： 解：在柱体横截面上的压应力为： 圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受 内压p作用。 应力的坐标变换 应力圆 一、总应变比能 1.有关概念
16、： 应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的 能量。用U表示； 比能：单位体积的应变能，用u表示； 2.总应变比能： 取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值 ，则该单元体所储存的应变能为： 比能： 代入虎克定律： 8-8 三向应力状态下的变形比能 s2 s1 s3 e1 e2 e3 dx dy dz 二、体积改变比能uv与形状改变比能ud 1.有关概念： 单元体的变形：体积改变和形状改变。 体积改变比能：与体积改变相对应的那一部分比能，用uv 表示； 形状改变比能：与形状改变相对应的那一部分比能，用ud 表示； 2.uv、ud公式 体积改变比能： s3 s2 s1 体积应变只与平均 正应力有关，则体 积改变比能只与平 均正应力有关。 体积改变 sm sm sm s3 - sm s2- sm s1 - sm 形状改变 形状改变比能： 一般情况： 谢谢 谢谢 大大 家家 ! ! 下节下节结束结束目录 目录