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第三章 微分中值定理与导数应用,内容提要,一、中值定理,1罗尔中值定理,2拉格朗日中值定理,3柯西中值定理,二、洛必达法则,4泰勒中值定理,三、泰勒公式,1拉格朗日余项型的泰勒公式（泰勒中值定理）,2佩亚诺余项型的泰勒公式,四、导数应用,1几何应用,（1）一阶导数符号与单调性的关系,（2）二阶导数符号与凹凸性的关系,（3）极值点的必要条件及充分条件,（4）拐点的必要条件及充分条件,（5）曲率与曲率圆、曲率半径,（6）描绘函数的图形,2极值与最值,3证明不等式,（1）利用导数符号与单调性的关系,（2）利用拉格朗日中值定理,（3）利用柯西中值定理,（4）利用泰勒中值定理,（5）利用最值,（6）利用凹凸性,4证明恒等式,利用常函数的导数特征,例题,证：,证：,证：,从而,解：,根据极限的保号性可知，,证法1：,证法2：,由题设可得,则有,证法3：,证：,即得所要不等式证毕,证：(1),(2),证毕,证：,解：,证：（1）,证：（1）,证：（2）,即,证法1：,等价于证明,证法2：,证法3：,证：,证：,