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1、第三章 扭转,3-1 概述,3-2 薄壁圆筒的扭转,3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,3-4 等直圆杆扭转时的应力 强度条件,3-5 等直圆杆扭转时的变形 刚度条件,3-6 等直圆杆扭转时的应变能,3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,3-1 概 述,在现实生活中伴随我们常见的扭转现象有：机器中传动轴、水轮发电机的主轴石油钻机中的钻杆、桥梁及厂房等空间结构中的某些构件等。,第三章 扭转,第三章 扭转,变形特点： . 相邻横截面绕杆的轴线相对转动； . 杆表面的纵向线变成螺旋线。,受力特点：作用在垂直杆轴线平面内的一对力偶，大小相 等，方向相反,第三章 扭转,注：实际构件在工作时除发生
2、扭转变形外， 还伴随有弯 曲或拉、压等变形。,本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。,第三章 扭转,3-2 薄壁圆筒的扭转,薄壁圆筒一般指 的圆筒,当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩扭矩(torque),第三章 扭转,. 薄壁圆筒横截面上各点处切应力,第三章 扭转,横截面上的内力与应力之间的关系,引进 ，上式亦可写作,第三章 扭转,几何关系：,g - 切应变(shearing strain)。 j - 相对扭转角。 r0 - 薄壁圆筒的平均半径。,实验表明：
3、当横截面上切应力t 小于等于材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )与相对扭转角j 成线性正比例关系，从而可知t 与g 亦成线性正比关系：,这就是材料的剪切胡克定律，比例系数G称为材料的切变模量(shear modulus)。 钢材的切变模量值约为：G =80GPa,第三章 扭转,. 剪切胡克定律(Hookes law in shear),3-3 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,. 传动轴的外力偶矩,第三章 扭转,外力偶矩：,第三章 扭转,主动轮上的外力偶其转向与传动轴的转动方向相同，而从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。,. 扭矩及扭矩图,传动轴横截面上的扭矩T
4、 可利用截面法来计算。,第三章 扭转,T = Me,扭矩的正负可按右手螺旋法则确定：扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。,第三章 扭转,例题3-1 一传动轴如图，转速 ；主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。,第三章 扭转,3-4 等直圆杆扭转时的应力强度条件,. 横截面上的应力,第三章 扭转,(1) 几何方面,平面假设等直圆杆受扭转时横截面如同刚性平面绕杆的轴线转动，小变形情况下相邻横截面的间距不变。 推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。,即,第三章 扭转,(2) 物理方面,
5、由剪切胡克定律 t = Gg 知,第三章 扭转,(3) 静力学方面,其中 称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。,从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式,以 代入上式得：,第三章 扭转,式中Wp称为扭转截面系数，其单位为 m3。,横截面周边上各点处(r = r)的最大切应力为,第三章 扭转,实心圆截面：,圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp,第三章 扭转,注意：对于这些常见的规则图形，其截面特性要记住以便于以后做题过程中直接应用。,空心圆截面：,第三章 扭转,.切应力互等定理,第三章 扭转,根据力偶平衡理论,在相互垂直的两个平面上，切应力必成对出现，两切
6、应力的数值相等，方向均垂直于该平面的交线，且同时指向或背离其交线。,即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线垂直的切应力t 和t 数值相等，且均指向(或背离)该两个面的交线切应力互等定理。,第三章 扭转,第三章 扭转,思考题,试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。,现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。,. 斜截面上的应力,第三章 扭转,分离体上作用力的平衡方程为,利用t =t ，经整理得,第三章 扭转,由此可知：,(1) 单元体的四个侧面(a = 0和 a = 90)上切应力的绝对值最大；,(2) a =-45和a =+45截面
7、上切应力为零，而正应力的绝对值最大；,，如图所示。,第三章 扭转,纯剪切应力状态两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态。,第三章 扭转,低碳钢扭转试验开始,第三章 扭转,低碳钢扭转试验结束,低碳钢扭转破坏断口,铸铁扭转破坏试验过程,第三章 扭转,铸铁扭转破坏断口,思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？,第三章 扭转,例题3-2 实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b) （ ）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。,第三章 扭转,. 强度条件,此处t为材料的许
8、用切应力。对于等直圆轴亦即,第三章 扭转,例题3-4 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。,第三章 扭转,BC段内,AB段内,解：1. 绘扭矩图,2. 求每段轴的横截面上的最大切应力,第三章 扭转,3. 校核强度,需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。,t2,max t1,max，但有t2,maxt = 80MPa，故该轴满足强度条件。,第三章 扭转,3-5 等直圆杆扭转时的变形刚度
9、条件,. 扭转时的变形,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。,第三章 扭转,当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有,第三章 扭转,解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：,例题3-5 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此)。,第三章 扭转,3. 横截面C相对于B的扭转角：,2.
10、 各段轴的两个端面间的相对扭转角：,第三章 扭转,. 刚度条件,式中的许可单位长度扭转角j的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：,现实中：对于精密机器的轴j0.150.30 ()/m；,对于一般的传动轴j2 ()/m。,第三章 扭转,解: 1. 按强度条件求所需外直径D,例题3-6 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力t = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角j=0.3 ()/m。试选择轴的直径。,第三章 扭转,2. 按刚度条件求所需
11、外直径D,3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知,第三章 扭转,3-6 等直圆杆扭转时的应变能,第三章 扭转,当材料在线弹性范围内工作时(t tp，见图b)，有,纯剪切应力状态下的应变能密度为,由剪切胡克定律t =Gg，该应变能密度的表达式可写为,第三章 扭转,在扭矩T为常量时，长度为 l 的等直圆杆所蓄积的应变能为,等直圆杆在扭转时积蓄的应变能,由 可知，亦有,第三章 扭转,例题3-7 试推导密圈圆柱螺旋弹簧(螺旋线升角a 5)受轴向压力(拉力)F 作用时，簧杆横截面上应力和弹簧缩短(伸长)变形的近似计算公式。已知：簧圈平
12、均半径R，簧杆直径d，弹簧的有效圈数n，簧杆材料的切变模量G。,第三章 扭转,解：1. 求簧杆横截面上的内力,对于密圈螺旋弹簧，可认为簧杆的横截面就在包含外力F 作用的弹簧轴线所在纵向平面内(如图)，于是有：,剪力 FS =F 扭矩 T =FR,第三章 扭转,2. 求簧杆横截面上的应力,簧杆横截面上与剪力FS相应的切应力通常远小于与扭矩T=FR相应的切应力，故在求近似解时将前者略去。又，在通常情况下，簧圈直径D = 2R与簧杆直径d 的比值D/d 较大，故在求簧杆横截面上扭转切应力时，略去簧圈的曲率影响。于是有,第三章 扭转,3. 求弹簧的缩短(伸长)变形,当弹簧所受外力F不超过一定限度而簧杆
13、横截面上的最大切应力tmax不超过簧杆材料的剪切比例极限tp时，变形与外力F成线性关系(如图)。于是有外力所作功：,第三章 扭转,至于簧杆内的应变能V，如近似认为簧杆长度l =2pRn，且簧杆横截面上只有扭矩T = FR，则,根据能量守恒原理 W=V，即得密圈圆柱螺旋弹簧的缩短(伸长)变形近似计算公式：,如令 ，则有 ，式中k 为弹簧的刚度系数(N/m)。,第三章 扭转,3-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形,第三章 扭转,. 等直非圆形截面杆扭转时的变形特点,自由扭转：,非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。,约束扭转：,横截面可以自由翘曲。,横截面的翘曲受到限制。,横截面上只有
14、切应力而无正应力,横截面上既有切应力又有正应力,. 矩形截面杆自由扭转时的弹性力学解,第三章 扭转,(1) 一般矩形截面等直杆,横截面上的最大切应力在长边中点处： Wt扭转截面系数，Wt=bb3， b 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,横截面上短边中点处的切应力： t =ntmax n 为与m=h/b相关的因数(表3-1)。,第三章 扭转,单位长度扭转角： It相当极惯性矩， , a 为与m = h/b 相关的因数(表3-1)。,表3-1 矩形截面杆在自由扭转时的因数a，b 和 n,第三章 扭转,(2) 狭长矩形截面等直杆,第三章 扭转,轴力FN,扭矩T,正应力均匀分布,切应力与距圆心距离成正比分布,截点或截面的线位移,截面的角位移,小结：,