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1、1,第三章 离散傅立叶变换及其快速算法,版权所有 违者必究,第三章第1讲,2,1 周期序列的离散傅立叶级数,周期序列的傅立叶级数,版权所有 违者必究,第三章第1讲,3,周期序列的傅立叶级数,WN的性质,周期序列的傅立叶级数,正变换,反变换,显然具有周期性,版权所有 违者必究,第三章第1讲,4,周期序列的傅立叶级数,周期序列的离散傅立叶级数的意义,注意： 和 都可取任何整数值，这表明 和 都是无限长的，但由于它们的周期性，只需要知道一个周期，其它周期可通过周期延拓得到。,离散傅立叶级数（DFS）的性质,1、线性性,2、移位性,版权所有 违者必究,第三章第1讲,5,周期序列的傅立叶级数,离散傅立叶
2、级数（DFS）的性质,3、频域移位（调制）性,4、周期卷积定理,设 和 具有相同的周期N，定义： 为这两个序列的周期卷积。,版权所有 违者必究,第三章第1讲,6,周期序列的傅立叶级数,离散傅立叶级数（DFS）的性质,5、频域周期卷积定理,类似于线性卷积，首先进行变量代换： ，再将其中一个序列进行反褶、移位、相乘，然后相加。运算仅在m=0到m=N-1内进行，计算出一个周期的结果，再进行周期延拓得到整个序列 。,版权所有 违者必究,第三章第1讲,7,定义,周期序列的傅立叶变换,序列傅立叶变换存在的条件是满足绝对可和或平方可和，但对周期序列这两个条件都不满足，因为当 时，序列的值或平方值都不趋于0。
3、若引入频域的冲击函数 ，也可求得其傅立叶变换。,周期为N的周期序列 的傅立叶变换为：,傅立叶反变换为：,参见P87页例题,8,2 离散傅立叶变换,问题的引入：,由第二章曾讨论过的“序列的傅立叶变换”我们知道：序列的傅立叶变换就是序列的频谱，它是数字频率 的连续变量函数，且序列的长度不受限制。但在实际利用计算机或数字设备进行频谱分析时，只能处理有限长数据且必须将 离散化。 有限长序列的傅立叶变换及频率离散化问题离散傅立叶变换（DFT）,版权所有 违者必究,第三章第1讲,9,有限长序列的离散傅立叶变换,DFT的定义,长度为N的因果序列 其频谱为：,上式中仅管 是离散序列，但 却是连续变量，且 是
4、的周期为 的周期函数，故实际上只需计算 在区间 上的值。同时，由于 为连续变量，在 中有无限多个点，而实际只能计算有限个点，故必须将 离散化。,版权所有 违者必究,第三章第1讲,10,有限长序列的离散傅立叶变换,在 上从0开始等间隔的取N个点，相应的 （k=0,N-1),则上式变为：,定义式,其中 为序列 在离散频率点 上的频谱值。,版权所有 违者必究,第三章第1讲,11,DFT的意义,有限长序列的离散傅立叶变换,离散傅立叶反变换(IDFT),版权所有 违者必究,第三章第1讲,12,DFT的周期性以及与DFS的关系,有限长序列的离散傅立叶变换,将由有限长序列 以N为周期进行延拓后所得的序列记为
5、 ，并称原 为 的主值区。其中 表示 对N除法求余，即若 则,，例如：,版权所有 违者必究,第三章第1讲,13,有限长序列的离散傅立叶变换,有限长序列 的DFT 与周期序列 的DFS 之间的关系,DFT与Z变换的关系,可见序列的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上N点的等间隔采样。显然，对于同一序列当频率采样点数不同时，其DFT的值也不同。,有限长序列 与周期序列 的关系,有限长序列 是周期序列 的主值序列，即：,版权所有 违者必究,第三章第1讲,14,例1：,典 型 例 题,已知 ，分别求 和 时的 。,解：,由该例可知：频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT 的结果也不同。,版权所有
6、 违者必究,第三章第1讲,15,DFT的性质,离散傅立叶变换的性质,版权所有 违者必究,第三章第1讲,16,循环移位示意图,循环移位的实质：将原序列 左移 位，而移出主值区的各序列值又依次从右侧进入主值区。,离散傅立叶变换的性质,版权所有 违者必究,第三章第1讲,17,离散傅立叶变换的性质,DFT的性质,3、频域移位定理,4、共轭复序列的DFT,5、共轭对称性,实部,虚部,版权所有 违者必究,第三章第1讲,18,离散傅立叶变换的性质,说明： 和 均是有限长序列，定义区间为（0N-1），与第二章中的对称性不同，这里所谓的对称是指关于N/2点的对称，而不是关于原点的对称。,版权所有 违者必究,第三
7、章第1讲,19,离散傅立叶变换的性质,例：,设 ， 和 为实序列， 已知 求: 和,解：,版权所有 违者必究,第三章第1讲,20,离散傅立叶变换的性质,DFT的性质,6、循环卷积定理,设 和 是两个具有相同长度N的有限长序列，定义循环卷积：,7、频域循环卷积定理,版权所有 违者必究,第三章第1讲,21,离散傅立叶变换的性质,例：,已知 作N=8的循环卷积,版权所有 违者必究,第三章第1讲,22,离散傅立叶变换的性质,版权所有 违者必究,第三章第1讲,23,离散傅立叶变换的性质,DFT的性质,8、循环相关定理,设 和 是两个具有相同长度N的有限长实序列，定义以下序列为 和 的循环互相关序列：,9
8、、Parseval定理,版权所有 违者必究,第三章第1讲,24,离散频率、数字频率和模拟频率间的关系,模拟频率,离散（信号数字）频率,或 ，分别表示模拟频率与模拟角频率。单位分别为赫兹（Hz）和弧度/秒（rad/s）。两者关系为：,版权所有 违者必究,第三章第1讲,25,离散频率、数字频率和模拟频率间的关系,数字频率,它是将离散（信号数字）频率 离散化后的结果，用 表示。 ，因此可得出离散频率 、数字频率 和模拟频率 之间的对应关系为：,以上所讨论的三种频率变量之间的关系，在对模拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数字滤波器乃至整个数字信号处理中十分重要，望同学们高度重视。,26,3 频域
9、采样定理,版权所有 违者必究,第三章第1讲,27,频域采样不失真恢复的条件,频域采样后能不失真恢复原序列的条件,频率离散化的采样点数N必须大于序列的长度L,【推导过程】,设 的长度为 （没有限制）,欲恢复原信号，即,版权所有 违者必究,第三章第1讲,28,频域采样不失真恢复的条件,由该式可知： 是原序列 的周期延拓，周期为N，然后取主值。,版权所有 违者必究,第三章第1讲,29,频域采样不失真恢复的条件,结论：若序列长度为L，频域采样点数（或DFT 的长度）为N，且LN，则频域采样后不能不失真地恢复原序列。,版权所有 违者必究,第三章第1讲,30,内插公式,用X(k)表示X(z),版权所有 违者必究,第三章第1讲,31,内插公式,用X(k)表示X(ej),版权所有 违者必究,第三章第1讲,32,内插公式,以上所讨论的两种情形的内插公式是用频域采样法设计FIR数字滤波器重要的理论基础，虽然此处无从体现，但后面有关FIR数字滤波器的结构与设计中常用到这些结论。,版权所有 违者必究,第三章第1讲,33,内插函数零极点与（）的幅频特性示意图,内插公式,版权所有 违者必究,第三章第1讲,34,典 型 例 题,解：,