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1、1,第三章 刚体力学 4学时,一、刚体运动分类及动力学方程,外力作用下物体各部分之间相对距离保持不变,刚体的运动分为两类：,平动刚体运动时各个时刻，其上任意一条直线始终彼此平行,特点：其上任意一点的运动可代表全体质点,转动刚体运动时其上所有质点均绕某一直线沿圆形路径运动,特点：其上各点的速度一般不同不能看成一个质点,刚体,2,更一般的情况平动与转动兼而有之 可证明刚体的,一般运动,1、对定轴转动问题,分解成：o点的平动+各点绕o点的转动,2、转轴有平动的问题,质心的平动+ 各点绕质心的转动,其上任一点的平动,+其它各点绕那点的转动,3,可以证明：不论刚体做如何复杂的运动，其质心那一点的运动由,
2、分别为质心点的加速度、速度、位置矢量,质心运动定律,一般运动其上任一点平动+其它各点绕 那点 的转动,4,关于质心,推广到n质点系,两质点系,5,推广到质量连续分布的刚体,推广到n质点系,6,上章曾给出一个角动量定理（质点系）,质点组,一般运动其上任一点平动+其它各点绕 那点 的转动,对任何惯性系成立,对定点和质心成立,不论运动与否,重点刚体的定轴转动,7,二、定轴转动,1、定轴转动的转动定理,定轴转动特点：,规定：角速度的方向与刚体的转动方向成右手螺旋关系,3所有质点d/dt=一样,刚体上所有质点的角速度相等,2 dS/dt=v各不同,1转轴方位始终不变,8,定轴转动轴上一点的平动+绕轴的转
3、动,9,这相当于,FM,PLz,m(?),即,惯性质量,转动惯量,10,质量元mi对o点的角动量,投影到z方向：,刚体的总角动量取z分量,2、转动惯量,转动惯量,11,下面求几个简单问题中的转动惯量,mi :刚体上第i 个质点的质量,Ri:第i个质点到转轴的垂直距离,例：,转动惯量与轴的位置有关,转动惯量与质量分布有关,定轴转动问题中的转动定理,12,13,均匀细杆绕z轴的转动惯量。质量m，长度L=a+b,b,特别：,1、当 a=b=L/2,2、当a=0,b=L,14,竿子长些还是短些安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,转动惯量的大小取决于刚体的质量、分布及转轴的位置,转动惯量、转动定
4、律实际例子：,例1：,15,16,平行轴定理与正交轴定理,1、平行轴定理,2、正交轴定理,17,18,一维运动,定轴转动,定轴转动情况下的转动定理,19,例：求装置中的加速度,1、画三个物体的受力图,2、标定各物体的加速度方向,3、列运动方程,对滑轮用转动定理,4、找“约束关系”,假定绳子在滑轮上不打滑，则a与之间有关系约束关系,20,约束关系绳子的速度=m1 ，m2的速度=轮边缘点的速度,由（1）（4）解出,21,例：将杆由=600静止释放。 1）求任意处杆的角加速度？,由转动定理,对o点,c,2）求任意处杆的角速度 ？,由定义,22,3）求任意处杆质心的速度 和加速度,任意处,问：求任意处
5、杆端点的速度和加速度？,质心做半径为L/2的圆周运动,23,4）求水平瞬间杆的,24,5）求杆水平瞬间杆施加于轴点处的力？,此时转动定理已不便使用？,可应用质心运动定理,由,支点对杆的力,力的方向？,由牛顿第三定律杆对支点的力,力的方向？,25,三、定轴转动的角动量定理及角动量守恒定理,由转动定理,有,定轴转动的角动量定理,力矩在时间t内的冲量矩,力矩的时间累积效应是使刚体的角动量发生变化,特别：当Mz=0时有Lz=恒量,定轴转动的角动量守恒定理,积分形式,微分形式,26,瞬时关系,涉及t = t +dt 一段无限小时间间隔,涉及0 t 一段时间间隔,27,（1）对单一刚体,当Mz=0时有Lz
6、=J=恒量,J一定时则=恒量,J变化时成反比变化,例如：光滑桌面上杆的定轴转动,对z轴，桌面的支撑力，重力不产生力矩，设轴处光滑（无摩擦力矩）所以Mz=0Lz=J=恒量,J不变也不变,但若桌面粗糙有摩擦,摩擦力对o点的力矩将使杆的Lz发生变化 发生变化,28,z,设t=0时=0 求,t 时刻的角速度？或,角速度变为0时的时间t ?,由角动量定理,即,或,？,29,你会求下列问题吗？,杆与桌面之间的摩擦系数均为。,绕杆的中点旋转,绕杆上的任意一点旋转,桌面上均匀薄圆盘绕中心轴旋转,设开始的转动角速度为0，求当刚体静止下来时所经历的时间,30,（2）系统由两部分组成,由M=0有Lz=恒量,没有合外
7、力矩使得系统的总角动量不变，但由于内力矩的存在会导致各个部分的角动量发生变化,31,例：刚体-刚体 工程上常用摩擦啮合器使两飞轮的转速达到一致。两轮同轴。,开始12,现将两者靠拢。在啮合器之间的摩擦力f 的力矩作用下使两者转速达到一致设为.求,A,B,32,设两者对轴的转动惯量分别为J1, J2 。+z沿轴向右,接触前：,达到同速后：,令两者相等：,这里有一个符号问题应注意。若接触前两转轮转动方向如图,33,又问：在啮合期间0t A轮受到的冲量矩多大？,以A为对象：由定义：该时间内A受到的冲量矩为,由角冲量定理：,又由内力矩之合为0,？,34,此时系统对z轴的角动量：,是什么意义？,人对盘的角
8、速度,相对地面的角速度,-,人对地的角速度如何？,例：刚体-质点 水平转台轴光滑。开始时盘连人对地以0匀速转动,若人垂直半径相对盘以v沿与盘转向相反的方向做圆运动，求此后盘对地的角速度,盘,人,35,设盘由0；人由0 ,人走动后：,系统角动量守恒,盘,人,/,/,/,36,例质点-质点 两个质量为m的小球用长为l的轻杆连接起来，放在光滑水平桌面上。给其中一球以垂直与杆方向的速度v0,求此系统的运动规律和杆中张力的大小？,质心点做匀速直线运动,两球绕质心做匀速圆周运动,37,四、刚体定轴转动的功和能,第i个质点的动能,整个刚体的总动能,再看使之转动的力的功,38,设力F在与z轴平行的平面内。在力
9、的作用下，力的作用点位移,该微小过程中力F的元功dA,由动能定理：,z,定轴转动的动能定理,39,定轴转动的动能定理,若外力F为保守力，可以引入与之相关的势能函数Ep 使,则有定轴转动的机械能守恒定理,由平行轴定理,所以定轴转动刚体的机械能可写为,40,质心平动动能,绕质心的转动动能,绕定轴的转动动能,定轴转动的刚体在只有重力势能情况下的机械能有两种表示方法,41,例质点-质点 两个质量为m的小球用长为l的轻杆连接起来，放在光滑水平桌面上。给其中一球以垂直与杆方向的速度v0,求此系统的运动规律和杆中张力的大小？,质心点做匀速直线运动,两球绕质心做匀速圆周运动,若m为两滑冰运动员，现两人同时收拢
10、细杆，当两者之间距离变为 l / 2 时各自的角速度变为多少？每个人在缩短距离时所做的功？,单个人对质心的转动惯量,已考虑到知质心的平动动能并未发生变化,在一切惯性系中成立,对两质点系统用动能定理,42,例：杆由水平以静止下摆到垂直瞬间与飞来的小球相碰，碰后以球v反弹。求碰后瞬间杆的角速度？,过程1：下摆过程机械能守恒,水平瞬间：,与小球碰撞前瞬间：,43,碰撞前瞬间：,以垂直纸面向外为+z的方向,碰撞后瞬间：,令,-,杆在与球碰撞前瞬间,过程2：杆球碰撞,相撞前后瞬间球与杆的总动量守恒吗？,相撞前后瞬间球与杆的总动能守恒吗？,条件,条件,-,热、声能,若为“完全弹性碰撞”相碰撞前后瞬间系统的
11、动能守恒,碰撞前后对支点有角动量守恒,44,五、回转运动,一、什么是回转运动,现假设有一均匀、对称的物体以很大的角速度旋转。我们要问：,1 如果该物体不受外力矩的作用，情况如何？,惯性运动1转轴的方向将保持不变 2角速度大小方向保持不变,2 如果该物体受外力矩的作用，情况如何？,1仍绕对称轴快速旋转 2对称轴绕竖直轴旋转起来 3自转方向反向时轴的旋转方向也反4即使=90也不会倾倒,“进动”,胡-玩具陀螺的进动,45,则 的作用不改变 的大小只改变其方向,当,二、回转运动的简单分析,46,设进动角速度大小为,可以证明1,p与无关，,2,力矩 的方向不依赖 及 的方向，故,方向,3自旋角动量 方向
12、反向， 必然跟着反向,4即使=/2飞轮也不会倒下,近似结果,p 时成立,47,回转效应在技术上有着广泛的应用,如鱼雷、火箭、导弹上的自动导航装置 列车、轮船上的稳定器,如地球除了绕自身轴旋转外就有进动 进动周期为26000年,进动虽然是一个古老的学科，但小到微观领域大到天体运动的研究，从小孩玩的陀螺到许多现代尖端技术都找得到进动现象的应用,微观领域：研究原子、分子、电子等微观粒子的运动 大范围内：天 体运动的研究,48,求达到稳定状态时两者的角速度,角动量守恒,故有,稳定状态时,1左右两边都应是”相对于同一点而言”等式才成立,2左边或右边如果不止一项,则每一项也都应是”相对于同一点而言”等式才成立,设达到稳态所用的时间为t,-,选定某一点如c1点,有系统的总角动量守恒吗?如不!又是为什么?,*讨论题,