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1、1,运 动 学,6.3 刚体的基本运动,2,刚体的基本运动:平动和定轴转动,研究刚体基本运动的目的: 研究复杂运动的需要 研究参考系的运动,内容: 1. 刚体整体运动的描述(物理量) 2. 刚体上各点的运动描述(速度,加速度),3,6.3.1 刚体的平移,4, 平移的实例,5, 平移的实例,6, 刚体的平移,7,定义,刚体在运动过程中,如果其上任一直线始终与的初始位置平行，这种运动称为平动。（直线平动和曲线平动）,如何识别?,正确区分点的直线运动与刚体平动,8, 刚体的平移,9,结论,当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。,平动刚体的运动特点,研究
2、刚体平动可归结为其上任一点的运动规律.,10, 平移刚体上各点的速度,11, 平移刚体上各点的加速度,12,在图示机构中，已知：O1A=O2B=l， O1O2=AB， AC=0.5BC。 O1A，O2B 与三角板铰接， O1A匀角速度 转动。,试问：,(1). 三角板ABC作什么运动？其角速度等于多少？,(2). 三角板BC边中点M的速度和加速度各为多少？, 思考题,13,A,B,O1,O2,l,l,M,C,vM=vB =r,aM=aB=r2,l,答：,(1). 因为三角板ABC作平移运动，所以其角速度等于零。,(2). 三角板ABC作平移运动，点M与点B有相同的速度和加速 度。,14,例 荡
3、木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，长度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为 ，其中 t 为时间，单位为s；转角0的单位为rad。试求当t=0和t=2 s时，荡木的中点M的速度和加速度。,15,由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。,为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为,将上式对时间求导，得A点的速度,解：,16,再求一次导，得A点的切向加速度,代入t = 0和t = 2，就可求
4、得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：,A点的法向加速度,17,6.3.2 刚体的定轴转动, 刚体的定轴转动, 转动规律, 角速度, 角加速度,18,当刚体运动时，如其上（或其延展部分）有一条直线始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动。 该固定不动的直线称为转轴。,当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。,二、刚体定轴转动的特点,一、 刚体的定轴转动,19,这就是刚体的定轴转动运动方程。 如已知这个方程，则刚体在任一瞬时的位置就可以确定。,刚体的位置可由角完全确定。角也称为角坐标，当刚体
5、转动时，角坐标随时间t而变化，因而可表示为时间t的单值连续函数,三、转动规律,1.刚体的转动方程,转角代数量(弧度),20,角速度,角加速度,2.转动刚体的角速度和角加速度,注意,角速度和角加速度是反映刚体整体运动的物理量，通常为代数量标转向,21,6.3.3 定轴转动刚体内各点的速度和加速度, 定轴转动刚体内各点的速度, 定轴转动刚体内各点的加速度,22,1.刚体上各点速度分布,x,s,y,R,M,O,M0,结论： 转动刚体内各点的速度大小 与该点到转轴的距离R呈正比； 方向与R相垂直且与转向一致。,23,即，定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半径与刚体角加速度的乘积。式中和a
6、t具有相同的正负号。,点M的加速度包含两部分：切向分量和法向分量。,或,O,a,M,v,an,at, 切向加速度,2.刚体上各点加速度分布,24,不难看出，当和正负相同时，切向加速度at和速度v有相同的指向，这相当于加速转动；当和正负不相同时，则at与v有相反的指向，这相当于减速转动。,O,a,M,v,an,at,O,a,M,v,an,at,25,即，定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点转动半径与刚体角速度平方的乘积。法向加速an恒向轨迹的曲率中心即圆心O，因此也称为向心加速度。, 法向加速度,或,26, 总加速度,它与半径MO的夹角（恒取正值）可按下式求出,或,显然，当刚体作加速转动时
7、，加速度a偏向转动前进的一方；当减速转动时，加速度a偏向相反的一方；当匀速转动时a指向轴心O。,27,平面上各点加速度的分布如图。, 加速度的分布规律,结论： 定轴转动刚体内各点的加速度大小与该点到转轴的距离R呈正比;方向与其转动半径R的夹角都相同。,28,例 长为l的杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度如图所示,大小为a,方向与OA夹角为q。则该瞬时杆转动的角速度及角加速度为 。,解(1)根据全加速度确定其切、法向加速度大小：,(2)根据切、法线方向加速度确定角及角加速度：,29,思考例：绳子的一端绕在滑轮上，另一端与置于水平面上的物块B相连，若物块B的运动方程为：x=kt2 ，其中
8、k为常数，轮子半径为R。则轮缘上A点的加速度的大小为 。,解:(1) 根据B物块的运动方程，确定B的速度、加速度大小：,(2) 根据物块与滑轮的运动关系，有：,(3) 根据A点速度来确定其法向加速度，有：,(4) 确定全加速度大小：,30,例 滑轮的半径r=0.2 m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图）。已知滑轮绕轴O的转动规律=0.15t3 ，其中t以s计， 以rad计。试求t=2 s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。,31,首先根据滑轮的转动规律 =0.15t3 ，求得它的角速度和角加速度,代入 t =2 s， 得,轮缘上 M 点上在 t =2 s 时
9、的速度为,解：,32,A,O,M,轮缘上 M 点在 t =2 s 时的加速度的两个分量,总加速度 aM 的大小和方向,33,A,O,M,因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有,它们的方向铅直向下。,34,轮系的传动比,主动轮和从动轮的角速度比值称为传动比。,35,6.3.4 用矢积表示刚体上点的速度与加速度, 用矢积表示刚体上点的速度, 用矢积表示刚体上点的加速度, 用矢量表示角速度与角加速度,36,3 角速度矢量和角加速度矢量,
10、 角速度矢, 角加速度矢,大小:同前 位置:转轴 指向:右手法则,37,用矢积表示刚体上点的速度与加速度,定轴转动刚体内任一点的速度，可以由刚体的角速度矢与该点的矢径的矢积来表示。,38,用矢积表示刚体上点的速度与加速度,定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积，而法向（向心）加速度等于刚体的角速度矢与该点速度的矢积。,39,例 刚体以角速度绕定轴Oz转动，其上固连有动坐标系Oxyz（如图），试求由O点画出的动系轴向单位矢i，j，k 端点A，B，C的速度。,解：,泊松公式,40,沿刚体的转轴z画出一个矢量=k （其中k为轴z的单位矢），称为刚体的角速度矢。, 角速
11、度矢,定轴转动刚体的角速度矢被认为是滑动矢量，可以从转轴上的任一点画出。,它的作用线表示出转轴的位置，而它的模则以某一比例表示出角速度的绝对值。的指向由右手规定决定。,1. 用矢量表示角速度与角加速度,41,同样，可以用矢量=k 表示刚体的角加速度，它也是滑动矢量，沿转轴z画出。它的大小表示角加速度的模，它的指向则决定于的正负。, 角加速度矢,42,定轴转动刚体内任一点M的速度v 的大小为 。由于 ，因而,根据矢积的定义，矢积r 的模也等于 ，它的方向也与速度v的方向一致，故有矢积表达式,定轴转动刚体内任一点的速度，可以由刚体的角速度矢与该点的矢径的矢积来表示。,2. 用矢积表示刚体上点的速度
12、,43,将上式左右两边对时间求矢导数。左端的导数为点M的加速度，而右端的导数为,式中第一个矢积r的模为,O1,3. 用矢积表示刚体上点的加速度,速度的矢积表达式,逐项分析,44,这矢积垂直由转轴z和转动半径O1M决定的平面 OO1M，它的指向与图中自点O 画出的矢量一致。可见，矢积r 按大小和方向都与点M的切向加速度at相同。,故有矢积表达式,45,这矢积同时垂直于刚体的转轴和点M的速度v，即沿点M的转动半径R，并且按照右手规则它是由点M指向轴心O1。可见，矢积v 表示了点M的法向加速度an ，即有矢积表达式,第二个矢积v 模为,O1,46,于是，得点M的总加速度的矢积表达式,定轴转动刚体内任一点的切向加速度，可由刚体的角加速度矢与该点矢径的矢积表示，而法向（向心）加速度，则由刚体的角速度矢与该点速度的矢积表示。,47,例 刚体以角速度绕定轴Oz转动，其上固连有动坐标系Oxyz（如图），试求由O点画出的动系轴向单位矢i，j，k 端点A，B，C的速度。,解：,泊松公式,