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1、1,第三章 多维随机变量及其分布,关键词：二维随机变量 联合分布 边缘分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布,二维随机变量,例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。,问题的提出,3,例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。,定义： 设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)
2、叫做二维随机向量或二维随机变量。,1 二维离散型随机变量,定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。,（一）联合概率分布,6,为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布律。可以用如右表格表示：,离散型随机变量的联合概率分布律：,分布律的性质,8,例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数 中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y 在1X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y) 的联合概率分布。,9,解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整数。,10,即(X,Y)的联合概率分布为：,11,对于离散型随
3、机变量(X,Y)，分布律为,X,Y的边际（边缘）分布律为：,（二）边际分布,注意：,14,15,（三）条件分布,17,由条件概率公式可得：,当i取遍所有可能的值，就得到了条件分布律。,定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量, 对于固定的 ，,19,同样，对于固定的 ，,求：(1)a,b的值； (2)X=2条件下Y的条件分布律； (3)X+Y=2条件下X的条件分布律。,例4：(X,Y)的联合分布律为,21,解： (1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4,22,例5：盒子里装有3只黑球，2只红球，1只白球，在其中 不放回任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求:
4、 (1)X，Y的联合分布律； (2)X=1时Y的条件分布律； (3) Y=0时X的条件分布律。若采用放回抽样呢？,24,解：采用不放回抽样，X, Y的联合分布律为,25,采用放回抽样，X, Y的联合分布律为,例6：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。,27,解：,28,称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。,2 二维随机变量的分布函数,（一） 分布函数,定义：设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y，二元函数,分布函数 的性质,二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布
5、函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数, 记为： 称为边缘分布函数。,（二） 边际（边缘）分布函数,34,事实上，,定义：条件分布函数,（三） 条件分布函数,36,3 二维连续型随机变量,（一） 联合概率密度,39,例1：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：,41,43,例2：设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为,45,对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为,（二） 边际（边缘）概率密度,X,Y的边际概率密度为：,对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为,48,事实上，,同理：,例3：(续上例)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为,50,定义：条件概率密度,（三） 条件概率密
6、度,52,53,事实上，,例4：设有一件工作需要甲乙两人接力完成，完成时间不能超过30分钟。设甲先干了X分钟，再由乙完成，加起来共用Y分钟。若XU(0, 30)，在X=x条件下，YU(x, 30)。 (1) 求(X, Y)的联合概率密度以及条件概率密度 ； (2) 当已知两人共花了25分钟完成工作时，求甲的工作时间不超过10分钟的概率。,55,56,57,二维均匀分布与二维正态分布,（1）若二维随机变量(X,Y)在二维有界区域D上取值，且具有概率密度,则称(X,Y)在D上服从均匀分布。,59,例5：设二维随机变量(X,Y)在区域,内均匀分布，求条件概率密度,61,解： 根据题意，(X,Y) 的
7、概率密度为：,Y的边缘概率密度为：,62,于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：,二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布,68,69,71,4 随机变量的独立性,例1：3例1中X和Y是否相互独立？即(X,Y)具有概率密度,74,解：计算得，X和Y的边缘概率密度分别为：,75,请问：连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？,77,80,83,一般n维随机变量的一些概念和结果,边缘分布,87,88,相互独立,定理1： 定理2：,91,5 两个随机变量的函数的分布,94,96,98,100,102,例4：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。,104,解：由卷积公式：,1
8、05,一般：设X,Y相互独立，,例5：X,Y相互独立，同时服从0,1上的均匀分布，求 的概率密度。,107,解：根据卷积公式：,易知仅当,参考图得：,例6：设随机变量（X,Y）的联合概率密度为,记Z=X+Y，求Z的概率密度。,109,参考图得：,例7：某人一天做两份工作，一份工作的酬金X为10元、20元、30元的概率各为1/3,另一份工作的酬金YN(15,4).设X,Y相互独立，记一天的酬金总数为Z，Z=X+Y。求 (1)Z的概率密度； (2)求一天酬金多于30元的概率。,111,解: (1)先求Z的分布函数，利用全概率公式,112,114,设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分
9、布函数分别为： 则：,推广到n个相互独立的随机变量的情况,116,118,119,例9：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联结的方式分别为：(1)串联；(2)并联；(3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率密度分别为：,121,试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。,(1)串联的情况 由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)； 而X,Y的分布函数分别为：,123,故Z的分布函数为：,即Z仍服从指数分布,Z的概率密度为：,(2)并联的情况 由于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为：,Z的概率密度为：,(3)备用的情况 由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y； 因此：,126,127,课件待续!,