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1、,2.2 三视图的形成及其投影规律,2.3 点的投影,2.4 直线的投影,2.5 平面的投影,第二章 正投影的基本原理及三视图,2.1 投影的形成与常用的投影方法,2.6 直线与平面以及两平面的相对 位置,2.7 换面法,2.1 投影的形成与常用的投影方法,一、投影的形成与分类,1.投影的形成,(1)中心投影法：, 平行投影法：,斜投影,正投影,二、正投影的基本特性,1.一般性, 特殊性,积聚性 平面ABC 直线 EF 垂直于投影面,真形性 平面ABC 直线 EF 平行于投影面,2.2 三视图的形成及其投影规律,一、 建立三面投影体系的必要性,单一平面的投影不能建立投影与立体的一一对应关系。,
2、两个投影面体系能建立投影与立体的一一对应关系。,两个投影面体系不能建立投影与立体的一一对应关系。,二、三投影面体系的建立及三面投影的展开,V 面不动，H 面往下旋转90，W 面往右旋转90,三投影面的展开：,三视图的投影规律： 长对正、宽相等、高平齐,三视图的投影与立体的方位关系：,例题1：根据立体图及主视图、俯视图，画出左视图。,例题1：根据立体图及主视图、俯视图，画出左视图。,2.3 点的投影,A,一、点的三面投影,点的投影规律： 点的三面投影符合长对正、宽相等、高平齐的规律。,二、两点之间的相对位置,A 点在B 点的左方、后方、下方,例题2：已知A点的投影，B点在A前方10毫米，右方12
3、 毫米，上方8毫米。求作B点的三面投影。,三、重影点,A 点在B 的正上方,2.4 直线的投影,一、特殊位置直线,1.投影面的垂直线 正垂线,正垂线的投影特性：,直线的正面投影积聚为点,在另外二投影面上的投影垂直于相应的坐标轴并反映实长。,铅垂线,铅垂线的投影特性：,直线的水平投影积聚为点,在另外二投影面上的投影垂直于相应的坐标轴并反映实长。,侧垂线,侧垂线的投影特性：,直线的侧面投影积聚为点,在另外二投影面上的投影垂直于相应的坐标轴并反映实长。,2.投影面的平行线 正平线,正平线的投影特性：,直线的正面投影反映实长和夹角、,在另外二投影面上的投影平行于相应的坐标轴。,水平线,水平线的投影特性
4、：,直线的水平投影反映实长和夹角、,在另外二投影面上的投影平行于相应的坐标轴。,侧平线,侧平线的投影特性：,直线的侧面投影反映实长和夹角、,在另外二投影面上的投影平行于相应的坐标轴。,二、一般位置直线,一般位置直线的投影特性：,一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长和夹角。,三、直线与点、两直线的相对位置,1. 直线与点的相对位置,直线上点的投影必定在直线的投影上。,点K 不在直线EF 上。,例题3：判别点K 是否在直线EF 上。,2.两直线的相对位置,(1)两直线平行,由正投影的基本特性可知：空间两直线若相互平行，则其同面投影必相互平行。反之，若两条直线的各组同面投影相互平行，则两直线
5、在空间必相互平行 。,(2)两直线相交,若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且其交点的投影必符合空间点的投影规律（交点是两直线的共有点，其投影的连线垂直投影轴）。反之亦然。,(3)两直线交叉,两直线在空间既不平行又不相交时，即为交叉。交叉两直线的某一投影可能平行，但不可能所有投影都相互平行；也可能各组投影都相交，但各组同面投影的交点不符合点的投影规律。,(4)两直线垂直,两相交直线空间垂直（即为直角）。且其中有一条直线为该投影面的平行线，则两直线在该投影面上的投影必相互垂直（即为直角）。此投影特性也称为直角投影定理。 反之，若相交两直线在某一投影面上的投影相互垂直，且其中一条直线为该投影面的
6、平行线，则两直线在空间必定相互垂直。同样，这条性质也适用两直线交叉垂直 。,例题4：作直线MN 与直线AB、CD 和EF 相交并和直线 CD垂直，交点为M、K、N。,2.5 平面的投影,A 面是投影面的平行面，B 面是投影面的垂直面，C 面是一般位置平面,一、特殊位置平面,1.投影面的垂直面 正垂面,正垂面的投影特性：,平面的正面投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投影反映类似形。,铅垂面,铅垂面的投影特性：,平面的水平投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投影反映类似形。,侧垂面,侧垂面的投影特性：,平面的侧面投影积聚为一直线。在另外二投影面上的投影反映类似形。,2.投影面的平行面 正平面,正
7、平面的投影特性：,平面的正面投影反映实形。在另外二投影面上的投影积聚为平行于相应坐标轴的直线。,水平面,水平面的投影特性：,平面的水平投影反映实形。在另外二投影面上的投影积聚为平行于相应坐标轴的直线。,侧平面,侧平面的投影特性：,平面的侧面投影反映实形。在另外二投影面上的投影积聚为平行于相应坐标轴的直线。,一般位置平面,一般位置平面的投影特性：,一般位置平面在各个投影面上的投影都是类似形。,例题5：点K 在平面ABC 上并且已知K的正面投影k， 试作出K点的水平投影k 。,例题6：在平面ABC 上作出属于平面内的一条水平线和一条正 平线。,2.6 直线与平面以及两平面的相对位置,一、平行问题,
8、1.直线与平面平行,几何定理：若直线(EF)平行于平面(ABC)上的某一条直线(BD)，则该直线(EF)与平面(ABC)平行。,2.平面与平面平行,几何定理：若一平面的两条相交直线(AB、CD)对应平行于另一平面上的两条相交直线（DE、EF），则两平面平行。,(1)在水平投影中先求直线EF与平面ABC的交点k，由k返回到ef 上求出k 。,(2)由水平投影可确定EK在前，平面ABC在后，所以正面投影中ek为可见，另一段为不可见。,二、相交问题,1.直线与平面相交,(2)在正面投影中连bg求出k。,(3)由重影点的正面投影1(2 )求出水平投影分别是1在平面ABC上，在直线EF上。即平面在前，直
9、线在后，k 到1(2 )为虚线。,(1)过e(f)点，作辅助线bg，交ac于g。,例题7：求直线EF与平面ABC 的交点。,(2)在正面投影中求mn与ef交点k。返回H面投影，求出k。,(3)水平投影中的可见性作如下判别：由交叉直线EF与BC的重影点判别可见性。在直线EF上，靠上方，在直线BC上，靠下方。故直线段ek可见。,(4)由正面投影的可见性判别方法得ek可见。,(1)在水平投影中过ef作铅垂面RH，求出RH与平面ABC的交线MN(mn，mn,)。,例题8：求直线EF与平面ABC 的交点。,(3)可见性由观察法来完成。平面ABC与平面EFHG在水平投影的前后来判别。在mn的右侧平面ABC
10、在前，在mn左侧平面EFHG在前。,(4)在图中可看出可见性在两平面的相交区域，虚线和实线是交替变化的。,2.平面与平面相交,例题9：求平面ABC与平面EFHG 的交线。,(1)由铅垂面的积聚性，在水平投影中求出平面ABC与平面EFHG的交线mn。,(2)由m得到正面投影m， 由n得到正面投影n。,三、垂直问题,1.直线与平面垂直,一条直线垂直于平面内的两条相交直线。该直线与平面垂直。,2.平面与平面垂直,若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直。,2.7 换面法,换面法就是变换投影面法。在工程实际中为解决几何元素的定位和度量问题，将几何元素由一般位置通过变换投影面法转换为特殊位置，以达到解决
11、问题的目的。如在新的投影面上能得到直线AB的实长和平面ABC的实形。,一、换面法中确定新投影面的原则,新投影面必须垂直于原投影面体系中一个不变的投影面。 新投影面必须使空间几何元素对其投影有利于定位和度量。,二、换面法中点投影的变换规律,点的投影变换规律： 点的新投影与不变的旧投影的连线垂直于新的投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的旧投影到旧投影轴的距离。,1.点的一次换面,作新投影面H1垂直于V面，用以代替H面，就形成V/H1体系。其中V面为不变的投影面，H为旧投影面。由点的投影规律：aa1O1X1，aaXa1aX1 确定a1投影。,2.点的二次换面,点的第一次换面：aa1X1，
12、a aX = a1 aX1； 点的第二次换面：a1a2X2 ；aaX1=a2aX2。,三、四个基本问题,1.将一般位置直线变换成投影面的平行线,变换V面，AB在V1 /H 面中是正平线。由点的一次换面得到a1b1。a1b1是直线AB的实长。a1b1与X1的夹角为直线 AB与H 面的夹角。,2.将一般位置直线变换成投影面的垂直线,将一般位置直线变换成投影面的垂直线，换一次面是不行的。H2与原投影面V、H 均不垂直。 将一般位置直线变换成投影面的垂直线必须二次换面。变换V 面，AB 在V1 /H 面中是正平线。由点的换面得到a1b1。再变换 H 面，AB 在V1 /H2 面中是铅垂线。由点的换面得
13、到a2(b2)。,3.将一般位置平面变换成投影面的垂直面,先在平面EFG 内任取一条投影面H 面的平行线，如水平线 E1。再变换V 面，使E1 在V1 /H面中是正垂线，那么平面在V1 /H面中必积聚成一条直线，同时反映平面EFG 与H面的夹角。,4.一般位置平面变换成投影面的平行面,将一般位置平面变换成投影面的平行面，换一次面是不行的。如图 H2 与原投影面V、H 均不垂直。 将一般位置平面变换成投影面的平行面必须二次换面。先变换V 面，使平面ABC 在V1/H 面中是正垂面。再变换 H 面，使平面 ABC 在V1 /H2 面中是水平面反映实形。,例题9：求点 E 到直线 AB 的距离 。,例题10：求交叉直线 AB 和 CD 的最短距离 KL。,b,例题11：求出平面 ABCDE 和平面 CBGH 的夹角以及平 面 ABCDE 的实形。,求出平面 ABCDE 和平面 CBGH 的夹角：,求出平面 ABCDE 的实形：,本章结束,