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1、杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统。杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在机械、建筑等领域承担着重要角色。根据构件两端的连接形式和载荷作用点不同，导致构件内的受力状态不同，从而将构件分为杆和梁。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件成为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限元法中将上述两种单元称为杆单元和梁单元。实际中，由杆件组成的平面和空间结构系统，其上的受力往往是轴力、扭矩、横向力、弯矩联合作用，杆件的轴线方向也是相互交错，因此，对杆件系统的分析，必须涉及杆单元与梁单元的组合，以及单元矩阵从局部坐标到总体坐标的转换.,杆梁结构的单元划分一般都按杆梁的自然连接进
2、行，即两铰接点之间的构件为一个单元，当然，对于梁结构，考虑到集中载荷作用点、截面变化点和分布载荷突变点应设置节点，也可将一根梁构件划分为多个梁单元,如下图中的梁结构。,如图为只受扭转的杆单元。同上分析，只需将相应的变量和符号进行替换，可得扭力杆的刚度矩阵：,假设杆只承受扭矩，只有绕轴线扭转变形，即自由扭转，所以，每个节点只有一个回转自由度，单元有两个自由度。常称为扭力杆单元。实际结构中，除圆截面杆外，其他截面的杆扭转变形后，截面不再保持平面，会发生翘曲；同时，很多截面受扭转变形时，并不是绕截面形心转动，会复杂的多。,10 梁单元,10.1 简单梁单元 一、节点位移与节点载荷,对图(a)直梁，根
3、据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。梁单元节点的物理模型是“焊接”。,梁上任一节点i处有2个位移分量：挠度 及转角 。,对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力 和弯矩 ，称为广义力。,梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。,二、简单梁单元的单元特性,单元有2个节点，节点局部编号：i，j 。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移分量4个自由度；,分析一个从上述梁结构中取出的典型梁单元 e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。,单元的描述：,注意： 如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正
4、方向的定义不同！ 节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。,结构中的一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对该梁单元的作用力，称为单元节点力。每节点2个节点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对应）。,单元特性研究,结构中的一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的弹性特性（刚度特性）。,下面根据材料力学结果和单元刚度矩阵物理意义建立梁单元特性。,上式就是梁单元的刚度方程。 称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。,为了求刚度矩阵元素，在上式中令：,第1列刚度系数就是第1个节点位移分量
5、为1，其他位移分量皆为0时所有节点力分量。,确定刚度系数如下：,按材料力学梁变形公式求节点力如下：,挠度：,转角：,联立解出：,再由梁单元的静力平衡条件得：,至此已求出刚度矩阵的第一列元素。,再设：,同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素：,同样的方法可以求出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵：,显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质： 1）对称性； 2）奇异性； 3）主对角元素恒正。,刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定。,单元刚度方程的分块：,采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程按节点进行分块。,单元节点力列阵分块：,单元节点位移列阵分块：,分块
6、形式的单元刚度矩阵：,上述每一子块均为21子列阵。,每一子块均为22子矩阵,上式按分块形式展开，得两个矢量方程（共4个代数方程）：,上述按分块形式表示的单元节点力与节点位移之间的关系在结构的整体分析时更简洁。,因此，单元刚度方程分块形式表示为：,三、离散结构的整体分析,设已知分块形式的各单元特性：,以离散结构的各节点作为隔离体，以节点2为例，分析其受力平衡。,单元节点力的反作用力,外载荷,单元节点力,单元节点力,节点2的受力分为两类： 1）外载荷： 2）单元（1）和（2）上节点力的反作用力：,由节点2的静力平衡条件得：,单元节点力的反作用力,外载荷,单元节点力,单元节点力,节点2的外载荷等于节
7、点2对其所有相连单元的节点力之和！ 也就是节点2所受外载荷 要分配到相连的单元上。,由前面给出的单元（1）、（2）分块形式单元刚度方程代入节点2的平衡方程：,同理，由节点3的平衡可得：,由节点1、4的平衡得：,将上面4个节点的平衡方程合并，写成矩阵形式得：,（请同学们课后练习）,上式简写为：, 结构有限元平衡方程,结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。 由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。 总刚度矩阵中有大量元素为0，因此矩阵具有稀疏性。 非零元素沿主对角线呈
8、带状分布（节点编号满足一定条件）。 总之，从前面弹簧、直杆和这里梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以初步归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下： 1）对称性；2）奇异性；3）稀疏性；4）非零元素带状分布,结构总刚度矩阵的讨论：,结构有限元平衡方程的讨论：,平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献。 平衡方程右端是各节点外载荷。因此，有限元平衡方程代表了系统各节点所受外载荷与所受单元反作用总力之间的平衡。 结构的有限元平衡方程可以叙述为：节点内力 = 节点外载荷。 对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支
9、反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。,10.2 平面内一般梁单元,拉伸、弯曲组合,平面梁单元,节点自由度：3,一、单元与节点,单元有2个节点：i，j 局部坐标系下节点位移分量： 轴向位移： 横向挠度： 转角： 局部坐标系下节点力分量： 轴向力： 横向剪力： 弯矩： 单元有6个位移分量 6个自由度 单元节点位移列阵： 单元节点力列阵：,单元描述：,二、局部坐标系下平面梁单元,建立单元特性方程,在小变形假设下，梁的轴向变形和弯曲变形互不偶合。可以分别研究两种变形模式下的刚度特性。,因此，组合变形下的平面梁单元刚
10、度方程可以由该局部坐标系下的轴向变形刚度方程（相当于一维杆单元）和弯曲变形刚度方程叠加而成：,上面刚度方程简写为：,分块形式：,其中：,刚度矩阵一个子块：,三、整体坐标系下刚度矩阵：坐标变换,局部坐标系下节点位移：,整体坐标系下节点位移：,节点位移矢量坐标变换：,考虑到节点转角 不变,节点变换矩阵：,单元节点位移列阵的变换：,单元坐标变换矩阵,单元节点力列阵的变换：,单元刚度矩阵的坐标变换：,将节点位移和节点力矢量坐标变换式代入局部坐标系下单元刚度方程：,四、平面刚架的整体分析,平面刚架整体分析的原理与弹簧系统、桁架、直梁的整体分析相同。 根据每个节点外载荷与结构的节点（内）力平衡得到系统的平
11、衡方程，再引入约束条件后求解。 总刚度矩阵由总体坐标下各单元刚度矩阵叠加得到：,总体平衡方程：,10.3 三维空间梁单元简介,一、单元功能：模拟三维刚架 二、单元特性分析,基本思路与平面梁单元相同： 先在局部坐标系下建立单元特性描述，再变换到总体坐标系下。,局部坐标系下节点位移：,单元有12个自由度,总体坐标系下节点位移：,局部坐标系下单元刚度特性分析,三维梁单元的变形模式为：轴向拉伸、2个主平面内弯曲、扭转变形的组合。 前面已经建立了局部坐标系下杆、简单梁的单元特性方程。利用材料力学中的扭转理论，按同样原理得到下列局部坐标系下单元的扭转刚度方程：,由于在小变形条件下上述变形互不偶合，分别建立这三种变形的刚度特性后进行拼装就可得到局部坐标系下三维梁单元的组合刚度特性。包括：一个拉压刚度矩阵、2个简单梁刚度矩阵、1个扭转刚度矩阵。,把上述3类刚度矩阵拼装后可得到三维梁单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵 ：,通过单元节点上位移矢量、转动矢量、节点力矢量、节点力矩矢量的三维坐标变换矩阵，导出总体坐标系下梁刚度矩阵。 原理与步骤同平面梁单元。,总体坐标系下三维梁刚度矩阵,小变形下节点线位移矢量和角位移矢量的变换：,其中：,局部坐标系对总体坐标系 的方向余弦矩阵。,则单元节点位移列阵的变换为：,单元坐标 变换矩阵,单元刚度矩阵变换：,