流体力学2011-第三章.PPT

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1、第三章 相似原理与量纲分析,第一章 流体力学的基础概念 第二章 流体力学的基本方程,理论流体力学,实验流体力学,基本概念,基本方法,处理数据简化方程,设计实验的基本要求,普通实验,数值实验,第一节 流体力学的模型试验和相似概念 第二节 相似判据 第三节 无量纲方程 第四节 特征无量纲数 第五节 量纲分析和定理,主要内容,原 型,模 型,缩小,应用举例,原 型,模 型,缩小,应用举例,缩小,原 型,模 型,应用举例,叶片,进气 排气,原型,放大,模型,应用举例,放大 流体介质不同,模 型,原 型,应用举例,放 大 流体介质不同,模 型,原 型,应用举例,应用举例,实际观测,转盘试验,第一节 流体

2、力学的模型试验和相似概念,流体力学实验通常是在实验室条件下对实际流动和原型流动进行模拟，即把原型流动模拟成实验室的模型流动。,流体力学问题的解决,实验研究的方法,实验室的模型流动真正能代表原形中的流动,原形和模型中物理过程的本质完全一致,流体力学的相似通常可分为,满足原形和模型中物理过程的本质完全一致所进行的模拟，称之为相似。,几何相似,运动相似,动力相似,几何相似,几何相似:要求就是模型流场跟原型流场的“边界”几何行状相似，这包括各对应部分的夹角相等，尺寸大小成常数比例，即满足：,a,b,c,模型,原型,运动相似（流场相似）:要求模型流场和原型流场在任意选取的对应点上，流速分量满足：,此时，

3、两个流场称之为是流场相似或运动相似的。流场相似也就是在两流场对应点的速度的大小成常数比例、方向相同。,运动相似,Q,P,动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量成同一常数比例。,动力相似,相似判据问题,几何相似 运动相似,比较清晰的关系表达式,直接观测、判断,动力相似？,什么条件下两流场才满足动力相似？,模拟的基本要求（相似的必要性）： 只有在满足以上三个相似之后，模型流动就能够真实地模拟出原型流动，模拟才具有实际价值和意义。,第二节 相似判据,相似的原则要求满足几何相似、运动相似和动力相似，对于几何相似和运动相似可以较明确地得出其相应的相似性判据； 问题：满足什么关系时，为动力相似？相对而

4、言，要确定动力相似的判据则复杂的多。,（一）方程分析法：描述流体的运动方程-反映了动力过程，也反映了各物理量之间的一种相互制约关系；从方程出发，抓住原型流动和模型流动的物理本质一致（从数学上，就要求反映原型流动和模型流动的方程同时成立），从而得到必须满足的关系式，即相似判据； （二）定理方法：是以量纲分析为基础的一种方法。,通常可以采用两中方法来确定动力相似判据：,前提条件：假定原型和模型流场是满足几何相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单情况。,方程分析法,动力相似判据,首先，给出有关相似常数的定义：,则根据几何相似和运动相似，满足如下的关系式：,上式要求所有对应点均成立（场的观点，要

5、求任意对应点均成立）。,长度相似常数,速度相似常数,如果模型流体和原型流体是同一种流体（保证流体本身的性质不变），且质量力仅仅为重力，通常：,（需要说明，这是特例，一般不为1）。,模型流动中的时间变化过程并不要求与原型流动以相同的时间变化率进行（过程加速或延缓），但要求两流场的所有对应点上均按同一常数值的时间变化加速和延缓，即要求满足,注意： ，通常 可以是不独立的，决定于 和 。,时间相似的概念,另外，流体运动时，流场与压力场的关系是很密切的，且通常可以用 来度量流体压力（源于流速测压原理）。考虑到运动相似及流体密度相似，不难得到：,也就是说 可以是不独立的，它决定于 和 。,除几何相似之外

6、，两流场中所有物理量，诸如流速、时间、温度和压力等彼此间均各自成常数比例。,流体的相似,几何相似,物理相似,下面应用运动方程来得出相似判据：,相似判据的求法,以上方程反映实际流场的动力性质和过程。,对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量方程。,模型流场，同样遵循牛顿运动定律，同样有：,将以上相似系数代入方程，则变为：,上式则反映实验流场的动力性质和过程。,考虑到实际流场所遵循的运动方程，只有满足：,时，以上方程才能成立。,模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充分必要条件；,要满足动力相似，以上等式必须成立。,就是两流场相似时，各相似常

7、数必须满足的关系式。,对上式稍作变换，各项同除以 ，最后可得：,进一步可以得到：,而它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数。,其中:,斯特劳哈尔数,雷诺数,欧拉数,弗雷德数,对于所考虑的问题，只要以上四个无量纲数在两种流场中是相同的，那么原型和模型流场相似，则两方程应反映同一事实。,可见，利用无量纲数作为动力相似判据，比方程分析法要简单的多。另外，对特定的流动，作为动力相似判据的无量纲数可能会更少。,例3-2-1：假定满足几何、运动相似，试求质量力仅 为重力的理想流体运动的相似判据。,习题3-2-1用分析方程法，求连续方程相应的相似判据,习 题,习题3-2-2分析z方向N-S方程，试

8、问可否求得其他形式的相似判据（与 形式不同），并说明其特征相似判据的意义。,第三节 无量纲方程,引进特征量、无量纲量,相似判据,判断两流场是否相似?,必须对两流场所有对应点进行比较,实际应用不方便,无量纲方程,导出具有很大实用性的相似判据特征无量纲数。,在特定的物理现象和物理过程中，物理量的数值总是在一定的范围内变化的，或者说是有限的、有界的。,一、基本概念,概量,表示：通常用靠近10的幂次来表示（类似科学记数）。,定义：把用来反映特定物理量在特定物理过程中所具 有的一般量值和大概数值，称为概量。 （物理量的大概量值，量级）,对特定的物理过程，引入最具代表性、最能反映该物理现象的某种物理特征的

9、数值，称为特征值（特征量）。,特征量,说明：一般情况下，概量与特征量无严格的差别，同一物理过程具有同阶的大小，故二者通常是可通用的。 （注意：概量与特征量包含了单位，是有量纲的量）。,(B)用带 的小写字母表示,反映该物理量的具体大小；,物理量的表示,特征量,物理量的表示,物理量特征值无量纲数,(A)用大写字母表示,含有量纲,反映该物理量的一般大小；,（A）,（B）,流速 u 3 m / s,特征流速 U 10 m / s,u U u,u0.3,A-无量纲量不因单位制的改变而发生变化,单位制所引起的物理量数值的大小,应包含在特征值中。,特别说明：,流速 u 6 m / s,特征流速 U 10

10、m / s,u U u,u0.6,流速 u 600 cm / s,特征流速 U 1000 cm / s,流速 u 0.006 km / s,特征流速 U 10-2 km / s,B-物理量随时间、空间是变化的，而在同一过程中，特征值通常是取定的（不变的），时空变化必须由无量纲数决定。,5 m / s,特征流速 U 10 m / s,10 m / s,0.5,1.0,（注意：特征时间、特征压力是非独立的）,二、无量纲方程,在粘性流体中引进无量纲量：,以垂直方向的运动方程为例，求其无量纲方程。,将方程中的各物理量表示为特征量与无量纲量的乘积,其中，,整理后得：,无量纲方程,定义特征无量纲数,而采用

11、无量纲方程，具有如下优点： （1）与单位制无关； （2）可以比较相对大小或相对重要性； （3）流场相似判据：对应的无量纲数相等。,习题3-3-1 试导出可压黏性气体的无量纲连续方 程和状态方程,习 题,第四节 特征无量纲数,无量纲数可以作为两流场特征相似的相似判据。 而在实际应用中，按照不同需要，引入了不同的特征无量纲数。 主要介绍Re数、Ro数和Fr数。,（关键在于理解其物理含义及其应用）,一、Re数,雷诺（O Reynolds）在研究流体不稳定和湍流问题时，最早引进了Re数。Re数在流体力学中具有重要的意义，随着流体力学的发展，Re数成为了判断两粘性流体运动是否相似的重要判据之一。,特征R

12、e数定义： =特征惯性力/特征粘性力,垂直运动方程中:,惯性项：,粘性力项：,（1）Re1，粘性力相对小（可忽略），大Re数流体，弱粘性流； （2）Re1，惯性力相对小（可忽略），小Re数流体，强粘性流； （3）Re=1，二者同等重要，一般粘性流；,讨 论,Re数可以作为相似性判据，它表示了流体粘性在流动中的相对重要性。同时，它也可以用来反映流体的宏观和微观特性，它又是讨论流体不稳定和湍流运动的一个重要参数。,二、Fr数,反映了重力项在流体运动中相对于惯性力项的重要性。 尤其是在自由表面流的情况下，重力、惯性力同等重要；而且Fr数是此类问题的重要相似判据。,=特征惯性力/特征重力；,量级：,F

13、r1，重力作用小 （可以不考虑），轻流体，大Fr数流体； Fr1，重力作用对流体运动的影响大，小Fr数流体；（地球物理流体力学，大气动力学中）,旋转流体力学和大气动力学的重要特征无量纲数 L大（大尺度运动）， Ro小，偏向力、旋转效应重要； L小（小尺度运动）， Ro大，偏向力、旋转效应可不考虑。,三、Ro数（罗斯贝数）,考虑地球的旋转效应，Ro数定义为：,Ro =特征惯性力/特征偏向力=,基本单位是给定的;而导出单位则是根据物理定义或定律由基本单位所得到的。,一、量纲分析,第五节 量纲分析和定理,基本的概念,物理量,有量纲量,无量纲量,是指与测量单位有关的量,是指与测量单位无关的量。,基本单

14、位,导出单位,例如:普通力学中，通常选取米、千克、秒作为基本单位，而大家熟悉的压强、密度等量的单位则是由基本单位导出的。,压强: 帕牛顿/米2（千克米/秒2）/米2 千克/（秒2 米),密度:,千克/米3,根据测量单位,物理量,基本量,导出量,用基本单位测量的量,导出量测量的量,量纲表示了物理量的种类，量纲是测量单位抽象化的表示式。一个物理量的量纲由一个和几个基本量或其幂次的乘积表示。,基本量的量纲：以特定的符号表示，不考虑其具体的测量单位；,那么，量纲表示了什么含义呢？,长度：L 质量：M 时间：T,导出量的量纲：是基本量量纲的的幂次乘积形式表示。,长度：L 质量：M 时间：T,密度： M

15、L-3 压强：M L-1T -2,有量纲量分为量纲独立的量（基本量）和量纲非独立的量（导出量）。 但它们是可以人为选取，并不是一成不变的（相对性）。,例 如：v、t 和 l 可以选其中的任意两个量作为量纲独立的量（基本量），但通常按一定的习惯来选定。,v、t,l,t、 l,v,v=l/ t = LT-1,l=vt = VT,说明： 因此，量纲独立的判断必须根据各物理量之间的相互关系作具体分析。 但是，无论如何，基本量（量纲独立的量）的数目不能大于基本单位的数目。,“量纲齐次性原理”量纲分析的重要原理： 物理方程中各项的量纲必须相同。 （1）不同量纲的量，不能作为单项同列于物理方程中； （2）如

16、果以物理方程中的任意一项除其他各项，则方程 即化为无量纲形式，即得到无量纲方程。,例3-5-1：试以量纲分析方法说明方程 是密度为 的流体沿流线作无摩擦运动，物 理量 之间的一个可能的关系式，并确 定常数 H 的量纲。,解：要解决此问题，关键在于“量纲齐次性原理”。 该关系式要成立，至少必须保证各项的量纲相同，且 H 也具有相同的量纲。,显然，方程各项的量纲式相同的：当 时上式满足“量纲齐次性原理”，说明它是此问题的可能关系式（必要条件）。,先分析各量的量纲：,例题3-5-2：已知压力波在流体中的传播速度 与流体的弹性（用弹性模系数 表示，其中 ），及其密度 有关，试用量纲分析方法导出三者之间

17、可能的关系式 。,解：假设满足 ，其中 c 为常数；,量纲分析：,根据“量纲齐次性原理”：,有量纲量,无量纲量,有量纲量,无量纲量,几组概念,定理的主要思想：利用量纲分析原理，将关系表达式化为无量纲形式，减少函数中自变量的数目，从而来简化问题。,二、定理,定理是量纲分析的重要定理。,特定物理过程的各物理量，必须服从一定的规律。各变量之间存在相互制约的关系，假设物理量满足：,主定量（自变量）,待定量（因变量）,其余各量均为量纲不独立的量，其量纲可以用量纲独立量的量纲分别表示为：,设在n个主定量中最多有m个量纲独立的量：,联系量纲独立量 与量纲不独立量的无量纲数：,根据“量纲齐次性原理”，可以得到

18、：,而待定量的量纲，同样可以有无量纲数：,同理：,无量纲数 显然不含有量纲量（独立变量），这就是定理。,进一步有：,最终有：,函数的自变量减少了： ，简化了问题。,例3-5-3：已长度为 的物体，以速度 在密度为 ，粘性系数为 的流体中运动，试用定理导出该物体表面单位面积上受到的阻力D的无量纲数表达式。,解：对于所讨论的问题，涉及到5各物理量 、 、 、 、D 量纲分析：,D为阻力，表示了单位面积所受的力（应力）,的量纲确定：,待定量为D，选定其中的 、 、 为基本量，根据定理,其中 为待定系数，可以得到：,据 ，可以得到D的无量纲表达式为：,同理，对于 ，有：,(方法二)解：这是一个机械力学

19、问题，因此它有三个基本单位，可取长度L，时间T和质量M。 各变量的量纲：,例3-5-3：已长度为 的物体，以速度 在密度为 ，粘性系数为 的流体中运动，试用定理导出该物体表面单位面积上受到的阻力D的无量纲数表达式。,据题意：,消去基本单位M,消去基本单位T,消去基本单位L,即：,关于定理应用的说明： （1）根据实际问题，选择合理的物理参数； （2）确定无量纲量的个数（或量纲独立的量）； （3）得到无量纲参数的函数（数学）关系式。,定理具有非常广泛的应用，主要包括： （1）简化方程求分析解 ； （2）简化实验数据的处理； （3）量纲分析的应用； （4）相似判据的确定。 主要强调其在（3）、（4）

20、中的应用，下面举例说明定理在量纲分析中的应用。,相似：同一类物理过程发生在不同的时间和空间场时，对应点上各同名物理量成常数比,三、定理在确定相似性判据中的应用,量纲分析：同一物理过程发生在一定的时间和空间场，以不同测量单位系来测量，则各时、空点上同名物理量取不同数值，且成常数倍。,相似和量纲分析有一定的联系，实际上可以利用量纲分析方法来讨论相似问题。 （应用定理来得到相似性判据）,假设现有反映同一类物理过程的两个现象: （I）和（II）,对于现象（I），其中的各特性量满足以下关系：,而对于现象（II），各特性量则满足以下关系：,另一个角度：可以将以上二式，看作发生在一定时间、空间场的同一物理现

21、象用两种不同的测量单位测得的各特性量数据之间的关系式。 根据定理，以上二式均可以化为无量纲形式：,两个现象是同一类物理过程,遵循同一自然规律,函数 f 是相同,两现象相似：各对应时间、空间点上的同名物理量成常数比。,而 为无量纲数，与单位无关，不随测量单位的变化而变化。 现象（I）和现象（II）对应的 数都应该相同。,可以将以上结果用于相似的判别上，如果以上二式分别表示两个相似现象的函数关系，可以得到其对应的无量纲关系式，而且 和 都是不变量，这就是相似性判据。其中，自变量作为主定相似判据，因变量而作为被定相似判据，前者相同，后者一定不变。也就是说，两个过程相似，和 都不变，可以把看作相似判据

22、。,说明：根据定理求相似判据，不需要知道方程的具体表示形式（简单） ，但前提是必须知道物理过程所包含的全部特性量。,流体力学讲义 P63 习题3.8 习题3.11 习题3.12,习 题,1流体力学的模型试验和相似概念 (概念） 流体力学模型试验的概念； 相似的概念：几何相似、运动相似和动力相似 2相似判据 （理解、推导） 相似判据的概念和相似判据的确定方法。 3无量纲方程 （概念、理解、推导） 概量、特征值、无量纲量的基本概念； 无量纲方程和无量纲数,本 章 总 结,4特征无量纲数 （概念、理解、应用） 几个特征无量纲数的定义及物理意义。 5量纲分析和定理 （理解、应用） 量纲分析的基本概念和量纲分析的“齐次性”原理； 定理的主要内容及其简单应用。（了解） 重点：量纲分析基本知识；无量纲方程和特征无量纲数 难点：定理及其应用。,