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1、下午10时23分,振动力学,1,教学内容,多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统,多自由度系统振动,下午10时23分,振动力学,2,作为物理学的开山鼻祖，牛顿在所有物理学家之上，为体现牛顿的崇高地位，朗道给牛顿的定位是0流（可称为超超一流）。 爱因斯坦落后于牛顿，但领先所有其他物理学家，所以是第0.5流（超一流）。 然后是一流物理学家：玻尔（Niels Bohr）, 海森堡（Werner Heisenberg）, 薛定谔（Erwin Schrdinger）, 狄拉克（Paul Dirac）, 玻色（Satyend
2、ra Nath Bose）, 维格纳（Eugene Wigner）等我们耳熟能详的人物。 朗道称自己是2.5流物理学家，这足够谦虚了。 .现世的物理学家。,下午10时23分,振动力学,3,多自由度系统的自由振动,固有频率 模态 模态的正交性 主质量和主刚度 模态叠加法 模态截断法,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,4,多自由度系统的固有频率,作用力方程：,固有振动方程： （自由振动方程）,在考虑系统的固有振动时，最感兴趣的是系统的同步振动，即系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律都相同的运动。,假设系统的运动为：,运动规律的时间函数,常数
3、列向量,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,5,代入，并左乘 ：,：常数,M 正定，K 正定或半正定,对于非零列向量：,令：,对于半正定系统，有,对于正定系统必有,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,6,a、b、 为常数,正定系统,（1）正定系统,只可能出现形如 的同步运动,系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,（2）半正定系统,半正定系统,可能出现形如 的同步运动,也可能出现形如 的同步运动,（不发生弹性变形 ）,主振动,下午10时23分,振动力学,7,首先讨
4、论正定系统的主振动,M 正定，K 正定,主振动：,正定系统：,将常数a并入 中,代入振动方程：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零,特征方程,下午10时23分,振动力学,8,解出 n 个值，按升序排列为：,：第 i 阶固有频率,频率方程 或特征多项式,仅取决于系统本身的刚度、质量等物理参数,：基频,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,9,采用位移方程求解固有频率,位移方程：,柔度矩阵,自由振动的位移方程：,主振动：,代入，得：,特征值,？,解释：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时2
5、3分,振动力学,10,采用位移方程求解固有频率,位移方程：,柔度矩阵,自由振动的位移方程：,主振动：,代入，得：,特征值,特征方程：,特征根按降序排列：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,11,例：三自由度系统,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,12,多自由度系统的模态（主振型）,正定系统：,主振动：,特征值问题：,特征值,特征向量,n 自由度系统：,（固有频率）,（模态）,一一对应,代入，有：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,13,当 不是特征多项式的重根时，上式的n个方
6、程中有且只有一个是不独立的,设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端,若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的,否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,14,为使计算简单，令：,则有：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,当 不是特征多项式的重根时，上式的n个方程中有且只有一个不独立,设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端,下午10时23分,振动力学,15,例：三自由度系统,多自由度系统振动 /
7、 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,16,以 为例进行说明,将 代入，有：,由第三个方程，得：,代入第二个方程：,与第一个方程相同,方程组中有一式不独立,例如，将第三个方程去掉,因此若令,可解出,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,17,令：,解得：,的值也可以取任意非零常数,将解得,特征向量,在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过程称为归一化,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,18,正定系统：,主振动：,将 ， 代入主振动方程,第 i 阶主振动 ：,系统在各个坐标上都将以第i阶固有频
8、率 做简谐振动，并且同时通过静平衡位置,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,19,第 i 阶主振动 ：,比值：,第i阶特征向量 中的一列元素，就是系统做第i阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值,虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定,描述了系统做第i阶主振动时具有的振动形态，称为第i阶主振型，或第i阶模态,主振动仅取决于系统的M阵，K阵等物理参数。这一重要概念是单自由度系统所没有的,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,20,正定系统：,第 i 阶主振动 ：,系统的固有振动：,n个主振
9、动的叠加,模态叠加法,由于各个主振动的固有频率不相同，多自由度系统的固有振动一般不是简谐振动，甚至不是周期振动,初始条件决定,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,21,正定系统：,特征值问题：,特征矩阵,记为 B,或,当 不是重特征根时，可以通过B的伴随矩阵 求得相应的主振型,根据逆矩阵定义 ：,两边左乘 ：,当 时 ：,或,的任一非零列都是第i阶主振动,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,22,例：求固有频率和主振型,解：,动力学方程：,令主振动：,或直接用,得：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午1
10、0时23分,振动力学,23,令,特征方程：,为求主振型，先将 代入 ：,一个独立,令,则,第一阶主振型：,令,则,将 代入,第二阶主振型：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,24,第一阶主振型：,第二阶主振型：,画图：以横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值,第一阶主振动，两个质量在静平衡位置的同侧，做着同向运动。而做第二阶主振动时，两质量在平衡位置的异侧，做着异向运动,有一点始终不振动，称为节点,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,无节点,一个节点,下午10时23分,振动力学,25,例：求固有频率和主振型,解：,动力学方程：,令主
11、振动：,或直接用,得：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,26,令,令特征矩阵的行列式0,特征方程：,本题中 都是单根,可用特征矩阵的伴随矩阵求阵型,特征矩阵,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,27,选上式右端矩阵的第一列，分别代入 的值,得：,第二阶模态有1个节点，第三阶模态有2个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,28,模态图形：,第一阶模态：,第二阶模态：,第三阶模态：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,无节点,
12、一个节点,两个节点,下午10时23分,振动力学,29,单自由度系统,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,30,两自由度系统,第一阶模态,第二阶模态,一个节点,无节点,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,31,第一阶模态,第二阶模态,第三阶模态,三自由度系统,无节点,一个节点,两个节点,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,32,第一阶模态,第二阶模态,第三阶模态,第四阶模态,四自由度系统,一个节点,两个节点,三个节点,无节点,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时2
13、3分,振动力学,33,模态的正交性，主质量和主刚度,设 、 对应的模态分别为 、,两式相减：,转置右乘,左乘,若 时，,模态关于质量的正交性,模态关于刚度的正交性,均满足：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,当 ij 时，表达式恒成立,令：,第 i 阶模态主质量,第 i 阶模态主刚度,第 i 阶主模态,下午10时23分,振动力学,34,模态关于质量的正交性,模态关于刚度的正交性,当 ij 时,主质量,主刚度,当 时,利用 Kronecker 符号，可综合写为：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,第 i 阶固有频率：,下午10时23分,振动力学,35,主模态：,多自由度系
14、统：,另一种模态：正则模态,定义：使全部主质量皆为1的主模态,令：,正则模态和主模态之间的关系：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,相对于 的主刚度：,下午10时23分,振动力学,36,正则模态的正交性条件：,主模态的正交性条件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,37,多自由度系统：,主模态,将 组成矩阵,模态矩阵,主质量矩阵,主刚度矩阵,正交性条件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,38,推导：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,39,多自由度系统：,正则模
15、态,将 组成矩阵,正则模态矩阵,单位矩阵,谱矩阵,正交性条件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,40,多自由度系统：,特征值问题：,依次取 ，得到的 n 个方程，可合写为：,主模态正交性条件：,左乘 ：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,41,例：三自由度系统,模态矩阵：,主质量矩阵：,主刚度矩阵：,非对角线顶等于零说明主振型是关于刚度阵及质量阵相互正交的,谱矩阵：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,42,模态矩阵：,主质量矩阵：,主刚度矩阵：,谱矩阵：,正则模态和主模态之
16、间的关系：,正则模态矩阵：,不难验证，有：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,43,模态叠加法,表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基,系统的任意n维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合,即系统的振动为n阶主振动的叠加,模态叠加法,物理坐标,主模态坐标,模态矩阵,坐标关系：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,44,另一种模态坐标：正则模态坐标,物理坐标,正则模态坐标,系统响应：,正则模态矩阵,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,45,小结：,多自由度系统：,可采用
17、两类模态坐标进行描述,主模态坐标,正则模态坐标,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,46,求解无阻尼系统对初始条件的响应,可分别采用两类模态坐标进行求解,首先采用主模态坐标,自由振动方程：,坐标变换：,：主模态坐标,：主模态矩阵,代入，并左乘 ：,模态坐标初始条件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,47,自由振动方程：,坐标变换：,展开模态坐标动力学方程：,求得：,在求得 后，可利用 式求得原系统的解,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,48,求解无阻尼系统对初始条件的响应,采
18、用正则模态坐标,自由振动方程：,坐标变换：,：正则模态坐标,：正则模态矩阵,代入，并左乘 ：,模态坐标初始条件：,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,49,自由振动方程：,坐标变换：,展开模态坐标动力学方程：,求得：,在求得 后,可利用 式求得原系统的解,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,50,例：三自由度系统,求：系统在初始条件下的响应,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,解：,动力学方程：,模态坐标响应：,模态初始条件：,正则模态矩阵：,原系统响应：,下午10时23分,振动力学,51,分析：,多自由度系
19、统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,52,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,模态叠加法小结：,耦合,解耦,耦合,解耦,下午10时23分,振动力学,53,模态截断法,对自由度数 n 很大的复杂振动系统，不可能求出全部的固有频率和相应的主振型，然后用模态叠加法分析系统对激励的响应。,当激励频率主要包含低频成分时，可以撇去高阶振型及固有频率对相应的贡献，而只利用较低的前面若干阶固有频率及主振型近似分析系统响应，这种近似方法称作模态截断法或振型截断法。,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,54,n 自由度系统,将前 r 阶模
20、态 中组成的截断断模态矩阵记为:,截断的主质量矩阵和主刚度矩阵,截断前,主质量,主刚度,截断后,分别为前 r 个主质量和主刚度排成的 r 阶对角矩阵,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,55,截断后的主质量矩阵：,截断后的主刚度矩阵：,系统的任意n阶振动近似地表示为截断后的r阶模态和线性组合：,截断后的主坐标列阵,利用模态截断法可将n自由度系统原有的n个坐标变换成较少的前r个主坐标,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,下午10时23分,振动力学,56,n 自由度系统：,代入,并左乘,得：,求出 后，再利用 得到原n自由度系统的近似解。,注：采用正则模态时，过程同上,多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动,