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1、第九章 拉格朗日方程,运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多，方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力的动力学方程？ 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。,9-1 动力学普遍方程,9-1-1 方程的建立,9-1-2 典型问题,1. 一般形式,n个质点。对 有,9-1 动力学普遍方程,9-1-1 方程的建立,而双面理想约束,故有,(9-1),不论约束完整，定常与否均适用。,则有,2. 广义坐标形式,设完整约束系统有k个自由度，可取 为广义坐标。,9-1 动力学普遍方程,9-1-1 方程的建立,则,代
2、入式(9-1), 交换 i，j次序，得,广义主动力,广义惯性力,式中,因各 线性无关 故有,(9-2),等价形式,仅,(9-3),9-1-1 方程的建立,9-1 动力学普遍方程,式中包含了惯性力虚功!,9-1-2 典型问题,加惯性力，受主动力如图。,给连杆 ，则,由 有,9-1 动力学普遍方程,1.由动能定理求导，如何求解?,2.如何求约束力?,2.已知重量 轮纯滚,水平面光滑,求三棱 柱加速度。,9-1-2 典型问题,9-1 动力学普遍方程,加惯性力，受力如图。 选 广义坐标。,由,有,又由 有,9-1 动力学普遍方程,9-1-2 典型问题,式(a)代入(b),可得,令 时，牵连惯性力 并不
3、为零；,令 时，相对惯性力 并不为零， 两者相互独立。,9-1 动力学普遍方程,9-1-2 典型问题,3. 均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。,9-1 动力学普遍方程,9-1-2 典型问题,自由度k=2的理想约束系统，取两轮转角 为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示，,(a),有,(b),9-1 动力学普遍方程,9-1-2 典型问题,得,(c),再令,联立 (c)和(d)式，可得,9-1-2 典型问题,9-1 动力学普遍方程,对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后，各独立虚位移可任意给定，与受
4、力状态无关。,1.如何求绳的张力?圆柱纯滚的条件?,2.用动力学普遍定理如何求解?,3.计入滑轮A质量,结果有何变化?,9-1-2 典型问题,9-1 动力学普遍方程,9-2 拉格朗日方程,对于完整约束系统，动力学普遍方程为,不便计算，拉格朗日方程利用两个经典微分关系。,9-2-1 两个经典微分关系,第九章 拉格朗日方程,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2-4 拉氏方程的应用,式(9-7)表明，,可对 的分子与分母“同时消点”。,(9-7),“同时消点”,证明:,9-2-1 两个经典微分关系,9-2 拉格朗日方程,n个质点，s个完整约束，k3ns，,2) “交换关系”(求导),将式(9-6)两
5、边对广义坐标,证明:,求偏导数，有,而,比较以上两式，可得,(9-8),式(9-8)表明,可对求导“交换关系”。,9-2 拉格朗日方程,9-2-1 两个经典微分关系,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2 拉格朗日方程,为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量， 为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量， 需2k个初始条件 。,故,关于 的计算,由 (见下述例题中),(仅qi0时，计算所有主动力虚功) 9-2 拉格朗日方程,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2 拉格朗日方程,9-2-3 势力场中的拉氏方程,若有势主动力,引入拉格朗日函数 又称动势。 注意 ，有:,此为势力场中第二类拉氏方程，是
6、关于k个广义 坐标的二阶常微分方程组。,则有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,应用拉格朗日方程求解受约束系统的动力问题， 首先需要判断约束是否完整，这是应用拉氏方程的 前提；其次看主动力是否有势，由此选择拉氏方程 形式。,9-2 拉格朗日方程,，,系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。 平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统动势,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,1.此处势能V为什么与弹簧初始变形和重力无关?,2.试用动能定理求解例1，并比较两种方法的异同。,振动圆频率,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,本系统为完整约束， 主动力
7、非有势，采用基本 形式的拉氏方程求解。,判断系统的自由度， 取广义坐标。,本题中，,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,计算系统的T与,则有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,代入拉氏方程，得系统的运动微分方程。,(a),(b),解方程，求加速度。,，得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,试用动力学普遍方程，动力学普遍定理，达朗贝尔原理求解例2，并比较各种方法的特点。,完整系统多自由度动力问题，采用拉氏方程，步骤规范，便于求解。拉氏方程与动力学普遍方程对于完整系统本质上一致，前者从能量，后者从受力入手考察系统的运动。,9-2 拉格朗日方程,题型特点
8、:,9-2-4 拉氏方程的应用,9-2-4 拉氏方程的应用,9-2 拉格朗日方程,(弹簧的绝对伸长量)为广义坐标。 取系统的初始位置为零势能位置。 在任意时刻t，有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,将以上各项代入下列拉氏方程,(b),9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,(c),其中,由式(c)解得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,将式(d)代入式(c)，再将式(c)和(d)代入式(b)得,顺便指出，由式(c)和(d)可知，物B相对于物A作在常力作用下的简谐振动，其振幅为,，固有频率为,多自由度完整约束保守系统问题，应用含L的拉氏 方程，不需求广
9、义力，求解较为简便。,题型特点:,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,(b)试用质心运动定理和动能定理求解例3，并比 较各种方法特点。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,3.两个相同单摆，用刚度为k的弹簧连接已知 m,k, l ,a,系统静止时，弹簧无变形，不计杆重试求 系统振动微分方程及固有频率。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,自由度为2，选 为广义坐标，,选平衡位置势能为0，则,( 较小时， ),9-2-4 拉氏方程的应用,9-2 拉格朗日方程,而,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,代入 和 中,有,即,9-2 拉格朗日方程
10、,9-2-4 拉氏方程的应用,方程(b)有非0解条件，即频率方程为,即 (c),为系统的主频率，将 分别代入式(b),得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,即 ，为系统的第一主振型， 振动时弹簧不变形。,两振型图如下:,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,4. 1,2,3,4刚性杆长均为a，可不计质量。均质刚杆AB长 ，质量为2m，C,D 小球质量均为m，求微小运动微分方程及3,4杆相对运动。,系统为定常理想完整保守系统。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,而,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,( a ),并设 得,同理可得,9-2
11、 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的应用,9-3-1 广义动量积分(守恒),完整、理想约束、保守系统，若L中不含qr，则qr叫循环坐标，且有,即 常数,循环积分，广义动量守恒。,即,如在重力场中质点质量为m，取x、y、z为广义坐标，,可见x、y为循环坐标，则有,第九章 拉格朗日方程,如图所示，质量为 的某行星A受太阳的引力 ， 为太阳质量，G为万有引力常数，r为 极坐标的极轴， 为其单位矢。试写出行星作平面曲 线运动的循环积分。,该系统有二个自由度。 选 为广义坐标，,质点受重力沿 方向，在x和y方向均为动量守恒。,9-3-1 广义动量积分(守恒),第九章 拉格朗日方程,可见L中不显含 ，即
12、 是循环坐标，则有循环积分。,常数,该广义动量积分表明，行星A对点O的动量矩守恒。,若选x、y为广义坐标， 有无循环积分？,问:,9-3-1 广义动量积分(守恒),第九章 拉格朗日方程,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),定常、完整、理想约束保守系统，(n个质点)，k个自由度有:,则有,故,第九章 拉格朗日方程,(1),而,则,由Euler公式，若 为 的m次齐次函数,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,故,=2T（T为 的二次齐次函数）,将式(2)代入式(1)，得,故 常数,此即拉氏方程能量积分，表明上述系统机械能守恒。,即,9-3-2 广义能量积分(机械能守量
13、),第九章 拉格朗日方程,选x和为广义坐标。,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,故有循环积分， 常数(初始为0),又,约束定常，且完整理想。,即 (b),x方向广义动量守恒，并非系统x方向动量。,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,时，(a)，(b)两式为,解之得,1. 若接触平面光滑(f=0)，结果如何? 2. 若左边连接一水平弹簧(k)，结果又如何?,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,系统保守且约束完整、定常，自由度为2，取 与 为广义坐标。设圆轮
14、角速度为 ，则从轮C的速度 分析，有 。,因L不含 (其中 为循环坐标)， 故相应的广义动量守恒， 并考虑到 时，,设O为零势能位置，系统动势为,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,此处利用拉氏方程的循环 积分，使问题求解大为简化。,即,对t积分，并注意到 时， ，,得,故,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,解出 和 ，再积分， 可得 和 的变化规律。,该约束定常，故有T+V=常数，即,将此式与例2中(a)式联立，,如何求上述 和 的变化规律,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,3. 两等长均质杆水平悬挂，已知m、l ，AC=OB， 求BD绳断瞬间，O处约束力。,绳断瞬时，加速度如图，先研究CD杆。,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,如何求CD杆内力?,由,由,由,从D端任取x段，加惯性力，复力如图。,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,初瞬时间，,可直接加惯性力求解,类似,题型特点:,9-3-2 广义能量积分(机械能守量),第九章 拉格朗日方程,