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1、14.1.3 反证法,双桥中心学校 何伯齐 2014年11月,路边苦李,王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.,王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?,小故事,这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？,假设：李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？,那么，树上的李子还会这么多吗？,所以，李子是苦的,甲：在五一长假里，我和爸爸、妈妈去新加坡玩了整整6天，真是太高兴了.,乙：这不
2、可能，5月4号上午还看见你和丙在“步行街”逛街呢！,丙：是啊,5月4号我确实和甲在“步行街”逛街！,假设：甲去新加坡玩了6天，,乙：甲没有去新加坡玩了6天.,那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在新加坡，,即5月4号甲在新加坡，,这与“5月4号甲在桂阳的“步行街”矛盾,所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确,于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.,在古希腊时,有二个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？,他运用了怎样的推理方法？,各
3、抒己见,假设：自己的前额没有被涂黑,那么另一个哲学家也不会有异常行为,自己的前额也被涂黑了.,这与另一个哲学家笑个不停矛盾,所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确,于是自己的前额也被涂黑了.,14.1.3反证法,一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”,你能对小华的判断说出理由吗？,假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。,小华的理由：,我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。,解析： 由C=90可知是直角三角形，根据勾股定理可知 a2 +b2 c2 .,探究：假设a2 +b2 c2，由勾
4、股定理可知三角形ABC是直角三角形，且C=90，这与已知条件C90矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 c2 成立。,这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。,发现知识：,证明：假设 ， 则 （ ） 这与 矛盾 假设不成立 ,B C,ABAC,等角对等边,已知ABAC,B C,小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确,感受反证法:,证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A。 因为两点确定一条直线，即经过点A和A的
5、直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。,小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾,求证：两条直线相交只有一个交点。,已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。,证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。 a/b.,小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾,求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。,已知：ABC 求证：ABC
6、中至少有一个内角小于或等于60.,证明：假设 ， 则 。 ， 即 。 这与 矛盾假设不成立 ,ABC中没有一个内角小于或等于60,A60,B60,C60,A+B+C180,三角形的内角和为180度,ABC中至少有一个内角小于或等于60.,点拨：至少的反面是没有！,A+B+C60+60+60=180,求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交.,已知:,直线l1 、l2、 l3在同一平面内。且l1l2。 l3与l1相交于点P.,求证:,l3与l2相交.,证明:,假设_,那么_.,因为已知_,这与“_ _”矛盾.,所以假设不成立,即求证的命题正确.,l3与l2 不
7、相交.,l3l2,l1l2,经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线,所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,例5,例6、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角,分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.,已知：在ABC中，AB=AC. 求证：B、C为锐角.,证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：,(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；,（1)由A=B=90 则A+B+C=A+90+90180， 这与三角形内角和定理矛盾， A=B=90这个假设不成立.,(2)由90B180， 90C180， 则 A+B+C180，这与三角形内角和定理矛盾
8、 .两个底角都是钝角这个假设也不成立 故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角.,说明：本例中“是锐角(小于90)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证法的进一步理解.,假设结论的反面正确,推理论证,得出结论,回顾与归纳,反证法,反设,归谬,结论,反证法的一般步骤:,假设命题结论不成立,假设不成立,假设命题结论反面成立,与已知条件矛盾,假设,推理得出的结论,与定理，定义，公理矛盾,所证命题成立,什么时候运用反证法呢？,动动脑,证明真命题 的方法,万事开头难，让我们走好第一步！,写出下列各结论的反面： （1）a/b
9、； （2）a0； （3）b是正数； （4）ab,a0,b是0或负数,a不垂直于b,1.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你的猜想,谁来试一试！,2.已知：如图ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分,（平行四边形对边平行）,证明：假设CD、BE互相平分,连结DE，故四边形BCED是平行四边形,BDCE,这与BD、CE交于点A矛盾,假设错误， CD、BE不能互相平分,1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 （2)a大于2。 （3）a小于2。 （4）至少有2个 （5）两条直线平行。 2、用反证法证明“若a2 b2,则
10、a b”的第一步是 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 。,a不是实数,a小于或等于,a大于或等于,没有两个,两直线相交,假设a=b,假设这个三角形是等腰三角形,已知：在梯形ABCD中，AB/CD， CD 求证：梯形ABCD不是等腰梯形.,证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。 C=D（等腰梯形同一底上的两内角相等） 这与已知条件CD矛盾, 假设不成立。 梯形ABCD不是等腰梯形.,证明：假设PB=PC。 在ABP与ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ABPACP（S.S.S) APB=APC(全等三角形
11、对应边相等） 这与已知条件APBAPC矛盾，假设不成立. PBPC,美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！”大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一声：“小偷就是他！”,你知道华盛顿是如何推理的吗？,在应用中体会,华盛顿抓小偷,1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成立正确的推理,得出矛盾肯定待定命题的结论,2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。,课时作业设计,用反证法证明下列命题： 1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。 2.已知：如图，ABCD，AB EF。 求证：CD EF。 3.证明“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.”,