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1、1,1.6 系统的特性和分析方法,1.6.1 线性时不变系统的基本性质 1.6.2 线性时不变系统的分析方法,本节要求： 1. 理解线性时不变系统的性质及其含义 2. 掌握线性时不变系统的判定方法,2,1.6.1 线性时不变系统的基本性质,系统激励（输入）与响应（输出）的关系描述,线性时不变系统是即满足线性又满足时不变特性的系统。简单记为LTI(linear Time Invariant)系统。,f(),y(),响应,激励,y() = T f() ,f() y(),3,可加性：若干激励同时作用于系统时，产生的响应等于各个激励单独作用于时产生的响应之和。,f1(t),f2(t),y1(t),y2
2、(t),离散时间系统也可以如此判定,1 系统的线性：能同时满足齐次性（均匀性）和可加性（叠加性）的系统。,以连续时间系统为例，当,则,4,齐次性:如果系统的激励变化为原来的a倍时，系统的响应也随之变化为原来的a倍。,f(t),y(t),af(t),ay(t),显然，系统的线性:,以连续时间系统为例，当,离散时间系统也可以如此判定,同时满足可加性和齐次性,5,动态系统的输出响应不仅取决于系统的输入激励，而且还与系统的初始储能有关。,假如由系统储能引起的初始时刻状态值为x(0)，则此时系统的完全响应为,即由x(0)产生的响应，称为零输入响应yzi(t)；,而由f()产生的响应，称为零状态响应yzs
3、(t)。,y() = T x(0)，f() ,yzi() = T x(0)，0 ,无外激励,yzs() = T 0，f() ,零状态,6,显然，系统的全响应为：,本课所讨论的系统均为线性系统。描述线性连续（离散）系统的数学模型为线性微分（差分）方程。,上式满足可加性或分解性；这时只有系统的零输入响应和零状态响应分别满足线性特性时，系统才是线性系统。,y()= yzi()+ yzs(),请记住这一结论,7,例1.6-1 判断下列系统是否为线性系统。,1 y(t)=f(t)-f(2-t),那么f1(t) +f2(t)作用系统则有f1(t) +f2(t) y3(t),解：（a）叠加性的判断,若f1(
4、t)作用系统有f1(t) y1(t)，则有 y1(t)= f1(t)-f1(2-t),同样，若f2(t)作用系统有f2(t) y2(t)，则有 y2(t)= f2(t)-f2(2-t),所以f1(t) +f2(t) y1(t)+ y2(t)，满足叠加性。,即 y3(t)= f1(t) +f2(t) - f1(2-t) +f2(2-t) = f1(t) - f1(2-t)+ f2(t) -f2(2-t) = y1(t)+ y2(t),8,对于系统y(t)=f(t)-f(2-t)来说，若af(t)作用系统时，有af(t) y1(t) 则 y1(t)= af(t)-af(2-t)=af(t)-f(2
5、-t)=ay(t) 满足奇次性。,（b）奇次性的判断,显然，该系统即满足叠加性，又满足齐次性，所以判断其满足线性。,Ta1f1(t)+a2f2(t) =a1f1(t)+a2f2(t)-a1f1(2-t)+a2f2(2-t) = a1f1(t) - f1(2-t)+a2 f2(t) -f2(2-t) =a1y1(t)+a2y2(t),直接将激励f(t)置换为a1f1(t)+a2f2(t),两个激励 分别置换,整理,满足线性,9,例1.6-1 2 y(t)= 2f(t)-t,式中含有自变量项，不满足线性,3,式中含有响应的乘积项，不满足线性,4 y(t)=af(t)+b, （ a,b都为常数）,本
6、小题中系统为非零状态系统，其全响应y(t)可以分解为零输入响应 和零状态响应,显然，零输入响应和零状态响应均能满足线性，所以该系统为线性系统。,10,对于电系统来说，如果系统某些器件的参数（例如电路中的电阻值、电感值、电容值等）不随时间变化的系统称为时不变系统。,2.系统的时不变性,对于一个时不变系统，在初始状态相同的条件下，响应的波形不随激励作用于系统的时间起点而改变。或者说，当激励延迟一段时间td（或kd)作用于系统时，其响应也延迟同样的一段时间td（或kd)，且保持波形不变。,注意：这里的响应仅与激励有关，是零状态响应,11,也允许响应的幅值有比例地放大或减小,以连续系统激励与零状态响应
7、为例说明时不变系统。,比如在通信系统中，远离发射站点的信号与近距离的信号就会有衰减，此时都能保证接收到同样的完整信号。而这一系统就是时不变系统。,12,通常的系统都可以认为是时不变系统。而判断系统是否为时不变系统的方法为：,（1）当描述系统输入与输出关系为常系数微分（或差分）方程时，系统为时不变系统。否则为时变系统。如P28式1.6-9。 （2）一般情况下，已知 ，若系统存在如下关系 则系统为时不变系统。,13,例1.6-2 判断例1.6-1中的各系统是否为时不变系统。,1 y(t)=f(t)-f(2-t),解：由已知,可得,而,显然，存在,所以该系统为时变系统。,14,显然，在上例中f(-t
8、-t+2)f(-t+t+2)。,15,例1.6-2 2 y(t)= 2f(t)-t,式中含有自变量项，不满足时不变特性,3,式中响应与激励的系数均为常数，满足时不变特性,4 y(t)=af(t)+b, （ a,b都为常数）,显然，由激励产生的零状态响应 满足时不变特性。,16,另外，时不变系统还具有微积分特性。 微积分特性是指若 ，则有 及 。 即输入信号微分或积分，经系统作用后的输出信号也微分或积分。,请记住这一结论，见P29,17,3线性时不变系统的特性,可见，激励中既有齐次叠加，又有时移，响应也有，同时满足线性和时不变特性。,当描述系统的激励与响应是常系数、线性微分（或差分）方程时，系统
9、为一定是线性时不变系统。否则为时变系统。,本课研究的系统是线性时不变系统。因此，求解常系数线性微分（或差分）方程是分析线性时不变系统主要的任务。,18,4线性时不变系统的因果特性,系统的零状态响应是由激励引起的，就称此系统为因果系统。若线性时不变系统满足因果特性，则此系统为线性时不变因果系统。,现实中的物理系统均为因果系统，例如：收音机、电视机、计算机等。而虚拟系统则是非因果系统，例如：计算机游戏及仿真。虚拟系统的研究同样具有很重要的意义。,需要说明的是，当自变量不是时间而是空间等变量时，因果将失去意义，例如：光学成像、图像处理等。,19,例1.6-3 判断输入输出关系为 系统是否为线性时不变
10、因果系统。,解：由系统的输入输出关系，可以容易地判断出该系统为线性时不变系统。,而当 时，系统的输出为,当前时刻的响应,过去时刻的激励,未来时刻的激励,显然，该系统的响应与系统未来的激励有关，所以该系统为非因果系统。,20,所以，该系统为非因果系统。,显然 时，系统的输出为 满足因果特性。,然而当 时，系统的输出为 不满足因果特性。,例1.6-3 判断输入输出关系为 系统是否为线性时不变因果系统。,关于离散线性时不变因果系统特性的判定可参照上述各例方法和步骤进行。,21,系统的稳定性就是指系统在有界的激励作用下，其零状态响应也是有界的。,5线性时不变系统的稳定特性,这里只做定性的判断，有关系统
11、的稳定性的定量分析将在第七章介绍。,例如某系统在有界激励作用下，其零状态响应出现持续放大，且不能随着激励的终止而终止，这种系统就是不稳定的系统。通信系统中的振荡器就是这样系统。,22,1.6.2 线性时不变系统的分析方法,LTI系统的分析方法主要是输入-输出法和状态变量法。本课主要介绍输入-输出法。,LTI系统的输入-输出法主要建立给定系统输入与输出之间关系，即数学模型。对于连续系统就是常系数线性微分方程；对于离散系统就是常系数线性差分方程。对于系统数学模型的建立不是本课的主要任务，通常要学会简单系统数学模型的建立即可。,23,本课的主要任务就是求解常系数线性微分（或差分）方程，分为时域法和变换域两种方法。,时域法将在第二章和第三章分别介绍连续系统时域和离散系统时域分析法。,变换域将在第四、五、六、七章中介绍。其中第四章为连续系统的频域分析，第五章为连续系统复频域分析，第六章为系统Z域分析。,24,小 结,1理解线性时不变系统特性的含义。,作业 1.25(2,3,5,7) 1.27 1.32,2学会定性判断线性时不变系统的特性。,3明确系统分析的方法和手段，及所需要的数学知识与电信号、电系统的关系和物理意义。,