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1、第四节 极限运算法则,求极限方法举例,复合函数的运算法则,四则运算法则,思考题、,小结,主要内容:,两个定义;四个定理;两个推论.,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,几点注意:,（1）无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大） 的数混淆，零是唯一的是无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,内容回顾,一、四则运算法则,定理（13）,证：,由无穷小运算法则,得,常数因子可以提到极限记号外面.,推论1,推论2,极限运算与n次幂运算可互换.,不等式性质,第二节 定理3(局部保号性)推论,推论,定理4 (保序性),基本初等函数在其定义域内任意一点处的
2、极限值等于该点处的函数值.,重要结论 P52,定理5,二、复合函数的极限运算法则,意义:,1.极限符号可以与函数符号互换;,例,解:,例1,解,三、求极限方法举例,结论,注:,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),例4,解,(无穷小因子分出法),无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子分母, 然后再求极限.,结论:,注：,结论中自变量的变化过程是趋向无穷大， 而非趋于有限值x0.,例5,解,先变形再求极限.,例6,解,例7,解,左右极限存在且相等,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,解,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,思考题,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法：,a. 多项式与分式函数代入法求极限（极限运算法则）； b. 消去零因子法求极限（0/0型）; c. 无穷小因子分出法求极限（/型）; d. 利用无穷小运算性质求极限（无穷小与无穷大的关系, 无穷小与有界函数的乘积，无穷小之和的运算等等）; e. 利用左右极限求分段函数极限（分段函数求极限）. f. 复合函数求极限,小结,基本初等函数在其定义域内任意一点处的极限值等于该点处的函数值.,作 业,P53 T2 (偶), T3 (偶), T4,