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1、,4.3 协方差、相关系数和矩,一、协方差和相关系数的概念 对于二维随机变量 ，除了关心它的各个分 量的数学期望和方差外，还需要知道这两个分量之 间的相互关系，这种关系无法从各个分量的期望和 方差来说明，这就需要引进描述这两个分量之间相 互关系的数字特征协方差及相关系数，但如何 来刻画这种关系呢？ 由(4-17)知,若 相互独立,则 ; 若 ,则表示X与Y不独立,X与Y之间 存在着一定的关系.据此,我们引入下列定义,定义4.6 设 是二维随机变量， 则称 为X与Y的协方差（Covariance），记为 或 ， 即 （420） 若 且 ，则称 （421） 为X与Y的相关系数（Correlatio
2、n Coefficient） 是 有量纲的量，而 则是无量纲的量 协方差常用下列公式计算 事实上，,定理4.1 (柯西许瓦兹（CauchySchwarz）不等式) （X，Y）为二维随机变量，若 和 存在，则 （428） 证明 因为 , 所以 存在. 另一方面,对 任意 ，二次三项式 , （429） 可见上述关于的二次三项式不可能有两个不同的实根, 因而判别式 即有 定理4.2 设（X，Y）是二维随机变量，若X与Y的相关系 数 存在，则 （1） （430） （2） 的充要条件是存在常数 使 ,证明 （1） 由定理4.1知 , 因此 , 即 ，所以 （2）我们略去结论（2）的充分性证明，这里只给出
3、必要 性的证明： 将二次三项式（429）中的X和Y分别换为 和 则对任意 ，有 ， 即 . 特别地，当 等于二次三项式的最小值点 时，上 式变为,由于 ，故 . 根据方差性质4,有 即 于是, 存在常数 和 使 显然，利用（431）亦可证（430）的结论成立. 不过, 给出（431）的主要目的还在于证明结论（2）的必要性. 定理4.2表明：X与Y的相关系数是衡量X与Y之间线性相关 程度的量当 时，X与Y依概率1线性相关；特别当 时,Y随X的增大而线性增大,此时称X与Y线性正相关 （Positive Correlation);当 时,Y随X的增大而线性地减 小，此时称X与Y线性负相关(Negat
4、ive Correlation);当 变小 时,X与Y的线性相关程度就变弱;如果 =0,X与Y之间就不存 在线性关系，此时称X与Y不相关（Uncorrelated） 需要指出的是:这里的不相关,指的是从线性关系上看没有 关联,并非X与Y之间没有任何关系,也许此时还存在别的关系,独立与不相关都是随机变量之间相互联系程度的一种反映, 独立指的是X与Y没有任何关系，不相关指的X与Y之间没有线 性相关关系 事实上，若X与Y独立，则X与Y一定不相关（这可以利用 （410）和（419）进行证明）；但反过来，若X与Y不相 关，则X与Y却未必独立 然而，对于二维正态随机变量 而言，X与Y的独立性 与不相关性却
5、是等价的，我们有如下结果： 定理4.3 设 则 （432） 证明 显然，我们有 ，而,推论 设 ，则X与Y相互独立的 充要条件是X与Y不相关 证明 由定理3.3知, 若 ，则X 与Y相互独立的充要条件是 ，由定理4.3知, ，因 此，X与Y相互独立的充要条件是X与Y不相关 根据上面的讨论，二维正态随机变量 的概率密度中 的参数 就是X和Y的相关系数，因而二维正态随机变量 的分布就完全可由X和Y的数学期望、方差以及它们的相关系 数所确定 随机变量除了前面介绍的数学期望、方差、协方差以及它 们的相关系数等数字特征外，还存在许多其它的数字特征,下 面介绍另外几种常见的数字特征 三、矩的概念,1. k
6、阶原点矩 定义4.7 设X是随机变量，若 （ ）存在, 则称它为X的 阶原点矩，简称 阶矩，记为 ，即 （433） 显然，X的数学期望是X的一阶原点矩，即 2. 阶中心矩 定义4.8 设X是随机变量，若 ( , )存在， 则称它为X的k阶中心矩，记为，即 ， （434） 显然，X的方差是X的二阶中心矩，即 3. 阶原点混合矩 定义4.9 设 是二维随机变量，若 ( ,),存在，则称它为X 与Y的 阶混合原点矩，简称 阶混合矩，记为 ，即 （435） 由 可知，协方差可用( )的1+1阶混合原点矩X与Y和的一阶原点矩表示 4. 阶中心混合矩 定义4.10 设 是二维随机变量，若 （ ）存在，则称它为X与Y的 阶混合中心矩 记为 ，即 （436） 显然，X与Y的协方差是X与Y的1+1阶混合中心矩，即 由上可以看到，前面介绍的一些数字特征（如数学期望、方差、协方差等）均可用矩来表示，可见矩是最广泛的一种数字特征，在概率论和数理统计的研究中应用广泛,