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1、7.7 不变子空间,一、不变子空间的概念,二、线性变换在不变子空间上的限制,7.7 线性变换的定义,三、不变子空间与线性变换的矩阵化简,四、线性空间的直和分解,第七章 线性变换,7.7 不变子空间,设 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的,的子空间，若 有,则称W是 的不变子空间，简称为 子空间.,V的平凡子空间（V及零子空间）对于V的任意一,个变换 来说，都是 子空间.,一、不变子空间,1、定义,注：,7.7 不变子空间,1）两个 子空间的交与和仍是 子空间.,2）设 则W是 子空间,证： 显然成立.,任取 设,则,故W为 的不变子空间.,2、不变子空间的简单性质,由于,7.7 不变子空
2、间,1）线性变换 的值域 与核 都是 的,不变子空间.,证：,有,故 为 的不变子空间.,又任取 有,3、一些重要不变子空间,也为 的不变子空间.,7.7 不变子空间,2）若 则 与 都是 子空间.,证：,对 存在 使,于是有，,为 的不变子空间.,其次，由,对 有,7.7 不变子空间,于是,故 为 的不变子空间.,的多项式 的值域与核都是 的不变子空间.,这里 为 中任一多项式.,注：,7.7 不变子空间,4）线性变换 的特征子空间 是 的不变子空间.,有,5）由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间.,证：设 是 的分别属于特征值,的特征向量.,3）任何子空间都是数乘变换 的不变子空间.
3、,任取,设,则,为 的不变子空间.,7.7 不变子空间,事实上，若,则 为 的一组基.,因为W为 子空间，,即必存在 使,是 的特征向量.,特别地，由 的一个特征向量生成的子空间是一,个一维 子空间.,反过来，一个一维 子空间,必可看成是 的一个特征向量生成的子空间.,注：,7.7 不变子空间,二、 在不变子空间W引起的线性变换,定义：,不变子空间W上的限制 . 记作,在不变子空间W上引起的线性变换，或称作 在,设 是线性空间V的线性变换，W是V的一个 的,不变子空间. 把 看作W上的一个线性变换，称作,7.7 不变子空间, 当 时，, 任一线性变换 在它核上引起的线性变换是零,变换，即,即有
4、,注：,当 时， 无意义.,在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换，,7.7 不变子空间,1、设 是 维线性空间V的线性变换，W是V 的,子空间， 为W的一组基，把它扩允为,V的一组基：,若 在基 下的矩阵为 ，则,在基 下的矩阵具有下列形状:,三、不变子空间与线性变换的矩阵化简,7.7 不变子空间,反之，若,则由 生成的子空间必为 的,不变子空间.,事实上，因为W是V的不变子空间.,即， 均可被,线性表出.,7.7 不变子空间,从而，,设,7.7 不变子空间,在这组基下的矩阵为,若 ，则,为V的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵,2、设 是 维线性空间V的线性变换， 都是,的不变子空间
5、，而 是 的一组基，且,（1）,7.7 不变子空间,的子空间 为 的不变子空间，且V具有直和分解：,由此即得：,下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 生成,V的线性变换 在某组基下的矩阵为准对角形,V可分解为一些 的不变子空间的直和.,反之，若 在基,7.7 不变子空间,定理12：设 为线性空间V的线性变换， 是,四、线性空间的直和分解,是 的特征多项式. 若 具有分解式：,再设,则 都是 的不变 子空间；且V具有直和分解：,7.7 不变子空间,证：令,则 是 的值域，,是 的不变子空间.,又,（2）,7.7 不变子空间,下证 分三步：,证明, 存在多项式 使,于是, 对 有,7.7 不变子空间
6、,这里,7.7 不变子空间,其中,（也即， ），,则, 存在 使,于是,证明 是直和.,7.7 不变子空间,用 作用（3）的两端，得,又,7.7 不变子空间,从而,所以 是直和., 有多项式 ，使,7.7 不变子空间,证明:,首先由(2)，有,即,其次，任取 设,即,令,7.7 不变子空间,由（2）, 有,从而有,又,又,由 ， 是直和，它的零向量分解式,即,唯一.,7.7 不变子空间,综合 ，即有,于是,故,即有,是 的不变子空间，且,7.7 不变子空间,练习：,设3维线性空间V的线性变换 在基,下的矩阵为,证明： 是 的不变子空间.,证：令,由,7.7 不变子空间,有,7.7 不变子空间,即,故W为 的不变子空间.,