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1、,一、函数、极限、连续,三、多元函数微分学,二、导数与微分,微分学,四、微分学应用,一、 函数、极限、连续,1. 函数,定义:,定义域,值域,设,函数为特殊的映射:,其中,定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。,函数的特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,复合函数(构造新函数的重要方法),初等函数,由基本初等函数,经有限次四则运算与有限次,复合而成且能用一个式子表示的函数.,例如. 函数,基本初等函数:,常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数,2 极限,极限定义的等价形式,(以 为例 ),极限存在准则及极限运算法则,无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,
2、常用等价无穷小:,两个重要极限,等价无穷小代换,存在 (或为 ),定理,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,洛必达法则,3. 连续与间断,函数连续的定义,函数间断点,第一类（左右极限存在）,第二类（左右极限至少有一个不存在）,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,重要结论：初等函数在定义区间内连续,例3. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例4. 设函数,试确定常数 a 及 b .,二、 导数和微分,导数 定义:,当
3、,时,为右导数,当,时,为左导数,微分 :,关系 :,可导,可微,导数几何意义:切线斜率,1. 有关概念,例5.设,在,处连续,且,求,解:,2.导数和微分的求法,正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！）,隐函数求导法,参数方程求导法,高阶导数的求法(逐次求一阶导数）,例6. 求由方程,在 x = 0 处的导数,解: 方程两边对 x 求导,得,因 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的隐函数,例7.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,三、多元函数微分法,1. 多元显函数求偏导和高阶偏导,2. 复合函数求偏导,注意正确使用求导符号,3. 隐函数求偏导,将其余变量固定，
4、对该变量求导。,4. 全微分,5. 重要关系:,例8. 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,解：设,则,例9. 设,四、 导数与微分的应用,1. 微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,函数单调性的判定及极值求法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,在开区间 I 内可导,3. 函数的性态:,2. 导数的几何意义,极值第一判别法,且在空心邻域,内有导数,极值第二判别法,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,例10. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例11. 求函数,的极
5、值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有二阶导数,凹弧凸弧的分界点为拐点,例12. 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,的连续性及导函数,例13. 填空题,(1) 设函数,其导数图形如图所示,单调减区间为 ;,极小值点为 ;,极
6、大值点为 .,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,单调增区间为 ;,.,在区间 上是凸弧 ;,拐点为,提示:,的正负作 f (x) 的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f (x) 的图,(2) 设函数,的图形如图所示,曲线方程为参数方程,切线方程,切向量,法平面方程,4.多元函数微分法的应用,(1)在几何中的应用,求曲线的切线及法平面,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,法线方程,当光滑曲面 的方程为显式,切平面方程,上求一点 , 使该点处的法线垂直于,例14. 在曲面,并写出该法线方程 .,提示: 设所求点为,则该点的法向量为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面
7、上,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,极值必要条件,函数,偏导数,但驻点不一定是极值点.,且在该点取得极值 ,则有,存在,(2)极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,时, 具有极值,极值充分条件,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,引入辅助函数,则极值点满足:,方法2 拉格朗日乘数法.,解该方程组，得极值点。,例15.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,