《一变化率.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一变化率.ppt（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、一 变化率,2.1 导数的概念,1 变速直线运动的瞬时速度 设一物体沿直线运动,该物体从开始时刻t=0到t 时刻所走的路程为s=s(t).求此物体在t。时刻的瞬时速度v（t。）。 如果物体作匀速直线运动，物体在t。时刻的瞬时速度v（t。），就是从时刻t。到t。+t这段时间内的平均速度，即物体在这段时间内走过的路程s=s（t。+t）-s（t。）与这段时间的比值：,当点M沿曲线l趋于M。点时，对应的割线就趋于切线M。T。如果当 时， 割线的极限存在，则 就是所要求的切线斜率， k=,2 平面曲线的切线斜率 设M。（x。，y。）是函数y=f(x)的图形上的一点，求此函数曲线在M。点的切线的切线斜率k
2、。 在曲线上取一点M（x。+x，y。+y），割线M。M斜率为,从极限的观点来看，上述的切线斜率也是函数增量与自变量之比的极限。,由上面两个问题可以看出，虽然实际背景不同，但所要量都可归结为：,计算一个已知函数y=f(x)的函数值增量与自变量增量的比值当x 0极限 称 为函数f(x)相对于自变量x的平均变化率 称 为函数f（x）相对于自变量x。的瞬时 变化率，简称变化率。它反映了函数f（x）随自变量x的变化而变化的快慢程度。,二 导数的概念 在整个科学领域中，如化学反应速度，生物繁殖率，电流强度，人口增长率，经济增长率等，都可以归结为求函数的变化率问题。为此引入导数概念。,定义1 设函数y=f(
3、x)在点x。的某一邻域内有定域，当自变量在点x。y= f(x)取得增量x（x。+x仍在邻域内）时，相应的函数y取得增量y= f( x。+x)。如果当x 0时，比值 的极限存在，则称函数y=f(x) 在点x。可导，并称此极限为函数y=f(x)在点x。的导数，记为,(1),函数y=f(x)在点x。可导也称作f(x)在点x。具有导数或导数存在。 导数的定义还有一些等价形式，例如,(2),(3),如果极限（1）不存在，则称函数y=f(x)在点x。不可导，或称函数y=f(x)在点x。导数不存在，如果不可导的原因是因为 ，,如果函数y=f(x)在区间（a，b）内的任意一点x都可导，则称函数y=f(x)在区
4、间（a，b）内可导。此时对区间内的任意一点x，都有唯一确定的导数值 与之对应，有函数的定义知 是x的函数，把这个函数称为函数y=f(x)的导函数，记为,为方便起见，这时也称函数y=f(x)在点x。的导数为 无穷大，记为,显然 是函数在点x。的函数值，也称导函数 为导数 由导数的定义知，做变速直线运动的物体在t。时刻的瞬时速度v（t。）= s（t。）；平面曲线在M。（x。，y。）点的切线的斜率k=。,例 1 求函数y=x2的导数，并求它在x=0和x=2点的导数。 解,函数f(x) 在x。点的导数是一个极限值 函数f(x) 在x。点可导的充要条件： 和 都存在且相等。分别成为函数f(x) 在x。点
5、的左导数和右导数，记为 和,导数的几何意义：函数f(x) 在x。点的导 在几何上表示曲线y=f(x)在点M。（x。，f（x。）处的斜率。,若 （x。）=0，则曲线y=f(x)在点M。（x。，y。）处的切线方程为 y=y。 法线方程为 x=x。 若 （x。）= , 曲线y=f(x)在点M。（x。，y。）处有垂直于x轴的切线方程为 x=x。 法线方程为 y=y。,例2 求曲线y=x2在点（2，4）的切线方程和法线方程 。 解 由例1 =4 所以曲线y=x*x在点（2，4）的切线方程为 y-4=4(x-2) 即 4x-y-4=0 法线方程为 y-4= -1/4(x-2) 即 x+4y-18=0 由前
6、面的讨论，函数f(x)的导数 （x）仍是x的函数，如 （x）仍可导，则 (x) 的导数成为函数y对x的二阶导数或函数f(x)的二阶导数，记为 或 , , 即 ,例如，变速直线运动的速度V(t)是路程s(t)对时间t的导数，即v(t)= 而加速度a(t)又是速度对时间t的导数即a(t)= 所以a(t)=,如果二阶导数 的导数存在，称二阶导数 的导数为y对x的二阶导数 或f(x)的三阶导数 ，记为 一般的，n-1阶导数的导数为y对x的n阶导数 或f(x)的n阶导数 ，记为,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。,三 导数的量纲 导数的表示符号 是德国数学家莱布尼茈（Leibniz）在17世纪微积分学
7、的发展初期引进的。 当把 中的字母d看作是表示“的极小的差”的 时候，符号 提醒我们， 导数是比值 的极限。导数的单位就是变量y的单位被变量x的单位所除得到的单位。,例 3 从一个铜矿中开采x吨铜矿石花费cf（x）元， 500意味着什麽？ 解 由于c的单位是元，x的单位是吨，所以 的单位为元/吨，因此 表示，当有2000吨的同矿石从铜矿中被开采出来后，再开采一吨同矿石的开采费用为500元。,例 4 已知水管中安装的流量计的指针为0.5 ,解释为某函数的导数。 解 此问题于水流速无关，这是以 为单位测量出来的水量的变化率，可想象水管中流出的水都储藏在一个水容器中，设V(t)为t时刻水容器中水所占
8、的容积，则V(t)的变化率就是0.5 ，即,四 可导性与连续性的关系 定理 如果函数yf（x）在x点可导，则函数yf（x）在该点必连续。 证 函数y=f(x)在x点可导，即 再由具有极限的函数与无穷小的关系知,但一个函数在某点连续，却不一定在该点可导。函数在某点连续是在该点可导的必要条件，但不是充分条件。例如：,五 可导性的图形意义 一个连续函数，在一点可导或不可导，其图形有什麽特点呢？ 看图22的函数yf（x）它在A点有一个“尖角”，当 时，P,A连线的斜率趋于某一正值，当 时，P,A连线的斜率趋于某一负值，即f（x）在xa处的左，右导数不相等，所以f（x） 在xa处不可导。,y,o,x,a,x,x,c,p,A,R,C,Q,B,f,图22,在B点，图形无“尖角”，但当 或 时，B,Q连线的斜率并不趋于某一值，而是变得越来越大，曲线在B点有一条垂直的切线，由导数的几何意义，f（x）在xb处不可导。对A,B外的任意一点C,当 或 时，C,R连线的斜率趋于某一值， 所以f（x）在xb处可导。 综上对于一个连续函数，如果它在某点的图象为下面两种情况之一： （1） 在该点有一个“尖角”； （2） 有一条垂直的切线， 那末这个函数在该点不可导，否则在该点可导。,