计算机组成原理第章运算方法与运算器.ppt

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1、第2章 运算方法和运算器,2019年4月30日星期二,2,目录,2.0 数据的类型 2.1 数据与文字的表示方法 （掌握） 2.2 定点加法、减法运算 （掌握） 2.3 定点乘法运算 （了解） 2.4 定点除法运算 （了解） 2.5 定点运算器的组成 （了解） 2.6 浮点运算方法和浮点运算器（掌握）,2019年4月30日星期二,3,学习要求,掌握定点和浮点数的表示方法，表示范围； 掌握定点数的补码加减法、了解常用的乘除法运算方法； 掌握浮点数的加减运算方法； 理解数据校验的方法； 理解溢出判断方法； 了解运算器部件的组成结构及设计方法。,2019年4月30日星期二,4,2.0 数据的类型（1

2、/2）,按数制分： 十进制：在微机中直接运算困难； 二进制：占存储空间少，硬件上易于实现，易于运算； 十六进制：方便观察和使用； 二-十进制：4位二进制数表示1位十进制数，转换简单。 按数据格式分： 真值：没有经过编码的直观数据表示方式，其值可带正负号，任何数制均可； 机器数：符号化后的数值(包括正负号的表示)，一般位数固定(8、16、32)，不能随便忽略任何位置上的0或1；,2019年4月30日星期二,5,2.0 数据的类型（2/2）,按数据的表示范围分： 定点数：小数点位置固定，数据表示范围小； 浮点数：小数点位置不固定，数据表示范围较大。 按能否表示负数分： 无符号数：所有均为表示数值，

3、直接用二进制数表示； 有符号数：有正负之分，最高位为符号位，其余位表示数值。 按编码不同又可分为原码、反码、补码、移码,2019年4月30日星期二,6,2.1 数据与文字的表示方法,2.1.1 数据格式 2.1.2 数的机器码表示 2.1.3 字符与字符串的表示方法 2.1.4 汉字的表示方法 2.1.5 校验码,2019年4月30日星期二,7,定点数：小数点固定在某一位置的数据； 纯小数： 表示形式 x=xSx-1x-2x-n |x|1-2-n ;xs为符号位 数据表示范围 0.00= 0 |x| 1-2-n = 0.11 纯整数： 表示形式 x=x s x n-1 x 1 x 0 |x|2

4、n-1 ;xs为符号位 注意：小数点的位置是机器约定好的，并没有实际的保存。,x0 x-1x-2x-3 x-n,xnxn-1xn-2x1x0,2.1.1 数据格式定点数,设采用n+1位数据,2019年4月30日星期二,8,2.1.1 数据格式浮点数,浮点数：小数点位置可变，形如科学计数法中的数据表示。 浮点数格式定义： N= Re M M：尾数(mantissa) ，是一个纯小数，表示数据的全部有效数位，决定着数值的精度； R：基数(radix) ，可以取2、8、10、16，表示当前的数制； 微机中，一般默认为2，隐含表示。 e： 阶码(exponent) ，是一个整数，用于指出小数点在该数中

5、的位置，决定着数据数值的大小。 浮点数的一般表示形式,2019年4月30日星期二,9,科学计数法的表示,一个十进制数可以表示成不同的形式： 同理，一个二进制数也可以有多种表示：,2019年4月30日星期二,10,浮点数规格化,浮点数的表示 1.1120=0.11121=11.12-1 机器数的表示不同，不利于运算 规格化的目的 保证浮点数表示的唯一性； 保留更多地有效数字，提高运算的精度。 规格化要求 |尾数|0.5； 规格化处理： 尾数向左移n位(小数点右移)，同时阶码减n； 尾数向右移n位(小数点左移)，同时阶码加n。,规格化,右规,左规,2019年4月30日星期二,11,浮点数的规格化,

6、尾数用原码表示时 尾数最高数值位为1； 尾数形如0.1（正）；或1.1（负）； 例如，0.01125要规格化则变为0.1124； 0.01125要规格化则变为1.1124； 尾数用补码表示时 尾数最高数值位和尾数符号位相反； 尾数形如0.1（正）；或1.0（负） 例如，0.01125要规格化，则变为0.1124； 0.01125要规格化，则变为1.0124；,2019年4月30日星期二,12,例：将十进制数-54表示成二进制定点数(16位)和浮点数(16位，其中数值部分10位，阶码部分4位，阶符和数符各取1位)，并写出它在定点机和浮点机中的机器数形式。,令 x = -54，则x = -1101

7、10 16位定点数真值表示： x = -000 0000 0011 0110 定点机器数形式 x原： x补： 浮点数规格化表示：x = -(0.1101100000)2110 浮点机器数形式 x原： x补：,1 000 0000 0011 0110,1 111 1111 1100 1010,0 0110 ; 1 11 0110 0000,0 0110 ; 1 00 1010 0000,2019年4月30日星期二,13,浮点数的IEEE754标准表示,IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers） 美国电气及电子工程师学会 IEEE

8、是一家总部在美国的工程技术和电子专家的组织； IEEE致力于电气、电子、计算机工程和与科学有关的领域的开发和研究，也是计算机网络标准的主要制定者。 为便于软件移植，按照 IEEE754 标准，实际机器内32位浮点数和64位浮点数的标准格式如下：,0,22,23,30,31,23位尾数，仅为数值部分,8位阶码，包括阶符,1位数符,32位浮点数,0,51,52,62,63,64位浮点数,2019年4月30日星期二,14,单精度浮点数与双精度浮点数,高级语言的float、double使用的即是IEEE754规定的格式。 float ：32位浮点值，也叫单精度浮点数（4字节保存） double：64位

9、浮点值，也叫双精度浮点数（8字节保存） 单精度浮点数的例子：,1位 8位 7位 8位 8位,-1100,0.01,2019年4月30日星期二,15,32位浮点数的IEEE754 标准表示,数符S：表示浮点数的符号，占1位，0正数、1负数； 尾数M：23位，原码纯小数表示，小数点在尾数域的最前面； 由于原码表示的规格化浮点数要求，最高数值位始终为1，因此该标准中隐藏最高数值位(1)，尾数的实际值为1.M； 阶码E：8 位，采用有偏移值的移码表示； E=e+127，其中e是指数真值 浮点数的真值：N=（-1）S（1.M）2E-127,2019年4月30日星期二,16,IEEE754 标准格式 （6

10、4位格式）,其真值表示为： x=（1）S（1.M）2E1023 eE1023,2019年4月30日星期二,17,IEEE754 标准的数据表示,IEEE754 标准中的阶码E 正零、负零 E与M均为零，正负之分由数据符号确定； 正无穷、负无穷 E为全1，M为全零，正负之分由数据符号确定； 阶码E的其余值（0000 00011111 1110）为规格化数据； 真正的指数e的范围为-126+127,E=0000 0000，M=0000 0000,E=1111 1111，M=0000 0000,0000 0000 1111 1111,2019年4月30日星期二,18,IEEE754 标准对特殊数据的

11、表示,2019年4月30日星期二,19,课本P18 例1,例1 若浮点数的754标准存储格式为(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。 解： (41360000)16 = 0100 0001 0011 0110 0000 0000 0000 0000 指数e=E-127= 1000 0010 0111 1111=0000 0011=3 尾数1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011 浮点数 N =（-1）S（1.M）2e = （-1）0（1. 011011）23 = (11.375)10,数符S,阶码E,尾数M,2019年4月30日星期二,

12、20,课本P18 例2,例2 将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。 解： (20.59375)10(10100.10011)2 将尾数规范为1.M的形式： 10100.100111.01001001124 e4 可得：M 010010011 S 0 E 41271311000 0011 故，32位浮点数的754标准格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000(41A4C000)16,2019年4月30日星期二,21,求解技巧,例如：将下列十进制数表示成IEEE754格式的32位浮点数二进制存储形式。 27/32

13、11/512 求解： 27/32=27*(1/32) = (0001 1011)2*2-5 尾数：1.1011 ； 阶码：e=-5+4=-1 ，E=e+127=126 IEEE754数据：0 0111 1110 1011 0000 0000 0000 0000 000 11/512= (0000 1011)2*2-9 尾数：1.011 ； 阶码：e=-9+3=-6 ，E=e+127=121 IEEE754数据：0 0111 1001 0110 0000 0000 0000 0000 00,练习： 1、将20.1875转换成32位浮点数存储？ 2、若浮点数的二进制存储格式为（41A18000）1

14、6，求 其十进制值？ 作业： 将十进制数17.296875转换成IEEE754格式的32位浮点数的二进制存储。,课堂练习和补充习题,2019年4月30日星期二,23,2.1.2 数的机器码表示,重点： 1、原码、补码、移码的表示形式 2、补码的定义 3、原码、补码、移码的表示范围,2019年4月30日星期二,24,1、原码表示法定义,定义： 定点小数： x原 定点整数： x原 举例： +0.110 原 0.110 -0.110原 1 - (-0.110) = 1.110 +110原 0110 -110原 23- (-110) 1000 +110 = 1110,x 1 x 0,1- x=1+|x

15、| 0x -1,x 2n x 0,2n- x=2n+|x| 0x -2n,实际机器中保存时并不保存小数点,2019年4月30日星期二,25,1、原码表示法特点,0有两种表示法 +0原 = 0000 ; -0原 = 1000 数据表示范围 定点小数：-1X1 定点整数: -2nX2n （若数值位n=3即：-8X8） 优点 与真值对应关系简单； 缺点 参与运算复杂，需要将数值位与符号位分开考虑。,2019年4月30日星期二,26,要将指向5点的时钟调整到3点整，应如何处理？,5-2=3,5+10=3（12自动丢失。12就是模）,补码表示法的引入（1/3）,2019年4月30日星期二,27,继续推导

16、： 5-2=5+10（MOD 12） 5+（-2）=5+10（MOD 12） -2=10（MOD 12） 结论：,在模为12的情况下，-2的补码就是10。一个负数用其补码代替，同样可以得到正确的运算结果。,补码表示法的引入（2/3）,2019年4月30日星期二,28,进一步结论： 在计算机中，机器能表示的数据位数是固定的，其运算都是有模运算。 若是n位整数，则其模为2n； 若是小数，则其模为2。 若运算结果超出了计算机所能表示的数值范围，则只保留它的小于模的低n位的数值，超过n位的高位部分就自动舍弃了。,补码表示法的引入（3/3）,2019年4月30日星期二,29,2、补码表示法定义,定义：

17、定点小数： x补 定点整数： x补 举例： +0.110 补 0.110 -0.110 补 10 + (-0.110) = 1.010 +110补 0110 -110 补 24+(-110 ) 10000 -110 = 1010,x 1 x 0,2+x = 2 - |x| 0x -1,x 2n x 0,2n+1+x = 2n+1-|x| 0x -2n,x为n+1位,（mod 2）,（mod 2n+1）,实际机器中保存时并不保存小数点,2019年4月30日星期二,30,2、补码表示法特点,0有唯一的表示法 -0补 24+(-0 ) mod 24 0000 +0补 数据表示范围 定点小数：-1X1

18、 定点整数: -2nX2n （若n=3，则-8X8） 加减运算规则 XY补X补 Y补 (mod 2) 只要结果不溢出，可将补码符号位与数值位一起参与运算。 x补补x原 补码除2操作，可通过算术右移实现 -0.0110补11010，则(-0.0110)/10补 = 11101，真值为-0.0011,比原码多一个负的最小值表示，其编码为1000,2019年4月30日星期二,31,由原码求补码,由原码求补码的简便原则(负数) 除符号位以外,其余各位按位取反，末位加1； 从最低位开始，遇到的第一个1以前的各位保持不变，之后各位取反。,例：X原= 1 1 0 1 1 0 1 0 0,X补=,1 0 1

19、0 0 1,1 0 0,2019年4月30日星期二,32,由X补求-X补 连符号位一起各位求反，末位加1。 例：X补=1.1010101 解:,由-X补求X补，此规则同样适用。,求相反数的补码,X补= 1 1 0 1 0 1 0 1,0 0 1 0 1 0 1 0,+,1,-X补= 0 0 1 0 1 0 1 1,2019年4月30日星期二,33,3、移码表示法,移码通常用于表示浮点数的阶码 用定点整数形式的移码 定义： x移=2n+x 2n x -2n 与x补的区别：符号位相反 优点： 可以比较直观地判断两个数据的大小； 浮点数运算时，容易进行对阶操作； 表示浮点数阶码时，容易判断是否下溢；

20、 当阶码为全0时，浮点数下溢。,4位补码与移码,2019年4月30日星期二,34,原、补、移码的编码形式,正数： 原、补码的编码完全相同； 补码和移码的符号位相反，数值位相同； 负数： 原码： 符号位为1 数值部分与真值的绝对值相同 补码： 符号位为1 数值部分与原码各位相反，且末位加1 移码： 符号位与补码相反，数值位与补码相同,2019年4月30日星期二,35,课本P22例6 以定点整数为例,用数轴形式说明原码、反码、补码、移码表示范围和可能的数码组合情况。,2019年4月30日星期二,36,2019年4月30日星期二,36,课本P22例7 将十进制真值(127，1，0，1，127)列表表

21、示成二进制数及原码、反码、补码、移码值。,符号位 +0；- 1,数值位 各位取反,数值位 末位加1,符号位(正负数)取反,负数时,2019年4月30日星期二,37,P22例8 设机器字长16位，定点表示，尾数15位，数符1位，问： (1)定点原码整数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？ (2)定点原码小数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？,(215-1) = +32767,-(215-1) = -32767,(1-2-15) = +(1-1/32768),-(1-2-15) = -(1-1/32768),定点原码整数 最大正数 最小负数 定点原码小数 最大正数 最小负数,2019年4

22、月30日星期二,38,补充：浮点数的数据表示范围,0,最大负数,最小正数,最小负数,最大正数,下溢区,上溢区,上溢区,负数区,正数区,浮点数的溢出：阶码溢出 上溢：阶码大于所能表示的最大值； 下溢：阶码小于所能表示的最小值； 机器零： 尾数为 0，或阶码小于所能表示的最小值；,2019年4月30日星期二,39,【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。,最大正数:阶码正最大、尾数正最大 最大正数为0.11120111 即（129）231 该浮点数即为规格化数形式；,2019年4月30日星期二,40,【例1】设浮点

23、数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。,最小正数：阶码负最小、尾数正最小 非规格化数形式 最小正数为0.0012100 即29 2（25）= 29 2-32 规格化数形式 最小正数为0.12100 21 2（25） 233,2019年4月30日星期二,41,【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。,最小负数：阶码正最大，尾数负最小 最小负数为0.112011 即（129）2（251）= （129） 231 该浮点数即为规格化数形式；,201

24、9年4月30日星期二,42,【例1】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码采用补码表示，尾数采用原码表示，分析其浮点数表示范围。,最大负数：阶码负最小、尾数负最大 非规格化数形式 最大负数为0.0012100 即 29 2（25）= 29 2-32 规格化数形式 最大负数为0. 12100 即 21 2（25）= 2-1 232,2019年4月30日星期二,43,浮点数的最值,设浮点数格式为,补码表示-2m，+(2m-1),原码表示- (1-2-n) ，+(1-2-n),-(1-2-n)2+(2m-1),-2-n2-2m,+2-n2-2m,+(1-2-n)2+(2m-1

25、),0 111;1 1111,1 000;1 0001,1 000;0 0001,0 111;0 1111,同左,同左,1 000;11000,-2-12-2m,+2-12-2m,同左,同左,1 000;01000,2019年4月30日星期二,44,【例2】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码和尾数均采用补码表示，分析其规格化浮点数表示范围。,最大正数 阶码最大、尾数最大 最大正数为0.1112111 （129）231 最小正数 最小正数为0.1000232 即2-3221 2-33 注意：不是 因为0.01 2-32不是规格化数。,2019年4月30日星期二,45,

26、【例2】设浮点数的阶码6位（含符号位），尾数为10位（含符号位），阶码和尾数均采用补码表示，分析其规格化浮点数表示范围。,最小的负数 最小负数为1.000231 即231（1）= 231 最大的负数 最大负数为0.1001232 即（ 29+ 21 ）232 注意：因有规格化要求，不是,2019年4月30日星期二,46,浮点数的最值,设浮点数格式为,移码表示-2m，+(2m-1),补码表示-1，+(1-2-n),-12+( 2m-1 ),-2-n2-2m,+2-n2-2m,+(1-2-n)2+(2m-1),1 111;1 0000,0 000;1 1111,0 000;0 0001,1 111

27、;0 1111,同左,同左,0 000;1 0111,-(2-1+2-n)2-2m,+2-12-2m,同左,同左,0 000;01000,2019年4月30日星期二,47,2009考研真题,12.一个C语言程序在一台32位机器上运行。程序中定义了三个变量x，y和z，其中x和z是int型，y为short型。当x=127，y=-9时，执行赋值语句z=x+y后，x、y和z的值分别是： x=0000007FH , y=FFF9H , z=00000076H x=0000007FH , y=FFF9H , z=FFFF0076H x=0000007FH , y=FFF7H , z=FFFF0076H x

28、=0000007FH , y=FFF7H , z=00000076H,2019年4月30日星期二,48,2.1.1数据格式十进制数串的表示方法,字符串形式 每个十进制数位占用一个字节； 除保存各数位，还需要指明该数存放的起始地址和总位数； 主要用于非数值计算的应用领域。 压缩的十进制数串形式 采用BCD码表示，一个字节可存放两个十进制数位； 节省存储空间，便于直接完成十进制数的算术运算； 用特殊的二进制编码表示数据正负，如1100正、1101负,2019年4月30日星期二,49,2.1.3 字符与字符串的表示方法,ASCII码(美国国家信息交换标准字符码) 包括128个字符，共需7位编码； A

29、SCII码规定：最高位为0，余下7位作为128个字符的编码。 最高位的作用：奇偶校验；扩展编码。 字符串 指连续的一串字符， 每个字节存一个字符。 当存储字长为2、或4个字节时，在同一个存储单元中; 可按从低位字节向高位字节的顺序存放字符串的内容; 或按从高位字节向低位字节的次序顺序存放字符串的内容。,2019年4月30日星期二,50,2.1.4 汉字的表示方法,汉字的输入编码 目的：直接使用西文标准键盘把汉字输入到计算机 。 分类：主要有数字编码、拼音码 、字形编码三类。 汉字内码 用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码 汉字字模码 用点阵表示的汉字字形代码，用于汉字的输出。,201

30、9年4月30日星期二,51,中文编码,字符代码化（输入）,数字码 拼音码 字形码,2019年4月30日星期二,52,汉字字模码,2019年4月30日星期二,53,2.1.5 校验码（数据校验）,数据校验原因 为减少和避免数据在计算机系统运行或传送过程中发生错误，在数据的编码上提供了检错和纠错的支持。 数据校验码的定义 能够发现某些错误或具有自动纠错能力的数据编码； 也称检错码； 数据校验的基本原理是扩大码距； 码距：任意两个合法码之间不同的二进制位的最少位数； 仅有一位不同时，称其码距为1。,2019年4月30日星期二,54,码距及作用,设用四位二进制表示16种状态 16种编码都用到了，此时码

31、距为1； 任何一种状态的四位码中的一位或几位出错，就变成另一个合法码； 无查错能力。 若用四位二进制表示8个状态 只用其中的8种编码，而把另8种编码作为非法编码； 可使码距扩大为2；,2019年4月30日星期二,55,校验码的类型,奇偶校验码 判断数据中1的个数设置1位校验位； 分奇校验和偶校验两种，只能检错，无纠错能力； 海明校验码（有兴趣自学） 在奇偶校验的基础上增加校验位而得； 具有检错和纠错的能力； 循环冗余校验码（CRC）（有兴趣自学） 通过模2的除法运算建立数据信息和校验位之间的约定关系； 具有很强的检错纠错能力。,2019年4月30日星期二,56,奇偶校验码概念,奇偶校验原理 在

32、数据中增加1个冗余位，使码距由1增加到2； 如果合法编码中有奇数个位发生了错误，就将成为非法代码。 增加的冗余位称为奇偶校验位。 校验的类型 偶校验：每个码字(包括校验位)中1的数目为偶数。 奇校验：每个码字(包括校验位)中1的数目为奇数。 校验过程 发送端：按照校验类型，在发送数据后添加校验位P； 接收端：对接收到的数据（包括校验位）进行同样类型的校验，决定数据传输中是否存在错误；,2019年4月30日星期二,57,奇偶校验码校验原理,偶校验：在接收端求校验位 P=D7D6D5D4D3D2 D1 D0 P 若P0，则无错；若P1，则有错。 奇校验：在接收端求校验位 P=D7D6D5D4D3D

33、2 D1 D0 P 若P1，则无错；若P0，则有错。 电路实现： 一般采用异或电路得到校验位。,1010 1011,求校验码,偶校验码 1010 1011 1,奇校验码 1010 1011 0,2019年4月30日星期二,58,接收端,字,校验位,校验码,例1： 数据 0010 0001,奇校验码,0010 0001,1,偶校验码,0010 0001,0,例2：数据 ： 0111 0101,偶校验码,0111 0101,1,发送端,（门电路）,0110 0101,1,出错！,奇偶校验码 例题（1/2）,2019年4月30日星期二,59,例3：数据 ： 0111 0101,奇校验码,0111 0

34、101,0,发送端,（门电路）,0110 0111,0,接收端,正确,奇偶校验只能发现 奇数个错误，且不能 纠正错误！,奇偶校验码例题（1/2）,2019年4月30日星期二,60,海明码（PPT 58PPT67自学）,海明码是1950年提出的； 只要增加少数的几位校验码，即可检测出多位出错，并能自动恢复一或几位出错信息； 实现原理： 在一个数据中加入几个校验位，每个校验位和某几个特定的信息位构成偶校验的关系； 接收端对每个偶关系进行校验，产生校验因子； 通过校正因子区分无错和码字中的n个不同位置的错误； 不同代码位上的错误会得出不同的校验结果；,2019年4月30日星期二,61,海明码确定校验

35、位的位数,设K为有效信息的位数，r为校验位的位数，则整个码字的位数N应满足不等式： NKr2r1 通常称为（N，K）海明码 设某(7,4)海明码表示的码字长度为 位，校验位数为 位。 例如：数据D3D2D1D0 =1001 K=4，r+5 2r ； 可知，需要校验位3位P3P2P1 ;,7,3,2019年4月30日星期二,62,海明码确定校验位的位置,数据表示 数据位D（DiDi-1D1D0） 、校验位P（PjPj-1P2P1） 海明码H （包括数据位和校验位）：HmHm-1H2H1； 分组原则 每个校验位Pi从低到高被分在海明码中位号2i-1的位置； 例如：数据D3D2D1D0 =1001，

36、校验位P3P2P1 海明码共7位H7H6H2H1 ，各位分配如下：,P1,P2,P3,D0,D1,D2,D3,2019年4月30日星期二,63,海明码校验分组,校验原则 海明码的每一位Hi有多个校验位校验，其关系是被校验的每一位位号等于校验它的各校验位的位号之和； 每个信息位的位置写成用2的幂次之和的形式 ； 例如 H7参与H1、H2、H4的校验； H6参与H2、H4的校验； H5参与H1、H4的校验； H3参与H1、H2的校验； 分组情况,P1,P2,P3,D0,D1,D2,D3,第一组P1,第二组P2,第三组P3,第一组（P1、D3、D1、D0） 第二组（P2、D3、D2、D0 ） 第三组

37、（P3、D3、D2、D1 ）,2019年4月30日星期二,64,海明码校验位的形成,校验位形成公式 P1第一组中所有位(除P1)求异或 Pj 第j组中所有位(除Pj)求异或 为了能检测两个错误，增加一位校验Pj1，放在最高位。 Pj 1所有位(包括P1，P2 ， ， Pj)求异或 例如： P1D3D1 D0 =1 0 1=0 P2D3D2 D0 =1 0 1=0 P3D3D2 D1 =1 0 0=1 P4D3D2D1D0P3P2P1=1001001=1,第一组（P1、D3、D1、D0） 第二组（P2、D3、D2、D0 ） 第三组（P3、D3、D2、D1 ）,但不能纠错！,2019年4月30日星

38、期二,65,海明码接收端校验（1/2）,接收端接收到数据后，分别求S1，S2，S3，Sj S1第一组中所有位(包括P1)求异或 Sj第j组中所有位(包括Pj)求异或 Sj 1 Pj 1 所有位(包括P1，P2 ， ， Pj)求异或 当Sj 11时，有一位出错； 由Sj S3 S2S1 的编码指出出错位号，将其取反，即可纠错。 当Sj 10时，无错或有偶数个错（两个错的可能性比较大）； 当Sj S3 S2S1 0 0 00时，接收的数无错，否则有两个错。,2019年4月30日星期二,66,同上例，接收端接收的数据为 接收端求S S10101=0 S20101=0 S31100=0 S411001

39、 100 =0 若接收端接收到错误的数据 S10101=0 S20111=1 S31110=1 S411101 100 =1,海明码接收端校验（2/2）,第一组（P1、D3、D1、D0） 第二组（P2、D3、D2、D0 ） 第三组（P3、D3、D2、D1 ）,无错误！,1,S4=1，有错误！ S3S2S1=110，H6位有错，应取反！,2019年4月30日星期二,67,【练习】设待校验的数据为 D7D010101011，写出其海明校验码。,【解】 确定海明校验位的位数 因为K8， 由NKr 2r1，得9r 2r，校验位的位数为r4。 确定校验位的位置 i：12 11 10 9 8 7 6 5

40、4 3 2 1 D7 D6 D5 D4 P4 D3 D2 D1 P3 D0 P2 P1 分组（N位分r组）,2019年4月30日星期二,68,【练习】设待校验的数据为 D7D010101011，写出其海明校验码。,校验位的形成 P1=D6 D4 D3 D1 D0 1； P2=D6 D5 D3 D2 D0 1 P3=D7 D3 D2 D1 1 ； P4=D7 D6 D5 D4 0 所以，信息码10101011的海明校验码为：1010 0 101 1 1 11,2019年4月30日星期二,69,海明码的纠错与检错能力,一个系统能纠正一位差错时，码距最小是3； 码距为3时，或能纠正一位错，或能检测二

41、位错； 但不能同时纠正一位错并检测二位错。 码距为1至7时，海明码的纠错和检错能力如右表： 码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率低了。,2019年4月30日星期二,70,CRC校验（自学）,CRC的工作方法 在发送端产生一个循环冗余码，附加在信息位后面一起发送到接收端； 接收端收到的信息按发送端形成循环冗余码同样的算法进行校验； 若无错，则接收；若有错，需重发。 CRC的特点 可检测出所有奇数位错； 可检测出所有双比特的错； 可检测出所有小于、等于校验位长度的突发错。 CRC码的信息字段和校验字段的长度可以任意选定。,2019年4月30日星期二,71,2.2 定点加法、减法运算

42、,2.2.1 补码加法 2.2.2 补码减法 2.2.3 溢出概念与检验方法 2.2.4 基本的二进制加法、减法器,2019年4月30日星期二,72,2.2.1 补码加法,补码加法运算基本公式 定点整数： x+y补 x补 + y补 （mod 2n+1） 定点小数： x+y补 x补 + y补 （mod 2） 证明 （1）证明依据：补码的定义(以定点小数为例) （2）证明思路：分三种情况。 (a) x、y均为正值（0，0） (b) x、y均为负值（0）,2019年4月30日星期二,73,补码加法公式证明（1/2）,证明： (a)0,0 补补补 (mod 2) (b)0,0 x补=2+x , y补=

43、2+y x补+ y补= 2+x+2+y =2+ (2+x+y) = 2+x+y补 （mod 2） = x+y补,2019年4月30日星期二,74,补码加法公式证明（2/2）,(c)0,0 (0的证明与此相同) x补=x , y补=2+y x补+ y补= x+2+y =2+ (x+y) 当x+y0时，2+(x+y) 2 ，进位2必丢失； 因(x+y) 0 ，故x补+y补= x+y =x+y补 (mod 2) 当x+y0时，2+(x+y) 2 因(x+y) 0 ，故x补+ y补= 2+(x+y) =x+y补 (mod 2),2019年4月30日星期二,75,定点数补码加法举例,例11 +1001,

44、 +0101， 求。 解： 补0 1001, 补0 0101 补 0 1001 补 0 0101 补 0 1110 所以 1110,例12 x1011, 0101, 求。 解： 补0 1011, 补1 1011 补 0 1011 补 1 1011 补 10 0110 所以 + 0110,2019年4月30日星期二,76,2.2.2 补码减法,补码减法运算基本公式 定点整数：x - y补x补 - y补x补 + -y补 （mod 2n+1） 定点小数：x - y补x补 - y补x补 + -y补 （mod 2） 证明：只需要证明 补补 已证明x+y补 x补 + y补 ，故y补x+y补x补 又xy补

45、x补 + y补 ，故y补xy补x补 可得y补 + y补x+y补+ xy补x补 x补 x + y + xy补x补 x补 x + x补x补 x补0 补等于补的各位取反，末位加1。,2019年4月30日星期二,77,定点数补码减法举例 例13 已知1 1110，2 + 1101， 求：1补，1补，2补，2补。,解： 1补 1 0010 1补 1补1 0 11010 00010 1110 2补 0 1101 2补2补1 1 00100 00011 0011,注意课本上的错误！,注意课本上的错误！,2019年4月30日星期二,78,定点数补码减法举例 例14 1101，0110，求。,解: 补0 1101，补0 0110，补1 1010 补 补补 0 1101 1 1010 10 0111 0 0111 0111,0 1101,) 1 1010,1 0 0111,2019年4月30日星期二,79,2019年4月30日星期二,79,定点数补码加减法运算,基本公式 定点整数： x y补 x补 + y补 （mod 2n+1） 定点小数： x y补 x补 + y补 （mod 2） 定点数补码加