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1、 一、对应与变换 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 二、正交变换 注：以几何变换的观点看待欧氏几何. 欧氏几何就是研究在正 交变换群M的作用下保持不变的几何量和几何性质, 即所有与距 离有关的几何量和几何性质. 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 三、仿射变换 1. 透视仿射变换 定义0.14. 对于空间中两平面 , 给定一个与两平面不平行的 投射方向, 则确定了到的一个透 视视仿射对应对应 (平行投影). 上任一点P在上的像即为过 P且平行于投射方向的直线与的 交点P. 注2：两平面交线称为透视仿射的轴. 若/则没有轴. 注1：透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射. 透
2、视仿射对应使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线； 透视仿射对应保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两 平行线段的比值不变, 但是不能保持距离不变. 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 三、仿射变换 1. 透视仿射变换 定义0.14. 对于空间中两平面 , 如果一个双射使得对应点的 连线相互平行, 则称之为到的 一个透视视仿射对应对应 (平行投影). 注1：透视仿射变换是平面上的一个双射. 透视仿射变换使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线； 透视仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两 平行线段的比值不变, 但
3、是不能保持距离不变. 定义0.15. 在平面上, 使得对应 点的连线相互平行的点对应称为 上的一个透视视仿射变换变换 . 注2：平面上两个透视仿射变换的积未必还是透视仿射变换. 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 三、仿射变换 2. 仿射变换 定义0.16. 对于空间中一组平面, 1, 2, , n, , 设以下对应 均为透视仿射对应： 则称这n个透视仿射的积为到的一个仿射对应. 若 =, 则称 为平面上的一个仿射变换. 注：仿射变换是平面上的一个双射. 仿射变换使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行 直线变为平行直线； 仿射变换保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两
4、平行 线段的比值不变, 但是不能保持距离不变. 定理0.14 (i). 平面上两个仿射变换的积是一个仿射变换； (ii). 平面上的恒同变换是一个仿射变换； (iii). 任一个仿射变换的逆变换是一个仿射变换. 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 三、仿射变换 2. 仿射变换 定义0.17. 设P1, P2, P为平面上共线三点, 记(P1P2P)表示这三点 构成的一个简单比(单比, 仿射比), 定义为 注： (P1P2P)表示一个数, 是有向线段P1P与P2P的比值, 与解几 中的定比分点反号. 定理0.15 仿射变换保持共线三点的简单比不变. 定义0.17. 设为平面上的一个双射,
5、 满足 (i). 使得平行直线变为平行直线; (ii). 保持共线三点的简单比不变 则称为平面上的一个仿射变换. 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 三、仿射变换 3. 仿射坐标系 定义0.18. 设在平面上取定一点O和以O为起点的两个线性无关 向量ex, ey, 则由此构成平面上一个仿射坐标系(或仿射坐标架), 记 作O-exey. 平面上任一点P的仿射坐标(x, y)由下式惟一确定, 反之, 对任意给定的有序实数组(x, y), 由 (0.7)式可惟一确定仿射平面上的一个点具 有坐标(x, y). 建立了仿射坐标系的平面称 为仿射平面, ex, ey称为基向量. 注：若ex, ey
6、为单位正交向量(即为标准正交基), 则O-exey成为 笛卡儿直角坐标系. 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 三、仿射变换 3. 仿射坐标系 定理0.16. 设在平面上取定了一个仿射坐标系O-exey, 为平面 上的一个仿射变换 有表达式 注：由定理0.14, 平面上的全体仿射变换构成一个群A, 称为平 面上的仿射变换群. 其中(x, y)与(x, y)为任一对对应点P, P的坐标, 矩阵 满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵. 平面仿射几何就是研究在仿射变换群A的作用下保持不变的几 何性质与几何量. 由定义0.17, 这些不变的性质和数量必定只与平 行性、共线三点的简单比有关. 第第
7、0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 四、体会归纳 1. 关系、对应、双射、变换 2. 基本的几何变换实例 正交变换相似变换仿射变换 3. 上述几何变换的三种定义方法 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 四、体会归纳 3. 上述几何变换的三种定义方法 正交变换 (1). 直观的定义 平面上有限次平移、旋转、轴反射的乘积. (2). 利用几何特征性质的定义 平面上保持两点间距离不变的点变换. (3). 代数(解析)的定义 在平面上取定直角坐标系, 如下点变换为正交变换 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 四、体会归纳 3. 上述几何变换的三种定义方法 相似变换 (1). 直观的
8、定义 平面上的位似变换与正交变换的乘积. (2). 利用几何特征性质的定义 平面上保持两线段的比值不变的点变换. (3). 代数(解析)的定义 在平面上取定直角坐标系, 如下点变换为相似变换 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 四、体会归纳 3. 上述几何变换的三种定义方法 仿射变换 (1). 直观的定义 平面上有限次透视仿射变换(平行投影)的乘积. (2). 利用几何特征性质的定义 平面上保持共线三点的单比和直线的平行性不变的点变换. (3). 代数(解析)的定义 在平面上取定仿射(或直角)坐标系, 如下点变换为仿射变换 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 四、体会归纳 3.
9、 上述几何变换的三种定义方法 对于平面上取定的直角坐标系, 如下点变换 A为非异矩阵 A为正交矩阵 存在k0, A可化为k乘以一个正交阵, 则为 仿射变换 相似变换. 正交变换 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 四、体会归纳 4. 上述几何变换对于变换的乘法都构成群Klein变换群思想 正交变换群M 相似变换群P (抛物度量群) 仿射变换群A 欧氏几何抛物几何仿射几何 最基本的不变性最基本的不变性 两点间的距离两线段的比共线三点的单比, 平行性 研究在相应的变换群下保持不变的几何性质研究在相应的变换群下保持不变的几何性质 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论 四、体会归纳 5. 用几何变换的观点研究几何学 探求在相应几何变换下的不变性 从下周起, 我们开始用这种思想去探索平面射影几何学 常用途径一 证明该性质仅与最基本的不变性有关, 即可以由基本不变性完全表达. 常用途径二 (用综合法或解析法)直接证明该性质经 过相应的几何变换保持不变. 今 天 作 业 预习1.1 The class is over. Goodbye! 课件作者：南京师大数科院周兴和 第第0 0章章 几何几何变换变换 概概论论