一章动态规划.ppt

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1、1,第十章 动态规划,1 多阶段决策过程最优化问题举例 2 基本概念、基本方程与最优化原理 3 动态规划的应用(1) 4 动态规划的应用(2),2,1 多阶段决策过程最优化问题举例,例1 最短路径问题 下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最 短路径。,B,C,B,D,B,C,D,E,C,4,1,2,3,1,2,3,1,2,3,2,2,1,6,4,7,2,4,8,3,8,6,7,5,6,1,10,6,3,7,5,1,3,1 多阶段决策过程最优化问题举例,用穷举法的计算量: 如果从A到E的站点有k个，除A、E之外每站有3个位置则 总共有3k-12条路径； 计算各路径长度总共要进行 (

2、k+1) 3k-12次加法以及3k- 12-1次比较。随着 k 的值增加时，需要进行的加法和比较的 次数将迅速增加； 例如当 k=20时，加法次数为 4.25508339662271015 次， 比较 1.37260754729771014 次。若用1亿次/秒的计算机计算 需要约508天。,4,1 多阶段决策过程最优化问题举例,讨论： 1、以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完全相 同，但规模较小的子问题，即分别从Di 、Ci、Bi、A到E的最短路 径问题。 第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个； 表10-1 分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。,5,第三阶段：有三个始

3、点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点 和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路 径问题： 表10-2 分析得知：如果经过C1，则最短路为C1-D2-E； 如果经过C2，则最短路为C2-D2-E； 如果经过C3，则最短路为C3-D1-E。,1 多阶段决策过程最优化问题举例,6,第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分 析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短路径问题： 表10-3 分析得知：如果经过B1，则走B1-C2-D2-E； 如果经过B2，则走B2-C3-D1-E； 如果经过B3，则走B3-

4、C3-D1-E； 如果经过B4，则走B4-C3-D1-E。,1 多阶段决策过程最优化问题举例,7,第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题： 表10-4 最后，可以得到：从A到E的最短路径为A B4 C3 D1 E,1 多阶段决策过程最优化问题举例,8,以上计算过程及结果，可用图2表示，可以看到，以上方法不仅 得到了从A到D的最短路径，同时，也得到了从图中任一点到E的最 短路径。 以上过程，仅用了22次加法，计算效率远高于穷举法。,B,C,B,D,B,C,D,E,C,4,1,2,3,1,2,3,1,2,

5、3,3,2,1,6,4,7,2,4,8,3,8,6,7,5,1,6,10,6,0,10,6,12,11,11,12,13,14,14,12,7,5,1,2,1 多阶段决策过程最优化问题举例,9,一、基本概念： 1、阶段k：表示决策顺序的离散的量，阶段可以按时间或空间划分。 2、状态sk：能确定地表示决策过程当前特征的量。状态可以是数量，也可以是字符，数量状态可以是连续的，也可以是离散的。 3、决策xk：从某一状态向下一状态过渡时所做的选择。决策是所在状态的函数，记为xk(sk)。 决策允许集合Dk(sk)：在状态sk下，允许采取决策的全体。 4、策略Pk,n(sk)：从第k阶段开始到最后第n阶

6、段的决策序列，称k子策略。P1,n(s1)即为全过程策略。 5、状态转移方程 sk+1=Tk(sk, xk)：某一状态以及该状态下的决策，与下一状态之间的函数关系。,2 基本概念、基本方程与最优化原理,10,6、阶段指标函数vk(sk, xk)：从状态sk出发，选择决策xk所产生的第k阶段指标。 过程指标函数Vk,n(sk, xk, xk+1, xn)：从状态sk出发，选择决策xk, xk+1, , xn所产生的过程指标。动态规划要求过程指标具有可分离 性，即 Vk,n(sk, xk, xk+1, , xn) = vk(sk, xk)+Vk+1(sk+1, xk+1, , xn) 称指标具有可

7、加性，或 Vk,n(sk, xk, xk+1, , xn) = vk(sk, xk)Vk+1(sk+1, xk+1, , xn)称指标具有可乘性。 二、基本方程： 最优指标函数fk(sk)：从状态sk出发，对所有的策略Pk,n，过程指 标Vk,n的最优值，即,2 基本概念、基本方程与最优化原理,11,对于可加性指标函数，上式可以写为 上式中“opt”表示“max”或“min”。对于可乘性指标函数，上式可以 写为 以上式子称为动态规划最优指标的递推方程，是动态规划的基本 方程。 终端条件：为了使以上的递推方程有递推的起点，必须要设定最 优指标的终端条件，一般最后一个状态n+1下最优指标fn+1(

8、sn+1) = 0。,2 基本概念、基本方程与最优化原理,12,三、最优化原理 作为整个过程的最优策略具有如下性质： 不管在此最优策略上的某个状态以前的状 态和决策如何，对该状态来说，以后的所有决 策必定构成最优子策略。就是说，最优策略的 任意子策略都是最优的。,2 基本概念、基本方程与最优化原理,13,一、资源分配问题 例2. 某公司拟将某种设备5台，分配给所属的甲、乙、丙三个工 厂。各工厂获得此设备后，预测可创造的利润如表10-5所示，问这 5台设备应如何分配给这3个工厂，使得所创造的总利润为最大？ 表10-5,3 动态规划的应用(1),14,解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂

9、分别编号为1、2、3厂。设 sk= 分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、 3）。 xk=分配给第k个设备台数。 已知s1=5, 并有 从 与 的定义，可知 以下我们从第三阶段开始计算。,3 动态规划的应用(1),15,第三阶段: 显然将 台设备都分配给第3工厂时， 也就是 时，第3阶段的指标值（即第3厂的盈利） 为最大，即 由于第3阶段是最后的阶段，故有 其中 可取值为0,1,2,3,4,5。其数值计算见表106。,3 动态规划的应用(1),16,表106,3 动态规划的应用(1),17,其中 表示取3子过程上最优指标值 时的 决策，例如在表10-6中可知当 =4时，有 有 此时

10、，即当 时，此时取 （把4台设备分配给第3厂）是最优决策，此时阶段指标值 （盈利）为12，最优3子过程最优指标值也为12。 第二阶段： 当把 台设备分配给第2工厂和第3工 厂时，则对每个 值，有一种最优分配方案，使最大盈利 即最优2子过程最优指标函数值为,3 动态规划的应用(1),18,因为 上式也可写成 其数值计算如表107所示。 表107,3 动态规划的应用(1),19,其中在 的这一行里，当 时， 这里 从表105中可知，把1台设备交给乙厂所得盈 利数即可，知 ，这里 从表106查 即可知 =11。同样可知当 时，可知 ; 当 时， ；当 时， ；当 时， ；由于 ，不可能分2厂5 台设

11、备，故 时， 栏空着不填。从 这些数值中取得最大即得 ，即有 =16。在此行中 我们在取最大值的 上面加一横以示 区别，也可知这时 的最优决策为1或2。,3 动态规划的应用(1),20,第一阶段： 把 台设备分配给第1，第2，第3厂时，最大 盈利为 其中 可取值0,1,2,3,4,5. 数值计算见表108 表10-8 然后按计算表格的顺序推算，可知最优分配方案有两个： 1.由于 ，根据 ，查表107可 知 ，再由 ，求得 。即分配 给甲厂0台，乙厂2台，丙厂3台。 2.由于 ，根据 ，查表107可,3 动态规划的应用(1),21,知 ，再由 ,求得 ， 即分配给甲厂2台，乙厂2台，丙厂1台。

12、这两种分配方案都能得到最高的总盈利21万元。,3 动态规划的应用(1),22,二、背包问题 设有n种物品，每一种物品数量无限。第i种物品每件 重量为wi公斤，每件价值ci元。现有一只可装载重量为W 公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背 包中物品的价值最高。 这个问题可以用整数规划模型来描述。设xi为第i种 物品装入背包的件数（i =1, 2, , n），背包中物品的总 价值为z，则 Max z = c1x1+c2x2+ +cnxn s.t. w1x1+w2x2+wnxnW x1, x2, , xn0 且为整数。,3 动态规划的应用(1),23,下面用动态规划逆序解法求解它。设 阶段

13、变量k：第k次装载第k种物品（k=1, 2, , n） 状态变量sk：第k次装载时背包还可以装载的重量； 决策变量uk = xk：第k次装载第k种物品的件数； 决策允许集合：Dk(sk) = xk | 0 xksk/wk，xk为整数； 状态转移方程： sk+1 = sk wkxk； 阶段指标： vk = ckxk； 最优过程指标函数fk(sk)：第k到n阶段容许装入物品的最大使 用价值； 递推方程： fk(sk) = max ckxk+fk+1(sk+1) = max ckxk+fk+1(sk wkxk)； xDk(sk) 终端条件： fn+1(sn+1) = 0。,3 动态规划的应用(1),

14、24,例3. 某咨询公司有10个工作日可以去处理四种类型的咨 询项目，每种类型的咨询项目中待处理的客户数量、处理每个 客户所需工作日数以及所获得的利润如表109所示。显然该公 司在10天内不能处理完所有的客户，它可以自己挑选一些客 户，其余的请其他咨询公司去做，应如何选择客户使得在这10 个工作日中获利最大？ 表109,3 动态规划的应用(1),25,解：用动态规划来求解此题。 我们把此问题分成四个阶段，第一阶段我们决策将 处理多少个第一种咨询项目类型中的客户，第二阶段决 策将处理多少个第二种咨询项目类型中的客户，第三阶 段、第四阶段我们也将作出类似的决策。我们设 分配给第k种咨询项目到第四种

15、咨询项目的所 有客户的总工作日（第k阶段的状态变量）。 =在第k种咨询项目中处理客户的数量（第k阶段 的决策变量）。 已知 10 并有,3 动态规划的应用(1),26,并从 与 的定义可知 从第四阶段开始计算： 显然将 个工作日 尽可能分配给第四 类咨询项目，即 时，第四阶段的指标值为最大， 其中， 表示取不大于 的最大整数，符号 为 取整符号，故有 由于第四阶段是最后的阶段，故有,3 动态规划的应用(1),27,因为 至多为10，其数值计算见表1010。 表1010,3 动态规划的应用(1),28,第三阶段： 当把 个工作日分配给第四类和第 三类咨询项目时，则对每个 值，都有一种最优分配方

16、案，使其最大盈利即最优3子过程最优指标函数值为 因为 因为 至多为10，所以 的取值可为0,1,2。其数值计算 见表1011。,3 动态规划的应用(1),29,表1011,3 动态规划的应用(1),30,第二阶段： 同样以每个 值都有一种最优分配方案，使其最大盈利即 最优2子过程最优指标函数值为： 因为 ，故有 因为 至多为10，所以 的取值为0,1,2,3。其数值计算 见表1012。,3 动态规划的应用(1),31,3 动态规划的应用(1),表10-12,32,第一阶段： 我们已知 ，又因为 ，同样有 因为 ,故 可取值为0,1,2, ,10。其数值计算 见表1013。 表1013,3 动态

17、规划的应用(1),33,从表1013可知 ， 从而得 10 010，在表1012的 的这一行可知 ，由 ，查表1011的 的这一行可知 ，最后由 ，查表10-10的 的这 一行得 ，综上所述得最优解为： 此时最大盈利为28。 现在我们不妨假设该咨询公司的工作计划有所改变，只有 8个工作日来处理这四类咨询项目，那么该咨询公司如何选择 客户使得获利最大呢？我们不必从头开始重做这个问题，而只 要在第一阶段上把 改成8，重新计算就可得到结果，如表10 14所示，这是动态规划的一个好处。,3 动态规划的应用(1),34,表1014 如上一样可从表1014,1012,1011,1010得到两组最优解 如下

18、： 它们的最优解（即最大盈利）都为22。 一旦咨询的工作日不是减少而是增加，那么我们不仅要重新计 算第一阶段，而且要在第二、第三、第四阶段的计算表上补上增加 的工作日的新的信息，也可得到新的结果。,3 动态规划的应用(1),35,实际上，背包问题我们也可以用整数规划来求解，如果背包携带物品重量的限制为W公斤，这N种物品中第i种物品的重量为 ，价值为 ，第i种物品的总数量的 ，我们可以设 表示携带第i种物品的数量，则其数学模型为： S.T. 且为整数。 我们不妨用此模型去求解例3，也一定得出同样的结果。,3 动态规划的应用(1),36,三、生产与存贮问题 例4. 某公司为主要电力公司生产大型变压

19、器，由于电力 采取预订方式购买，所以该公司可以预测未来几个月的需求 量。为确保需求，该公司为新的一年前四个月制定一项生产 计划，这四个月的需求如表1015所示。 生产成本随着生产数量而变化。调试费为4，除了调度费 用外，每月生产的头两台各花费为2，后两台花费为1。最大 生产能力每月为4台，生产成本如表1016所示。 表1015,3 动态规划的应用(1),37,表1016 每台变压器在仓库中由这个月存到下个月的储存费为1， 仓库的最大储存能力为3台，另外，知道在1月1日时仓库里存 有一台变压器，要求在4月30日仓库的库存量为零。试问该公 司应如何制定生产计划，使得四个月的生产成本和储存总费 用最

20、少？ 解：我们按月份来划分阶段，第i个月为第i阶段：（i=1,2,3,4). 设 为第k阶段期初库存量； k=1,2,3,4,3 动态规划的应用(1),38,为第k阶段生产量； k=1,2,3,4 为第k阶段需求量； k=1,2,3,4，这已在表10-15 中告诉我们。 因为下个月的库存量等于上个月的库存量加上上个月的 产量减去上个月的需求量，我们就得到了如下状态转移方 程： 因为 ，故有 因为 ，故有,3 动态规划的应用(1),39,由于必须要满足需求，则有 通过移项得到 另一方面，第k阶段的生产量 必不大于同期的生产能力 （4台），也不大于第k阶段至第四阶段的需求之和与第k阶段 期初库存量

21、之差，否则第k阶段的生产量就要超过从第k阶段 至第四阶段的总需求，故有 以下我们从第四阶段开始计算： 从以上的状态转移方程 可知 这样就有,3 动态规划的应用(1),40,这里的阶段指标 可以分成两部分，即生产成本与 储存费，即为 由于第四阶段末要求库存为零，即有 ， 这样可得 对于每个 的可行值， 的值列于表1017。 表1017,3 动态规划的应用(1),41,表中当 时，可知第四阶段要生产 台，从表1016可知总成本为9，同样可以算出当 为1,2,3时 的情况，结果已列于表1017中。 第三阶段： 此时有： 因为 以及 所以有 例如，当第三阶段初库存量 时，生产量 为2时， 则 所以生产

22、成本为8，第三阶段末库存 为2时，储存费为 ，而,3 动态规划的应用(1),42,查1017表可知 ，这样可知， 填入表1018中 的栏内，其他结果如表1018所 示 ： 表1018 第二阶段： 因为 所以有,3 动态规划的应用(1),43,计算结果如表1019所示。 表1019,3 动态规划的应用(1),44,第一阶段： 因为 故有 计算结果见表1020。 表1020,3 动态规划的应用(1),45,利用递推关系可以从表1020，表1019，表1018和表10 17得到两组最优解： 这时有最低总成本29。,3 动态规划的应用(1),46,3 动态规划的应用(1),四、系统可靠性问题 例5.某

23、科研项目组由三个小组用不同的手段分别研究，它们失败的概率各为0.40，0.60，0.80。为了减少三个小组都失败的可能性，现决定给三个小组中增派两名高级科学家，到各小组后，各小组科研项目失败概率如下表： 问如何分派科学家才能使三个小组都失败的概率（即科研项目最终失败的概率）最小？,47,3 动态规划的应用(1),解：用逆序算法。设 阶段：每个研究小组为一个阶段，且,48,3 动态规划的应用(1),计算 当n=3时， 当n=2时，,49,3 动态规划的应用(1),当n=1时， 最优解为 x1*=1，x2*=0，x3*=1；科研项目最终失败的概率为0.060。,50,4 动态规划的应用(2)*,一

24、、连续确定性动态规划 对于状态变量和决策变量只取连续值，过程的演变方式为确定性时，这种动态规划问题就称为连续确定性动态规划问题。,51,4 动态规划的应用(2)*,机器负荷分配问题 例1 一种机器能在高低两种不同的负荷状态下工作。设机器在高负荷下生产时，产量函数为P1=8u1，其中u1为在高负荷状态下生产的机器数目，年完好率为a=0.7，即到年底有70的机器保持完好。在低负荷下生产时，产量函数为P2=5u2，其中u2为在低负荷状态下生产的机器数目，年完好率为b=0.9。设开始生产时共有1000台完好的机器，请问每年应该如何把完好机器分配给高、低两种负荷下生产，才能使得5年内生产的产品总产量最高

25、。,52,4 动态规划的应用(2)*,解 建立动态规划模型： 分为5个阶段，每个阶段为1年。设状态变量sk表示在第k阶段初拥有的完好机器数目；k=1,2,3,4,5。 决策变量xk表示第k阶段中分配给高负荷状态下生产的机器数目；k=1,2,3,4,5。显然sk-xk为分配给低负荷状态下生产的机器数目。 状态转移方程为 sk+1=0.7xk+0.9(sk-xk) 阶段指标 rk(sk,xk)=8xk+5(sk-xk) 最优指标函数 ，其 中k=1,2,3,4,5。 f6(s6)=0。,53,4 动态规划的应用(2)*,第5阶段： 因为f5(s5)是x5的线性单调增函数，故有x5* =s5， 于是

26、有f5(s5)=8s5。 第4阶段：,54,4 动态规划的应用(2)*,同样的，f4(s4)是x4的线性单调增函数，有x4*=s4 ， f4(s4)=13.6s4。 对前几个阶段依次类推，可得 f3(s3)=17.5s3， f2(s2)=20.75s2， f1(s1)=23.72s1。 因为期初共有完好机器1000台，故s1=1000。有f1(s1)=23.72s1 23720，即5年最大的产量为23720台。得最优解为 ， ， ， 。 这意味着前两年应把年初完好机器完全投入低负荷生产， 后三年应把年初完好机器完全投入高负荷生产。,55,4 动态规划的应用(2)*,下一步工作是确定每年初的状态

27、，按照从前向后的顺序依次计算出每年年初完好的机器数目。已知s1=1000,根据状态转移方程，有:,56,4 动态规划的应用(2)*,上面所讨论的最优策略过程，初始端状态s1=1000台是固定的，终点状态s6没有要求。这种情况下得到最优决策称为初始端固定终点自由的最优策略。 如果终点附加一定的条件，则问题就称为“终端固定问题”。例如，规定在第5年度结束时仍要保持500台机器完好（而不是278台），应如何安排生产才能使得总产量最大？ 下面来分析： 根据终点条件有 可得,57,4 动态规划的应用(2)*,显然，由于固定了终点的状态，x5的取值受到了 约束。因此有 类似的， 容易解得 ，f4(s4)=

28、21.7s4-7500。,58,4 动态规划的应用(2)*,依次类推，得 f3(s3)=24.5s3-7500 f2(s2)=27.1s2-7500 f1(s1)=29.4s1-7500 再采用顺序方法递推计算各年的状态，有 s1=1000，,59,4 动态规划的应用(2)*,可见，为了使终点完好的机器数量增加到500台，需要安排前四年中全部完好机器都要投入低负荷生产，且在第5年，也只能全部投入高负荷。 相应的最优指标为 f1(s1)=29.4s1-750021900。 可以看到，因为增加了附加条件，总产量f1(s1)要比终点自由情况下的产量要低。,60,二、离散随机性动态规划 随机型的动态规

29、划是指状态的转移律是不确定的，即 对给定的状态和决策，下一阶段的到达状态是具有确定概率 分布的随机变量，这个概率分布由本阶段的状态和决策完全 确定。随机型动态规划的基本结构如下图：,4 动态规划的应用(2)*,sk,状态,xk,决策,概率,k阶段的收益,p1,p2,pN,.,k+1阶段的状态sk+1,c1,c2,cN,1,2,N,61,4 动态规划的应用(2)*,图中N表示第k+1阶段可能的状态数，p1、p2、pN为给定状态sk和决策xk的前提下，可能达到下一个状态的概率。ci为从k阶段状态sk转移到k+1 阶段状态为i时的指标函数值。 在随机性的动态规划问题中，由于下一阶段到达的状态和阶段的

30、效益值不确定，只能根据各阶段的期望效益值进行优化。,62,离散随机性动态规划,例2 某公司承担一种新产品研制任务，合同要求三个月内交出一件合格的样品，否则将索赔2000元。根据有经验的技术人员估计，试制品合格的概率为0.4，每次试制一批的装配费为200元，每件产品的制造成本为100元。每次试制的周期为1个月。问该如何安排试制，每次生产多少件，才能使得期望费用最小？,63,离散随机性动态规划,解：把三次试制当作三个阶段（k=1,2,3）,决策变量xk表示第k次生产的产品的件数；状态变量sk表示第k次试制前是否已经生产出合格品，如果有合格品，则sk=0；如果没有合格品，记sk=1。最优函数fk(s

31、k)表示从状态sk、决策xk出发的第k阶段以后的最小期望费用。故有fk(0)0。 生产出一件合格品的概率为0.4，所以生产xk件产品都不合格的概率为 ，至少有一件合格品的概率为1- ，故有状态转移方程为,64,离散随机性动态规划,用C(xk)表示第k阶段的费用，第k阶段的费用包 括制造成本和装配费用，故有 根据状态转移方程以及C(xk)，可得到,65,离散随机性动态规划,如果3个月后没有试制出一件合格品，则要承担 2000元的罚金，因此有f4(1)=20。 当k=3时，计算如下表：,66,离散随机性动态规划,当k=2时，计算如下表：,67,离散随机性动态规划,当k=1时，有,68,离散随机性动

32、态规划,上面三个表中并没有列出xk取更大数值的情况，因为可以证明以后的C(xk)+ fk+1(1)的值是对xk单调增加的。 因此得到的最优策略是，在第1个阶段试制2件产品；如果都不合格，在第2阶段试制3件产品；如果仍都不合格，则在第3个阶段试制5件产品。该策略得到的最小的期望费用6.46。,69,离散随机性动态规划,随机采购问题 例3 某公司打算在5周内采购一批原料，未来5周内的原料的价格有三种，这些价格的出现概率可以估计，如下表。该部分由于生产需要，必须在5周内采购这批原料。如果第一周价格很高，可以等到第2周；同样的，第2周如果仍对价格不满意，可以等到第3周；类似地，未来几周都可能选择购买或

33、者等待，但必须保证第5周时采购了该原料。试问该选择哪种采购方案，才能使得采购费用最小？,70,离散随机性动态规划,解：建立动态规划。按照采购周期分为5个阶段，将每周的价格看作该阶段的状态。假设状态变量sk表示第k周的实际价格，决策变量xk表示第k周是否采购的0-1变量。如决定采购，则xk=1；如选择等待，则xk=0。用skE表示第k周等待，而在以后采取最优决策时采购价格的期望值。 根据定义， 动态规划基本方程如下：,71,离散随机性动态规划,第五阶段： 因为如果前4周都没有买，那第5周必须购买，因 此有f5(s5)=s5，即f5(450)=450；f5(470)=470； f5(500)=50

34、0。 第四阶段： 下面考虑第4周的情况。 如第4周购买，则需花费s4；如果不买，则必须 在第5周购买。在第5周采购的费用的期望值为,72,离散随机性动态规划,于是 ，有 故第4周的最优决策为 同理，考虑第3周的最优决策。,73,离散随机性动态规划,第三阶段： 如果第3周采购，则需花费s3；也要和第3周后再 采购的费用的期望值作比较。 于是 ，有 故第3周的最优决策为,74,离散随机性动态规划,第二阶段： 同理可得 故第2周的最优决策为,75,离散随机性动态规划,第一阶段： 同理可得 第1周的最优决策为,76,离散随机性动态规划,由上可知，最优的采购策略为：在第1、2、3周的市场价格为450时，应该立即采购，否则等待；在第4周时，若市场价格为450或470时，应该采购，否则等待。若等到第五周，只能采购。,