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1、第八章 离散系统理论,8.1 离散系统的基本概念,8.2 信号的采样与保持,8.3 Z变换与Z反变换,8.4 离散系统的数学模型,8.5 稳定性与稳态误差,8.6 离散系统的动态性能分析,End,本章作业,有关概念,2. 离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：,A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。,1.离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲或数码的形式呈现。,D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。,8.1 离散系统的
2、基本概念,8.2,8.3,8.4,8.5,8.6,离散控制系统的特点,1. 校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。 2. 采样信号，特别是数字信号的传递能有效地抑制噪声，从而提高系统抗干扰能力。 3. 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备利用率。 4. 可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变响应参数。,e*(t)=e(t)T(t), 其中 为理想单位脉冲序列。则：,8.2 信号的采样与保持,对上式取拉氏变换,得,例8.1 e(t)=eat,试写出e*(t)表达式。, 物理意义：可看成是单位理想脉冲串T (t) 被输入信号e(t)进行调制的过程，如右
3、图所示。,在图中，T(t)为载波信号；e(t)为调制信号； e*(t)为理想输出脉冲序列。,8.2.1 采样过程与采样定理,采样过程 数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。,8.1,8.3,8.4,8.5,8.6,8.2.2,设计控制系统必须严格遵守的一条准则。 1. 问题的提出 连续信号e(t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e(t)所含的信息。,采样定理,2. 定性分析 如果连续信号e(t)变化缓慢（最大角频率max较低，而采样角频率s比较高（即采样周期T=2/s较小，则e*(t)
4、基本上能反映e(t)的变化规律。,3. 采样定理（香农定理） 如果采样器的输入信号最高角频率为max，则只有当采样频率s2max,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。,怎样才能使采样信号e*(t)大体上反映e(t)的变化规律呢？,8.2.2 信号复现及零阶保持器,信号复现 将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装置称为保持器或复现滤波器。, 零阶保持器的数学表达式为e(nT+t)=e(nT)；其脉冲响应为gh(t)=1(t)-1(t-T)，传递函数为,零阶保持器 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。零阶保持器的输入输出特性可用下图描述。,8.2.1,8.3 Z变换与
5、Z反变换,8.3.1 Z变换,1. Z变换的定义,2. Z变换方法 (1) 级数求和法 将Z变换的定义式展开： E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2+ e(nT)z-n+,(2) 部分分式法,对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。, 先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E (s)； 将E (s)展开成部分分式之和的形式； 求拉氏反变换，再求Z变换E(z)。,即为Z变换的定义式。 称E(z)为e*(t)的Z变换, 记作 Ze*(t)=E(z), 或 Ze(t)=E(z),8.1,8.4,8.5,8.6,8.2,8.3.2,性质,动画演示,令z=eTs , 则
6、=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+,对比(2)中结果，有,(4) 单位斜坡信号 e(t)=t，则,3. 典型信号的Z变换,两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的z变换,两端对z求导数，得,(3) 单位理想脉冲序列 e(t)=T(t),(1) 单位脉冲函数 e(t)=(t),(2) 单位阶跃函数 e(t)=1(t),(5) 指数函数 e(t)=e-at(a为实常数，则,这是一个公比为(e-aTz-1)的等比级数，当| e-aT z-1 |1时，级数收敛,则可写成闭合形式,所以,利用(*)、(*)式，有,(6) 正弦信号 e(t)=sin t , 因为,进行部分分式展开，有,再取拉氏反变
7、换,参照(2)和(5),得,4. Z变换的性质,(1) 线性定理 若 E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t)，a为常数，则 Ze1(t)+e2(t)= E1(z)+ E2(z)，Zae(t)=a E(z),例8.2 已知e(t)=1(t-T),求Z变换E(z)。,(3) 复数位移定理 已知e (t)的Z变换为E(z) ，则有,根据复数位移定理，有,例8.3 已知e(t)=t e-at,求Z变换E(z)。,Ze(t) =E(z e aT),(2) 实数位移定理 若 E(z)=Ze(t)， 则 Ze(t-kT)=z-kE(z), Ze(t+kT)=,解：,解：已知单位斜坡信号的z变换为
8、,8.3.2,8.3.1,(4) z域微分定理 若 e (t)的z变换为E(z)，则,若 e (t)的z变换为E(z)，则 Zane(t)=E(z/a) , a为常数,例8.4 试求ncost的Z变换。,(5) z域尺度定理,解：由变换表,(6) 初值定理,若e (t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,)， 且极限 存在，则,设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为 x(nT)y(nT)= ，则卷积定理为： Zx(nT)y(nT)=X(z)Y(z),若e (t)的z变换为E(z)，并有极限 存在，则,(7) 终值定理,(8) 卷积定理,8.3.2
9、Z反变换, 从Z域函数E(z)求时域函数e*(t)，叫做Z反变换。 记作Z-1E(z)= e*(t)。,例8.5 已知z变换函数 ，试求其z反变换。,解：首先将E(z)/z展开成部分分式,所以 e(nT)=(-1+2n)10 e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+ =0+10(t-T)+30(t-2T)+ 70(t-3T)+,1. 部分分式展开法 部分分式展开法是将E(z)展成若干分式和的形式，对每部分分式查Z变换表找出相应的e*(t)。因Z变换表中Z变换函数分子普遍有因子Z，所以应将E(z)/z展开成部分分式。,性质,8.3.1,例8.6 已知z变换函数 试
10、求其z反变换。,解： 因为,所以 e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+ =0+(1-e-aT)(t-T)+(1-e-2aT)(t-2T)+(1-e-3aT)(t-3T)+,2. 幂级数法（综合除法),查表得 e(t)=1(t)-e-at 则 e(nT)=1-e-anT,由Z变换的定义,而,则c0,c1,c2,就是脉冲序列e*(t)各采样点的值e(nT) , 所以,8.4 离散系统的数学模型,8.4.1 线性常系数差分方程及其解法,工程中常用迭代法和Z变换法来求解差分方程： 1. 迭代法 根据给定差分方程和输出序列的初值，则可以利用递推关系，一步一步算出输出序
11、列。,2.Z变换法 用Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的位移性质，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)取Z反变换即求得输出序列。,式中：k第k个采样时刻； n系统的阶次。,一般n阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用n阶常系数差分方程描述。,8.1,8.3,8.5,8.6,8.2,8.4.2 脉冲传递函数,脉冲传递函数的定义和意义 零初始条件下，系统输出C(t)的z变换C(z)与输入r(t)的z变换R(z)之比，称为脉冲传递函数，即G(z)=C(z)/R(z)。 若输入r(t)=(t), 则C(z)=G(z)R(z)=G(z), g*(t
12、)=Z-1G(z)。即连续系统的脉冲响应采样后的Z变换即为脉冲传递函数。,开环脉冲传递函数,1. 串联环节,2. 有零阶保持器的情况,3. 连续信号进入连续环节,-,-,闭环脉冲传递函数,动画演示,S域的虚轴映射成Z域的圆周；左半S平面映射在圆周内，右半S平面映射在圆周外。,8.5 离散系统的稳定性与稳态误差,一、S域到Z域的映射,二、离散系统稳定的充要条件,1. 时域中：特征方程的根满足ai1 (了解即可 2. Z域中：特征方程1+HG(z)=0的模zi1 (牢固掌握),三、离散系统的稳定性判据,双线性变换与劳氏判据： 1. 双线性变换,2. 劳氏判据: 形式同连续系统。,8.1,8.3,8
13、.4,8.6,8.2,8.5.2,例,8.5.1 稳定性判据,动画演示,动画,设系统的结构图如下图所示，采样周期T=1s 。设 K=10，试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。,例8.7,解： 由图得,由此得系统特征方程为 z2+2.31z+3=0 求解得一对共轭复根 1=-1.156j1.29， 2=-1.156-j1.29 分布在单位圆外，因此系统是不稳定的。,8.5.1,8.5.2,由1G(z)=0求得系统特征方程为 z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K) =0, 由系统开环脉冲传递函数,得到系统的临界放大系数为: Kc=2.4,列劳氏表计算 w2 2.
14、736-0.104K 0.632K w1 1.264-0.528K 0 w0 0.632K,为使系统稳定，须有,进行w变换得 (2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0,动画演示,1. 终值定理法,8.5.2 稳态误差的计算,2. 误差系数法 (1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t),(2) 单位斜坡输入时 r(t)=t,(3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2,8.5.1,例,动画演示,设系统的结构图如下图所示，K=1, T=0.1s , r(t)=1(t)+t, 求系统的稳态误差。,例8.8,系统的稳态误差为,解：系统的开环传递函数为,把T=0
15、.1代入化简得,一般假定外作用为单位阶跃函数r(t)=1(t)，此时R(z)=z/(z-1)， 则系统输出量的Z变换函数为,8.6 离散系统的动态性能分析,一、时间响应,然后用长除法，将C(z)展成无穷幂级数： C(z)=C0+C1z-1+ C2z-2+ Cnz-n,在C*(t)t坐标中描出点 (kT, Ck ), k=0,1,2,n ，则得阶跃响应脉冲序列。,则得单位阶跃作用下的输出序列为 C(kT)=Ck , k=0,1,2,n,将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标。,8.1,8.3,8.4,8.5,8.2,闭环复极点与动态响应的关系,二、闭环极点与动态响应的关系,闭环实极点与动态响应的关系,本 章 作 业,( P333) 8-1(1) 8-2(1, 3) 8-3 (1) 8-5 (1) 8-8 8-12 8-10 (思考),