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1、一、高阶显式单步法的构造方法,5.3 龙格-库塔(Runge-Kutta)法,显式单步法的一般形式:,为尽可能大的整数,Runge-Kutta方法,设 满足初值问题:,N级(阶)Runge-Kutta方法的一般形式:,其中,N =1:Euler方法,当N 1时,适当选取式中参数,使该方法的阶数尽量高,Runge-Kutta方法,二级方法:N =2,代入2(阶)Runge-Kutta方法的形式:,在点(xn,yn)处展开得:,比较两式,得,方程组有无穷多解:二级方法有无穷多种,常见的3种二级方法:,中点法(修正的Euler法),取,Runge-Kutta二级方法,取,Heun(休恩)二级方法,要
2、求 项的系数尽量相同,四级方法:N =4,局部截断误差,常见的2种四阶方法:,经典Runge-Kutta方法,Kutta四阶方法(见教材),解:,经典的四阶Runge-Kutta公式:,同保留5位的精确值完全一致:,二、变步长方法,基本思想:根据精度自动地选择步长,对于经典Runge-Kutta方法:,Step1:设从 出发,以 为步长,经过一步计算得到,Step2:取 为步长,再从 出发,经过两步计算得到,一、收敛性 /*Convergence*/,5.4 单步法的收敛性与稳定性,对于初值问题 的一种,单步法 产生的近似解,如果,则称该单步法是收敛的。,对于任一固定的 ,均有,类似地可以定义
3、隐式单步法、多步法的收敛性,证明:,记,由截断误差的定义,因为单步法是 阶的:,满足,其中,二、绝对稳定性 /*Absolute Stibility*/,计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响,首先以Euler公式为例,来讨论一下舍入误差的传播:,若初值问题的单步法 ,,对于 ,存在 及 ,当 时,其差分方程实际数值计算公式,则称单步法是条件稳定的;若无h限制,则称为绝对稳定。,时,有,中的舍入误差 与 满足,单步法,(假设F与xn无关)是稳定的充要条件是上述差分方程的 特征根ri满足,解:,特征方程的根是,当:,Euler格式是条件稳定的,稳定条件是:, 显式Euler公式:,例3:以 为例讨论。,故是绝对稳定的。,显式Euler公式:,特征方程的根是,由于 ,所以:,经典的R-K公式:,特征方程的根是,当:,经典RK格式是条件稳定的,稳定条件是:,