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1、以解析函数的理论与方法研究平面电磁场,余毅聪 2003年12月,复变函数和电磁学这两门课中一些重要的公式是很相似的，本文试图在一定的程度上发掘其中的联系。,主要想法,主要内容,1 建立数学模型 2 根据模型推算基本定理 3 一些结论 4 二维场的保形变换,二维场数学模型,无穷长导线的磁场 如图，将一根无穷长的直导线置于坐标原点，方向为Z轴方向。于是易得(x,y)点处的磁场分量为：,X,Y,I,r,B,现把Y-X平面视为复平面， z=x+iy, 并令：,立即得到：w,其中：,这里，很明显地有：,同样，对于电场，则有：,在以下的讨论中，视 为二维电荷， 为二维磁荷。 并统一以符号 表示。,X,同样
2、得到一个复变函数具有性质：,高斯定理与环路定理,注意到对于上面的两种情况，都有 是解析的，因为Cauchy-Riemman方程得到足：,取C为一条围绕原点的简单封闭曲线，如果原点处存在无限长的导线（或者带电直线），则由留数定理可得：,于是解析函数的理论与方法有了用武之地！,比较实部虚部即得：,下面分析上面二式的意义。,(1),(2),对于图重的曲线积分,积分微元是,于是,如果把w看作有两个分量的矢量,可有,即得:,由,最后得到:,对于磁场的情况,上式即是我们熟悉的安培环路定理. 而(2)式的意义又何在呢?注意到:,如果我们定义:,则可以得到:,的几何意义如图所示.当把曲线看成是无限长的柱面的截
3、线时, 即是曲面的法向量.上式的意义即可理解为是二维平面的高斯定理.,显然,稍作推广即可以得到: 1. 对于磁场中的任意简单封闭曲线C,有,2,对于电场的情况,由于电场和磁场所对应的w仅仅相差一个常数i, 所以情况完全类似,仅仅只需要将上面两式的右边交换即可.这里就不作过多的讨论了.,由解析的性质得到的一些结论,磁场和电场(以下仅称场)的分布由边界决定.,事实上,若w在边界C上的值为已知,则对于区域内部的一点Z,有,即是可以由边界上的函数值计算内部的值.,2 平均值公式.对于一个闭圆 如果其内部没有电流(或电荷),则场在圆心处的值,等于圆周上的平均值.,上式的依据是平均值公式,圆心处实部和虚部
4、的值对应为圆周上的平均值,于是即有以上结论.事实上,泊松公式为我们提供了计算区域内任何点场值的方法:,3 如果平面区域中没有电荷或者没有磁荷,则场的最大值只能在区域的边界上取到.,4 平面场所有的电荷之和为0。,5 如果穿过平面上有电荷： ,且满足: 则平面上一定存在场强为0的点.,证明: 射N根导线的坐标的复数为: 容易得到这个场对应的复函数w(z)为:,为证明结论,只需要证明函数,在复平面上有非无穷远点的根即可.,为了证明上式,需要用到的结论有: 大圆弧引理: 设f(z)在区域D:,上连续,且存在极限:,设C是位于D中的圆弧,半径为R,则,2 辐角原理: 设f(z)在闭路C的内部可能有有限
5、多个极点,除去这些极点外, f(z)在C及其内部解析,且在C上无零点,则有:,这里N,P分别为极点总数和零点总数.,有了上面的引理,下面证明 所表示的函数在复平面上定有非无穷远的根.事实上:,在通分之后,分子的最高次为(2N-2)次,分母的最高次为(2N-1)次,系数均为:,所以,成立:,利用引理1即得到:,再由引力理2,有:,又:,所以零点总是存在的! 即平面上总是存在一点场强为零. 对于 的情况,则是没有一般结论.,如图,如果兰色代表正电,黄色代表负电,则在该场中是没有电场为0的点的. 而在下面的这张图中,显然正方形的中心的场强为0.,磁场中情况完全类似,不再赘述.,保形变换的应用,保形变
6、换是二维空间所特有的，应此利用保形变换处理平面的电磁场问题，一定会给我们带来惊喜。 为此，先建立一套体系：,一个定义： 为这个平面场的“场函数” 为场函数的充分必要条件是它满足高斯定理和安培环路定理，即是有：,场函数是这样的函数，它在平面上存在场源的点的留数是电荷的值，其余点它取场的值的共轭 为讨论方便，一切常数假定为1。,我们知道，一个保形变换将一个区域映照成为另一个区域，如果我们把区域上的每一个点都标上该处的电荷（磁荷），那么保形变换就把一个场分布变换成为另一种场分布，称作“场的保形变换”。,一个定理： 设 为 的一个场的保形变换，场函数：,事实上，边界对应定理保证了,即变换后得到的函数仍然满足高斯定理和环路定理，即为新场的场函数。,一个结论： 对于静电平衡的导体，在经过场的保形变换后仍静电平衡。 容易验证在经过场的保形变换后，对于所给定的一个点 等势线的辐角改变量和所对应的场函数的辐角改变量皆是 仍然满足静电平衡的条件。,得到一种新的求解电场的方法，举例如下：,黎曼定理断言，对于任意的区域（非全平面），总是存在保形变换将任意单连通区域映照成为单位圆，所以这种方法是具有普遍性的。 但是具体实现变换的细节，则是数学上的事情了，也远远超出本文的范围。本文任务已经完成，讨论到此为止！,感谢刘金英老师，感谢张文禄助教和班主任苑震生老师 感谢3班同学的信任 感谢在场所有听众的支持,